MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0 14696
Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrd0 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd0
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5721 . . . 4 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2 opelxp 5721 . . . . 5 (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3 swrdval 14681 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
4 fzonlt0 13722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
54biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) = ∅ → ¬ 𝐹 < 𝐿))
65con2d 134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅))
76impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅)
8 ss0 4402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹..^𝐿) ⊆ ∅ → (𝐹..^𝐿) = ∅)
97, 8nsyl 140 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅)
10 dm0 5931 . . . . . . . . . . . . 13 dom ∅ = ∅
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
1211sseq2d 4016 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅ ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅))
139, 12mtbird 325 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
1413iffalsed 4536 . . . . . . . . 9 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
15 ssidd 4007 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ∅ ⊆ ∅)
164biimpac 478 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
1710a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
1815, 16, 173sstr4d 4039 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
1918iftrued 4533 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
20 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
21 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
22 lenlt 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿𝐹 ↔ ¬ 𝐹 < 𝐿))
2322bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (¬ 𝐹 < 𝐿𝐿𝐹))
2420, 21, 23syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿𝐿𝐹))
25 fzo0n 13721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
2624, 25bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
2726biimpac 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0..^(𝐿𝐹)) = ∅)
2827mpteq1d 5237 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
2928dmeqd 5916 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
30 ral0 4513 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
31 dmmptg 6262 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3329, 32eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
34 mptrel 5835 . . . . . . . . . . . 12 Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹)))
35 reldm0 5938 . . . . . . . . . . . 12 (Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
3634, 35mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
3733, 36mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3819, 37eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
3914, 38pm2.61ian 812 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
40393adant1 1131 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
413, 40eqtrd 2777 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
42413expb 1121 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
432, 42sylan2b 594 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
441, 43sylbi 217 . . 3 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
45 df-substr 14679 . . . 4 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))), ∅))
46 ovex 7464 . . . . . 6 (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ∈ V
4746mptex 7243 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))) ∈ V
48 0ex 5307 . . . . 5 ∅ ∈ V
4947, 48ifex 4576 . . . 4 if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))), ∅) ∈ V
5045, 49dmmpo 8096 . . 3 dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
5144, 50eleq2s 2859 . 2 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
52 df-ov 7434 . . 3 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩)
53 ndmfv 6941 . . 3 (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩) = ∅)
5452, 53eqtrid 2789 . 2 (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5551, 54pm2.61i 182 1 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  cop 4632   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  Rel wrel 5690  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cz 12613  ..^cfzo 13694   substr csubstr 14678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-substr 14679
This theorem is referenced by:  pfx0  14713  cshword  14829
  Copyright terms: Public domain W3C validator