Theorem swrd0 14576

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0	⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd0

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5657	. . . 4 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2		opelxp 5657	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3		swrdval 14561	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
4		fzonlt0 13592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
5	4	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) = ∅ → ¬ 𝐹 < 𝐿))
6	5	con2d 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅))
7	6	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅)
8		ss0 4353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹..^𝐿) ⊆ ∅ → (𝐹..^𝐿) = ∅)
9	7, 8	nsyl 140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅)
10		dm0 5867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom ∅ = ∅
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
12	11	sseq2d 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅ ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅))
13	9, 12	mtbird 325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
14	13	iffalsed 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
15		ssidd 3955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ∅ ⊆ ∅)
16	4	biimpac 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
17	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
18	15, 16, 17	3sstr4d 3987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
19	18	iftrued 4484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
20		zre 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
21		zre 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
22		lenlt 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ ¬ 𝐹 < 𝐿))
23	22	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ 𝐿 ≤ 𝐹))
24	20, 21, 23	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ 𝐿 ≤ 𝐹))
25		fzo0n 13591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
26	24, 25	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
27	26	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
28	27	mpteq1d 5185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
29	28	dmeqd 5852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
30		ral0 4464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
31		dmmptg 6197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
33	29, 32	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
34		mptrel 5772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹)))
35		reldm0 5875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
36	34, 35	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
37	33, 36	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
38	19, 37	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
39	14, 38	pm2.61ian 811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
40	39	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
41	3, 40	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
42	41	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
43	2, 42	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
44	1, 43	sylbi 217	. . 3 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
45		df-substr 14559	. . . 4 ⊢ substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))), ∅))
46		ovex 7388	. . . . . 6 ⊢ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ∈ V
47	46	mptex 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))) ∈ V
48		0ex 5249	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
49	47, 48	ifex 4527	. . . 4 ⊢ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))), ∅) ∈ V
50	45, 49	dmmpo 8012	. . 3 ⊢ dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
51	44, 50	eleq2s 2851	. 2 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
52		df-ov 7358	. . 3 ⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩)
53		ndmfv 6863	. . 3 ⊢ (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩) = ∅)
54	52, 53	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
55	51, 54	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284  ifcif 4476  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619  dom cdm 5621  Rel wrel 5626  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  1^st c1st 7928  2^nd c2nd 7929  ℝcr 11015  0cc0 11016   + caddc 11019   < clt 11156   ≤ cle 11157   − cmin 11354  ℤcz 12478  ..^cfzo 13564   substr csubstr 14558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-substr 14559

This theorem is referenced by:  pfx0  14593  cshword  14708