Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxsphere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxsphere 48669
Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a generalized real Euclidean space of finite dimension. Remark: this theorem holds also for the degenerate case 𝑅 < 0 (negative radius): in this case, (𝑀𝑆𝑅) is empty. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxspheres.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxspheres.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxspheres.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
rrxspheres.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
rrxsphere ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem rrxsphere
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxspheres.e . . . . . 6 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
21fvexi 6920 . . . . 5 𝐸 ∈ V
3 rrxspheres.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
64, 1, 5rrxbasefi 25444 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
73, 6eqtr4id 2796 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
87eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → (𝑀𝑃𝑀 ∈ (Base‘𝐸)))
98biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
1093adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
1110adantl 481 . . . . 5 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
12 rexr 11307 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
13123ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
1413anim2i 617 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℝ*))
1514ancomd 461 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅))
16 elxrge0 13497 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅))
1715, 16sylibr 234 . . . . 5 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
18 rrxspheres.s . . . . . 6 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
19 rrxspheres.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝐸)
205, 18, 19sphere 48668 . . . . 5 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
212, 11, 17, 20mp3an2i 1468 . . . 4 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
22 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
2322, 1, 5rrxbasefi 25444 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
2423, 3eqtr4di 2795 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (Base‘𝐸) = 𝑃)
2524adantl 481 . . . . 5 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → (Base‘𝐸) = 𝑃)
2625rabeqdv 3452 . . . 4 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
2721, 26eqtrd 2777 . . 3 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
2827ex 412 . 2 (0 ≤ 𝑅 → ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
295, 18, 19spheres 48667 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ V → 𝑆 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟}))
302, 29ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟})
31 fvex 6919 . . . . . . 7 (Base‘𝐸) ∈ V
3231rabex 5339 . . . . . 6 {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟} ∈ V
3330, 32dmmpo 8096 . . . . 5 dom 𝑆 = ((Base‘𝐸) × (0[,]+∞))
34 0xr 11308 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
35 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
3634, 35pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
37 elicc1 13431 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞)))
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞)))
39 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞) → 0 ≤ 𝑅)
4038, 39biimtrdi 253 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑅))
4140con3d 152 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (¬ 0 ≤ 𝑅 → ¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
4241imp 406 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
4342intnand 488 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ¬ (𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
44 ndmovg 7616 . . . . 5 ((dom 𝑆 = ((Base‘𝐸) × (0[,]+∞)) ∧ ¬ (𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑀𝑆𝑅) = ∅)
4533, 43, 44sylancr 587 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑀𝑆𝑅) = ∅)
461fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
4719, 46eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
4847rrxmetfi 25446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
49483ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
513fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . 12 (Met‘𝑃) = (Met‘(ℝ ↑m 𝐼))
5250, 51eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑃))
53 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝𝑃)
54 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀𝑃)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑀𝑃)
56 metge0 24355 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑃) ∧ 𝑝𝑃𝑀𝑃) → 0 ≤ (𝑝𝐷𝑀))
5752, 53, 55, 56syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 0 ≤ (𝑝𝐷𝑀))
58 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 → (0 ≤ (𝑝𝐷𝑀) ↔ 0 ≤ 𝑅))
5957, 58syl5ibcom 245 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
6059con3d 152 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (¬ 0 ≤ 𝑅 → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
6160impancom 451 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑝𝑃 → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
6261imp 406 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑝𝑃) → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6362ralrimiva 3146 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ∀𝑝𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
64 eqcom 2744 . . . . . 6 (∅ = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = ∅)
65 rabeq0 4388 . . . . . 6 ({𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = ∅ ↔ ∀𝑝𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6664, 65bitri 275 . . . . 5 (∅ = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ ∀𝑝𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6763, 66sylibr 234 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ∅ = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
6845, 67eqtrd 2777 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
6968expcom 413 . 2 (¬ 0 ≤ 𝑅 → ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
7028, 69pm2.61i 182 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  c0 4333   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  [,]cicc 13390  Basecbs 17247  distcds 17306  Metcmet 21350  ℝ^crrx 25417  Spherecsph 48649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-xmet 21357  df-met 21358  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-nm 24595  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419  df-sph 48651
This theorem is referenced by:  2sphere  48670
  Copyright terms: Public domain W3C validator