MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0 14553
Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrd0 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd0
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5674 . . . 4 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2 opelxp 5674 . . . . 5 (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3 swrdval 14538 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
4 fzonlt0 13602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
54biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) = ∅ → ¬ 𝐹 < 𝐿))
65con2d 134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅))
76impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅)
8 ss0 4363 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹..^𝐿) ⊆ ∅ → (𝐹..^𝐿) = ∅)
97, 8nsyl 140 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅)
10 dm0 5881 . . . . . . . . . . . . 13 dom ∅ = ∅
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
1211sseq2d 3981 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅ ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅))
139, 12mtbird 325 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
1413iffalsed 4502 . . . . . . . . 9 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
15 ssidd 3972 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ∅ ⊆ ∅)
164biimpac 480 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
1710a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
1815, 16, 173sstr4d 3996 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
1918iftrued 4499 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
20 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
21 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
22 lenlt 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿𝐹 ↔ ¬ 𝐹 < 𝐿))
2322bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (¬ 𝐹 < 𝐿𝐿𝐹))
2420, 21, 23syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿𝐿𝐹))
25 fzo0n 13601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
2624, 25bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
2726biimpac 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0..^(𝐿𝐹)) = ∅)
2827mpteq1d 5205 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
2928dmeqd 5866 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
30 ral0 4475 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
31 dmmptg 6199 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3329, 32eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
34 mptrel 5786 . . . . . . . . . . . 12 Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹)))
35 reldm0 5888 . . . . . . . . . . . 12 (Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
3634, 35mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
3733, 36mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3819, 37eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
3914, 38pm2.61ian 811 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
40393adant1 1131 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
413, 40eqtrd 2777 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
42413expb 1121 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
432, 42sylan2b 595 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
441, 43sylbi 216 . . 3 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
45 df-substr 14536 . . . 4 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))), ∅))
46 ovex 7395 . . . . . 6 (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ∈ V
4746mptex 7178 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))) ∈ V
48 0ex 5269 . . . . 5 ∅ ∈ V
4947, 48ifex 4541 . . . 4 if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))), ∅) ∈ V
5045, 49dmmpo 8008 . . 3 dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
5144, 50eleq2s 2856 . 2 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
52 df-ov 7365 . . 3 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩)
53 ndmfv 6882 . . 3 (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩) = ∅)
5452, 53eqtrid 2789 . 2 (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5551, 54pm2.61i 182 1 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  Vcvv 3448  wss 3915  c0 4287  ifcif 4491  cop 4597   class class class wbr 5110  cmpt 5193   × cxp 5636  dom cdm 5638  Rel wrel 5643  cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  cz 12506  ..^cfzo 13574   substr csubstr 14535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-substr 14536
This theorem is referenced by:  pfx0  14570  cshword  14686
  Copyright terms: Public domain W3C validator