Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxsphere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxsphere 46534
Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a generalized real Euclidean space of finite dimension. Remark: this theorem holds also for the degenerate case 𝑅 < 0 (negative radius): in this case, (𝑀𝑆𝑅) is empty. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxspheres.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxspheres.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxspheres.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
rrxspheres.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
rrxsphere ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem rrxsphere
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxspheres.e . . . . . 6 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
21fvexi 6852 . . . . 5 𝐸 ∈ V
3 rrxspheres.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜πΈ)
64, 1, 5rrxbasefi 24696 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜πΈ) = (ℝ ↑m 𝐼))
73, 6eqtr4id 2797 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΈ))
87eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑀 ∈ 𝑃 ↔ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ)))
98biimpa 478 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ))
1093adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ))
1110adantl 483 . . . . 5 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ))
12 rexr 11135 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
13123ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1413anim2i 618 . . . . . . 7 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ (0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
1514ancomd 463 . . . . . 6 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅))
16 elxrge0 13303 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅))
1715, 16sylibr 233 . . . . 5 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
18 rrxspheres.s . . . . . 6 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
19 rrxspheres.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
205, 18, 19sphere 46533 . . . . 5 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
212, 11, 17, 20mp3an2i 1467 . . . 4 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
22 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2322, 1, 5rrxbasefi 24696 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (Baseβ€˜πΈ) = (ℝ ↑m 𝐼))
2423, 3eqtr4di 2796 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (Baseβ€˜πΈ) = 𝑃)
2524adantl 483 . . . . 5 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ (Baseβ€˜πΈ) = 𝑃)
2625rabeqdv 3421 . . . 4 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
2721, 26eqtrd 2778 . . 3 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
2827ex 414 . 2 (0 ≀ 𝑅 β†’ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
295, 18, 19spheres 46532 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ V β†’ 𝑆 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΈ), π‘Ÿ ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷π‘₯) = π‘Ÿ}))
302, 29ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΈ), π‘Ÿ ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷π‘₯) = π‘Ÿ})
31 fvex 6851 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΈ) ∈ V
3231rabex 5288 . . . . . 6 {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷π‘₯) = π‘Ÿ} ∈ V
3330, 32dmmpo 7992 . . . . 5 dom 𝑆 = ((Baseβ€˜πΈ) Γ— (0[,]+∞))
34 0xr 11136 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
35 pnfxr 11143 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
3634, 35pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
37 elicc1 13237 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞)))
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞)))
39 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞) β†’ 0 ≀ 𝑅)
4038, 39syl6bi 253 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ 𝑅))
4140con3d 152 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 0 ≀ 𝑅 β†’ Β¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
4241imp 408 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ Β¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
4342intnand 490 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ Β¬ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
44 ndmovg 7530 . . . . 5 ((dom 𝑆 = ((Baseβ€˜πΈ) Γ— (0[,]+∞)) ∧ Β¬ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = βˆ…)
4533, 43, 44sylancr 588 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = βˆ…)
461fveq2i 6841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (distβ€˜πΈ) = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
4719, 46eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
4847rrxmetfi 24698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
49483ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
5049adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
513fveq2i 6841 . . . . . . . . . . . 12 (Metβ€˜π‘ƒ) = (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼))
5250, 51eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘ƒ))
53 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
54 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
5554adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
56 metge0 23620 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ (𝑝𝐷𝑀))
5752, 53, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ (𝑝𝐷𝑀))
58 breq2 5108 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 β†’ (0 ≀ (𝑝𝐷𝑀) ↔ 0 ≀ 𝑅))
5957, 58syl5ibcom 245 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 β†’ 0 ≀ 𝑅))
6059con3d 152 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (Β¬ 0 ≀ 𝑅 β†’ Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
6160impancom 453 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
6261imp 408 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6362ralrimiva 3142 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
64 eqcom 2745 . . . . . 6 (βˆ… = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = βˆ…)
65 rabeq0 4343 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = βˆ… ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6664, 65bitri 275 . . . . 5 (βˆ… = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6763, 66sylibr 233 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ βˆ… = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
6845, 67eqtrd 2778 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
6968expcom 415 . 2 (Β¬ 0 ≀ 𝑅 β†’ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
7028, 69pm2.61i 182 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  {crab 3406  Vcvv 3444  βˆ…c0 4281   class class class wbr 5104   Γ— cxp 5629  dom cdm 5631  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∈ cmpo 7352   ↑m cmap 8699  Fincfn 8817  β„cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124  [,]cicc 13196  Basecbs 17018  distcds 17077  Metcmet 20705  β„^crrx 24669  Spherecsph 46514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-tpos 8125  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-sup 9312  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-clim 15305  df-sum 15506  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-starv 17083  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-ip 17086  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-unif 17091  df-hom 17092  df-cco 17093  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-prds 17264  df-pws 17266  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-mhm 18536  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-sbg 18688  df-subg 18858  df-ghm 18938  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-cring 19891  df-oppr 19972  df-dvdsr 19993  df-unit 19994  df-invr 20024  df-dvr 20035  df-rnghom 20069  df-drng 20110  df-field 20111  df-subrg 20143  df-staf 20227  df-srng 20228  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-sra 20556  df-rgmod 20557  df-xmet 20712  df-met 20713  df-cnfld 20720  df-refld 20932  df-dsmm 21061  df-frlm 21076  df-nm 23860  df-tng 23862  df-tcph 24455  df-rrx 24671  df-sph 46516
This theorem is referenced by:  2sphere  46535
  Copyright terms: Public domain W3C validator