Theorem rrxsphere 46824

Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a generalized real Euclidean space of finite dimension. Remark: this theorem holds also for the degenerate case 𝑅 < 0 (negative radius): in this case, (𝑀𝑆𝑅) is empty. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxspheres.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxspheres.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxspheres.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
rrxspheres.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxsphere	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem rrxsphere

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxspheres.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2	1	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		rrxspheres.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
5		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
6	4, 1, 5	rrxbasefi 24774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
7	3, 6	eqtr4id 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
8	7	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ 𝑃 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐸)))
9	8	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
10	9	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
12		rexr 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
13	12	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
14	13	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
15	14	ancomd 462	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅))
16		elxrge0 13374	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅))
17	15, 16	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
18		rrxspheres.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
19		rrxspheres.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
20	5, 18, 19	sphere 46823	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
21	2, 11, 17, 20	mp3an2i 1466	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
22		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
23	22, 1, 5	rrxbasefi 24774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
24	23, 3	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (Base‘𝐸) = 𝑃)
25	24	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (Base‘𝐸) = 𝑃)
26	25	rabeqdv 3422	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
27	21, 26	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
28	27	ex 413	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝑅 → ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
29	5, 18, 19	spheres 46822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ V → 𝑆 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟}))
30	2, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟})
31		fvex 6855	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) ∈ V
32	31	rabex 5289	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟} ∈ V
33	30, 32	dmmpo 8003	. . . . 5 ⊢ dom 𝑆 = ((Base‘𝐸) × (0[,]+∞))
34		0xr 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35		pnfxr 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
36	34, 35	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
37		elicc1 13308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
39		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞) → 0 ≤ 𝑅)
40	38, 39	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑅))
41	40	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (¬ 0 ≤ 𝑅 → ¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
42	41	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
43	42	intnand 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ¬ (𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
44		ndmovg 7537	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑆 = ((Base‘𝐸) × (0[,]+∞)) ∧ ¬ (𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑀𝑆𝑅) = ∅)
45	33, 43, 44	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑀𝑆𝑅) = ∅)
46	1	fveq2i 6845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
47	19, 46	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
48	47	rrxmetfi 24776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
49	48	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
51	3	fveq2i 6845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Met‘𝑃) = (Met‘(ℝ ↑m 𝐼))
52	50, 51	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑃))
53		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
54		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ 𝑃)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑀 ∈ 𝑃)
56		metge0 23698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝𝐷𝑀))
57	52, 53, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝𝐷𝑀))
58		breq2 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 → (0 ≤ (𝑝𝐷𝑀) ↔ 0 ≤ 𝑅))
59	57, 58	syl5ibcom 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
60	59	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (¬ 0 ≤ 𝑅 → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
61	60	impancom 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑝 ∈ 𝑃 → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
62	61	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
63	62	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
64		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ (∅ = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = ∅)
65		rabeq0 4344	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
66	64, 65	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (∅ = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
67	63, 66	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ∅ = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
68	45, 67	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
69	68	expcom 414	. 2 ⊢ (¬ 0 ≤ 𝑅 → ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
70	28, 69	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  ∅c0 4282   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883  ℝcr 11050  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  ℝ^*cxr 11188   ≤ cle 11190  [,]cicc 13267  Basecbs 17083  distcds 17142  Metcmet 20782  ℝ^crrx 24747  Spherecsph 46804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-xmet 20789  df-met 20790  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-nm 23938  df-tng 23940  df-tcph 24533  df-rrx 24749  df-sph 46806

This theorem is referenced by:  2sphere  46825