Theorem rrxsphere 49239

Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a generalized real Euclidean space of finite dimension. Remark: this theorem holds also for the degenerate case 𝑅 < 0 (negative radius): in this case, (𝑀𝑆𝑅) is empty. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxspheres.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxspheres.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxspheres.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
rrxspheres.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxsphere	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem rrxsphere

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxspheres.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2	1	fvexi 6841	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		rrxspheres.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
5		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
6	4, 1, 5	rrxbasefi 25395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
7	3, 6	eqtr4id 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
8	7	eleq2d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ 𝑃 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐸)))
9	8	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
10	9	3adant3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
12		rexr 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
13	12	3ad2ant3 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
14	13	anim2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
15	14	ancomd 462	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅))
16		elxrge0 13401	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅))
17	15, 16	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
18		rrxspheres.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
19		rrxspheres.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
20	5, 18, 19	sphere 49238	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
21	2, 11, 17, 20	mp3an2i 1474	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
22		simp1 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
23	22, 1, 5	rrxbasefi 25395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
24	23, 3	eqtr4di 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (Base‘𝐸) = 𝑃)
25	24	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (Base‘𝐸) = 𝑃)
26	25	rabeqdv 3406	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
27	21, 26	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
28	27	ex 413	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝑅 → ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
29	5, 18, 19	spheres 49237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ V → 𝑆 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟}))
30	2, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟})
31		fvex 6840	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) ∈ V
32	31	rabex 5267	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟} ∈ V
33	30, 32	dmmpo 8013	. . . . 5 ⊢ dom 𝑆 = ((Base‘𝐸) × (0[,]+∞))
34		0xr 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35		pnfxr 11190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
36	34, 35	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
37		elicc1 13333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
39		simp2 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞) → 0 ≤ 𝑅)
40	38, 39	biimtrdi 254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑅))
41	40	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (¬ 0 ≤ 𝑅 → ¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
42	41	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
43	42	intnand 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ¬ (𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
44		ndmovg 7539	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑆 = ((Base‘𝐸) × (0[,]+∞)) ∧ ¬ (𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑀𝑆𝑅) = ∅)
45	33, 43, 44	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑀𝑆𝑅) = ∅)
46	1	fveq2i 6830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
47	19, 46	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
48	47	rrxmetfi 25397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
49	48	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
51	3	fveq2i 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Met‘𝑃) = (Met‘(ℝ ↑m 𝐼))
52	50, 51	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑃))
53		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
54		simp2 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ 𝑃)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑀 ∈ 𝑃)
56		metge0 24328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝𝐷𝑀))
57	52, 53, 55, 56	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝𝐷𝑀))
58		breq2 5076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 → (0 ≤ (𝑝𝐷𝑀) ↔ 0 ≤ 𝑅))
59	57, 58	syl5ibcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
60	59	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (¬ 0 ≤ 𝑅 → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
61	60	impancom 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑝 ∈ 𝑃 → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
62	61	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
63	62	ralrimiva 3131	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
64		eqcom 2746	. . . . . 6 ⊢ (∅ = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = ∅)
65		rabeq0 4316	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
66	64, 65	bitri 276	. . . . 5 ⊢ (∅ = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
67	63, 66	sylibr 235	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ∅ = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
68	45, 67	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
69	68	expcom 414	. 2 ⊢ (¬ 0 ≤ 𝑅 → ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
70	28, 69	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  {crab 3391  Vcvv 3431  ∅c0 4261   class class class wbr 5072   × cxp 5616  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℝcr 11028  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  [,]cicc 13292  Basecbs 17170  distcds 17220  Metcmet 21333  ℝ^crrx 25368  Spherecsph 49219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-drng 20703  df-field 20704  df-staf 20811  df-srng 20812  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-xmet 21340  df-met 21341  df-cnfld 21348  df-refld 21580  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-nm 24565  df-tng 24567  df-tcph 25154  df-rrx 25370  df-sph 49221

This theorem is referenced by:  2sphere  49240