Theorem swrd0 14610

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0	⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd0

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5658	. . . 4 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2		opelxp 5658	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3		swrdval 14595	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
4		fzonlt0 13626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
5	4	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) = ∅ → ¬ 𝐹 < 𝐿))
6	5	con2d 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅))
7	6	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅)
8		ss0 4343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹..^𝐿) ⊆ ∅ → (𝐹..^𝐿) = ∅)
9	7, 8	nsyl 140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅)
10		dm0 5867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom ∅ = ∅
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
12	11	sseq2d 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅ ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅))
13	9, 12	mtbird 325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
14	13	iffalsed 4478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
15		ssidd 3946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ∅ ⊆ ∅)
16	4	biimpac 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
17	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
18	15, 16, 17	3sstr4d 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
19	18	iftrued 4475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
20		zre 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
21		zre 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
22		lenlt 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ ¬ 𝐹 < 𝐿))
23	22	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ 𝐿 ≤ 𝐹))
24	20, 21, 23	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ 𝐿 ≤ 𝐹))
25		fzo0n 13625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
26	24, 25	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
27	26	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
28	27	mpteq1d 5176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
29	28	dmeqd 5852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
30		ral0 4439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
31		dmmptg 6198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
33	29, 32	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
34		mptrel 5772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹)))
35		reldm0 5875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
36	34, 35	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
37	33, 36	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
38	19, 37	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
39	14, 38	pm2.61ian 812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
40	39	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
41	3, 40	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
42	41	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
43	2, 42	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
44	1, 43	sylbi 217	. . 3 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
45		df-substr 14593	. . . 4 ⊢ substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))), ∅))
46		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ∈ V
47	46	mptex 7169	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))) ∈ V
48		0ex 5242	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
49	47, 48	ifex 4518	. . . 4 ⊢ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))), ∅) ∈ V
50	45, 49	dmmpo 8015	. . 3 ⊢ dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
51	44, 50	eleq2s 2855	. 2 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
52		df-ov 7361	. . 3 ⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩)
53		ndmfv 6864	. . 3 ⊢ (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩) = ∅)
54	52, 53	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
55	51, 54	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620  dom cdm 5622  Rel wrel 5627  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  ℝcr 11026  0cc0 11027   + caddc 11030   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℤcz 12513  ..^cfzo 13597   substr csubstr 14592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-substr 14593

This theorem is referenced by:  pfx0  14627  cshword  14742