Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxsphere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxsphere 45527
 Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a generalized real Euclidean space of finite dimension. Remark: this theorem holds also for the degenerate case 𝑅 < 0 (negative radius): in this case, (𝑀𝑆𝑅) is empty. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxspheres.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxspheres.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxspheres.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
rrxspheres.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
rrxsphere ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem rrxsphere
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxspheres.e . . . . . 6 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
21fvexi 6672 . . . . 5 𝐸 ∈ V
3 rrxspheres.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
5 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
64, 1, 5rrxbasefi 24110 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
73, 6eqtr4id 2812 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
87eleq2d 2837 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → (𝑀𝑃𝑀 ∈ (Base‘𝐸)))
98biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
1093adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
1110adantl 485 . . . . 5 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
12 rexr 10725 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
13123ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
1413anim2i 619 . . . . . . 7 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝑅𝑅 ∈ ℝ*))
1514ancomd 465 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅))
16 elxrge0 12889 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅))
1715, 16sylibr 237 . . . . 5 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
18 rrxspheres.s . . . . . 6 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
19 rrxspheres.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝐸)
205, 18, 19sphere 45526 . . . . 5 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
212, 11, 17, 20mp3an2i 1463 . . . 4 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
22 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
2322, 1, 5rrxbasefi 24110 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
2423, 3eqtr4di 2811 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (Base‘𝐸) = 𝑃)
2524adantl 485 . . . . 5 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → (Base‘𝐸) = 𝑃)
2625rabeqdv 3397 . . . 4 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
2721, 26eqtrd 2793 . . 3 ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
2827ex 416 . 2 (0 ≤ 𝑅 → ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
295, 18, 19spheres 45525 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ V → 𝑆 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟}))
302, 29ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟})
31 fvex 6671 . . . . . . 7 (Base‘𝐸) ∈ V
3231rabex 5202 . . . . . 6 {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟} ∈ V
3330, 32dmmpo 7773 . . . . 5 dom 𝑆 = ((Base‘𝐸) × (0[,]+∞))
34 0xr 10726 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
35 pnfxr 10733 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
3634, 35pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
37 elicc1 12823 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞)))
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞)))
39 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞) → 0 ≤ 𝑅)
4038, 39syl6bi 256 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑅))
4140con3d 155 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (¬ 0 ≤ 𝑅 → ¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
4241imp 410 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
4342intnand 492 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ¬ (𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
44 ndmovg 7327 . . . . 5 ((dom 𝑆 = ((Base‘𝐸) × (0[,]+∞)) ∧ ¬ (𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑀𝑆𝑅) = ∅)
4533, 43, 44sylancr 590 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑀𝑆𝑅) = ∅)
461fveq2i 6661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
4719, 46eqtri 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
4847rrxmetfi 24112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
49483ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
5049adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
513fveq2i 6661 . . . . . . . . . . . 12 (Met‘𝑃) = (Met‘(ℝ ↑m 𝐼))
5250, 51eleqtrrdi 2863 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑃))
53 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝𝑃)
54 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀𝑃)
5554adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑀𝑃)
56 metge0 23047 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑃) ∧ 𝑝𝑃𝑀𝑃) → 0 ≤ (𝑝𝐷𝑀))
5752, 53, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 0 ≤ (𝑝𝐷𝑀))
58 breq2 5036 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 → (0 ≤ (𝑝𝐷𝑀) ↔ 0 ≤ 𝑅))
5957, 58syl5ibcom 248 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
6059con3d 155 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (¬ 0 ≤ 𝑅 → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
6160impancom 455 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑝𝑃 → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
6261imp 410 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑝𝑃) → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6362ralrimiva 3113 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ∀𝑝𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
64 eqcom 2765 . . . . . 6 (∅ = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = ∅)
65 rabeq0 4280 . . . . . 6 ({𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = ∅ ↔ ∀𝑝𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6664, 65bitri 278 . . . . 5 (∅ = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ ∀𝑝𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6763, 66sylibr 237 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ∅ = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
6845, 67eqtrd 2793 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
6968expcom 417 . 2 (¬ 0 ≤ 𝑅 → ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
7028, 69pm2.61i 185 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409  ∅c0 4225   class class class wbr 5032   × cxp 5522  dom cdm 5524  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ↑m cmap 8416  Fincfn 8527  ℝcr 10574  0cc0 10575  +∞cpnf 10710  ℝ*cxr 10712   ≤ cle 10714  [,]cicc 12782  Basecbs 16541  distcds 16632  Metcmet 20152  ℝ^crrx 24083  Spherecsph 45507 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-prds 16779  df-pws 16781  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-rnghom 19538  df-drng 19572  df-field 19573  df-subrg 19601  df-staf 19684  df-srng 19685  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-xmet 20159  df-met 20160  df-cnfld 20167  df-refld 20370  df-dsmm 20497  df-frlm 20512  df-nm 23284  df-tng 23286  df-tcph 23870  df-rrx 24085  df-sph 45509 This theorem is referenced by:  2sphere  45528
 Copyright terms: Public domain W3C validator