Theorem rrxsphere 49681

Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a generalized real Euclidean space of finite dimension. Remark: this theorem holds also for the degenerate case 𝑅 < 0 (negative radius): in this case, (𝑀𝑆𝑅) is empty. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxspheres.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxspheres.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxspheres.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
rrxspheres.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxsphere	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem rrxsphere

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxspheres.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2	1	fvexi 6893	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		rrxspheres.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
5		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
6	4, 1, 5	rrxbasefi 25641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
7	3, 6	eqtr4id 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
8	7	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ 𝑃 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐸)))
9	8	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
10	9	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
11	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐸))
12		rexr 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
13	12	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
14	13	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
15	14	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅))
16		elxrge0 13513	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅))
17	15, 16	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
18		rrxspheres.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
19		rrxspheres.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
20	5, 18, 19	sphere 49680	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
21	2, 11, 17, 20	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
22		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
23	22, 1, 5	rrxbasefi 25641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
24	23, 3	eqtr4di 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (Base‘𝐸) = 𝑃)
25	24	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (Base‘𝐸) = 𝑃)
26	25	rabeqdv 3427	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
27	21, 26	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
28	27	ex 418	. 2 ⊢ (0 ≤ 𝑅 → ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
29	5, 18, 19	spheres 49679	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ V → 𝑆 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟}))
30	2, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟})
31		fvex 6892	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) ∈ V
32	31	rabex 5303	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ (𝑝𝐷𝑥) = 𝑟} ∈ V
33	30, 32	dmmpo 8069	. . . . 5 ⊢ dom 𝑆 = ((Base‘𝐸) × (0[,]+∞))
34		0xr 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35		pnfxr 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
36	34, 35	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
37		elicc1 13445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
38	36, 37	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
39		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞) → 0 ≤ 𝑅)
40	38, 39	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑅))
41	40	con3d 153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (¬ 0 ≤ 𝑅 → ¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
42	41	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
43	42	intnand 494	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ¬ (𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
44		ndmovg 7598	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑆 = ((Base‘𝐸) × (0[,]+∞)) ∧ ¬ (𝑀 ∈ (Base‘𝐸) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑀𝑆𝑅) = ∅)
45	33, 43, 44	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑀𝑆𝑅) = ∅)
46	1	fveq2i 6882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
47	19, 46	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
48	47	rrxmetfi 25643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
49	48	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
51	3	fveq2i 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Met‘𝑃) = (Met‘(ℝ ↑m 𝐼))
52	50, 51	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑃))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
54		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ 𝑃)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑀 ∈ 𝑃)
56		metge0 24574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝𝐷𝑀))
57	52, 53, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝𝐷𝑀))
58		breq2 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 → (0 ≤ (𝑝𝐷𝑀) ↔ 0 ≤ 𝑅))
59	57, 58	syl5ibcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
60	59	con3d 153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (¬ 0 ≤ 𝑅 → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
61	60	impancom 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑝 ∈ 𝑃 → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
62	61	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
63	62	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
64		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ (∅ = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = ∅)
65		rabeq0 4338	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
66	64, 65	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∅ = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
67	63, 66	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → ∅ = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
68	45, 67	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑅) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
69	68	expcom 419	. 2 ⊢ (¬ 0 ≤ 𝑅 → ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
70	28, 69	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   × cxp 5653  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℝcr 11126  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   ≤ cle 11271  [,]cicc 13404  Basecbs 17304  distcds 17354  Metcmet 21574  ℝ^crrx 25614  Spherecsph 49661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-sum 15777  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-field 20896  df-staf 21008  df-srng 21009  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-xmet 21581  df-met 21582  df-cnfld 21589  df-refld 21821  df-dsmm 21948  df-frlm 21963  df-nm 24811  df-tng 24813  df-tcph 25400  df-rrx 25616  df-sph 49663

This theorem is used by:  2sphere  49682