Theorem swrd0 14696

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0	⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd0

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5697	. . . 4 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2		opelxp 5697	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3		swrdval 14681	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
4		fzonlt0 13711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
5	4	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) = ∅ → ¬ 𝐹 < 𝐿))
6	5	con2d 135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅))
7	6	impcom 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅)
8		ss0 4358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹..^𝐿) ⊆ ∅ → (𝐹..^𝐿) = ∅)
9	7, 8	nsyl 141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅)
10		dm0 5910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom ∅ = ∅
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
12	11	sseq2d 3968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅ ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅))
13	9, 12	mtbird 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
14	13	iffalsed 4497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
15		ssidd 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ∅ ⊆ ∅)
16	4	biimpac 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
17	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
18	15, 16, 17	3sstr4d 3991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
19	18	iftrued 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
20		zre 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
21		zre 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
22		lenlt 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ ¬ 𝐹 < 𝐿))
23	22	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ 𝐿 ≤ 𝐹))
24	20, 21, 23	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ 𝐿 ≤ 𝐹))
25		fzo0n 13710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
26	24, 25	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
27	26	biimpac 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
28	27	mpteq1d 5200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
29	28	dmeqd 5895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
30		ral0 4458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
31		dmmptg 6243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
32	30, 31	mp1i 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
33	29, 32	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
34		mptrel 5812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹)))
35		reldm0 5918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
36	34, 35	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
37	33, 36	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
38	19, 37	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
39	14, 38	pm2.61ian 823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
40	39	3adant1 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
41	3, 40	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
42	41	3expb 1136	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
43	2, 42	sylan2b 605	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
44	1, 43	sylbi 220	. . 3 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
45		df-substr 14679	. . . 4 ⊢ substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))), ∅))
46		ovex 7443	. . . . . 6 ⊢ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ∈ V
47	46	mptex 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))) ∈ V
48		0ex 5269	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
49	47, 48	ifex 4537	. . . 4 ⊢ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))), ∅) ∈ V
50	45, 49	dmmpo 8067	. . 3 ⊢ dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
51	44, 50	eleq2s 2879	. 2 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
52		df-ov 7413	. . 3 ⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩)
53		ndmfv 6913	. . 3 ⊢ (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩) = ∅)
54	52, 53	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
55	51, 54	pm2.61i 184	1 ⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4486  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659  dom cdm 5661  Rel wrel 5666  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7983  2^nd c2nd 7984  ℝcr 11098  0cc0 11099   + caddc 11102   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  ℤcz 12590  ..^cfzo 13682   substr csubstr 14678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-substr 14679

This theorem is referenced by:  pfx0  14713  cshword  14828