Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxsphere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxsphere 47512
Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a generalized real Euclidean space of finite dimension. Remark: this theorem holds also for the degenerate case 𝑅 < 0 (negative radius): in this case, (𝑀𝑆𝑅) is empty. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxspheres.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxspheres.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxspheres.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
rrxspheres.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
rrxsphere ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem rrxsphere
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxspheres.e . . . . . 6 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
21fvexi 6905 . . . . 5 𝐸 ∈ V
3 rrxspheres.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜πΈ)
64, 1, 5rrxbasefi 24934 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜πΈ) = (ℝ ↑m 𝐼))
73, 6eqtr4id 2791 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΈ))
87eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑀 ∈ 𝑃 ↔ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ)))
98biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ))
1093adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ))
1110adantl 482 . . . . 5 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ))
12 rexr 11262 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
13123ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1413anim2i 617 . . . . . . 7 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ (0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
1514ancomd 462 . . . . . 6 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅))
16 elxrge0 13436 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅))
1715, 16sylibr 233 . . . . 5 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
18 rrxspheres.s . . . . . 6 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
19 rrxspheres.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
205, 18, 19sphere 47511 . . . . 5 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
212, 11, 17, 20mp3an2i 1466 . . . 4 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
22 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2322, 1, 5rrxbasefi 24934 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (Baseβ€˜πΈ) = (ℝ ↑m 𝐼))
2423, 3eqtr4di 2790 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (Baseβ€˜πΈ) = 𝑃)
2524adantl 482 . . . . 5 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ (Baseβ€˜πΈ) = 𝑃)
2625rabeqdv 3447 . . . 4 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
2721, 26eqtrd 2772 . . 3 ((0 ≀ 𝑅 ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
2827ex 413 . 2 (0 ≀ 𝑅 β†’ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
295, 18, 19spheres 47510 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ V β†’ 𝑆 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΈ), π‘Ÿ ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷π‘₯) = π‘Ÿ}))
302, 29ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΈ), π‘Ÿ ∈ (0[,]+∞) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷π‘₯) = π‘Ÿ})
31 fvex 6904 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΈ) ∈ V
3231rabex 5332 . . . . . 6 {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ (𝑝𝐷π‘₯) = π‘Ÿ} ∈ V
3330, 32dmmpo 8059 . . . . 5 dom 𝑆 = ((Baseβ€˜πΈ) Γ— (0[,]+∞))
34 0xr 11263 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
35 pnfxr 11270 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
3634, 35pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
37 elicc1 13370 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞)))
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞)))
39 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞) β†’ 0 ≀ 𝑅)
4038, 39syl6bi 252 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ 𝑅))
4140con3d 152 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 0 ≀ 𝑅 β†’ Β¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
4241imp 407 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ Β¬ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
4342intnand 489 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ Β¬ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞)))
44 ndmovg 7592 . . . . 5 ((dom 𝑆 = ((Baseβ€˜πΈ) Γ— (0[,]+∞)) ∧ Β¬ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∧ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = βˆ…)
4533, 43, 44sylancr 587 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = βˆ…)
461fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (distβ€˜πΈ) = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
4719, 46eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
4847rrxmetfi 24936 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
49483ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
513fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . 12 (Metβ€˜π‘ƒ) = (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼))
5250, 51eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘ƒ))
53 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
54 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
5554adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
56 metge0 23858 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ (𝑝𝐷𝑀))
5752, 53, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ (𝑝𝐷𝑀))
58 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 β†’ (0 ≀ (𝑝𝐷𝑀) ↔ 0 ≀ 𝑅))
5957, 58syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝑝𝐷𝑀) = 𝑅 β†’ 0 ≀ 𝑅))
6059con3d 152 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (Β¬ 0 ≀ 𝑅 β†’ Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
6160impancom 452 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅))
6261imp 407 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6362ralrimiva 3146 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
64 eqcom 2739 . . . . . 6 (βˆ… = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = βˆ…)
65 rabeq0 4384 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} = βˆ… ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6664, 65bitri 274 . . . . 5 (βˆ… = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅} ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅)
6763, 66sylibr 233 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ βˆ… = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
6845, 67eqtrd 2772 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
6968expcom 414 . 2 (Β¬ 0 ≀ 𝑅 β†’ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅}))
7028, 69pm2.61i 182 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝𝐷𝑀) = 𝑅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   ≀ cle 11251  [,]cicc 13329  Basecbs 17146  distcds 17208  Metcmet 20936  β„^crrx 24907  Spherecsph 47492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-field 20364  df-staf 20457  df-srng 20458  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-xmet 20943  df-met 20944  df-cnfld 20951  df-refld 21164  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-nm 24098  df-tng 24100  df-tcph 24693  df-rrx 24909  df-sph 47494
This theorem is referenced by:  2sphere  47513
  Copyright terms: Public domain W3C validator