Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdmsscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdmsscn 45892
Description: 𝑋 is a subset of . This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdmsscn.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdmsscn.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dvdmsscn (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem dvdmsscn
StepHypRef Expression
1 restsspw 17478 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
2 dvdmsscn.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
31, 2sselid 3993 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4 elpwi 4612 . . 3 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑋𝑆)
6 dvdmsscn.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
7 recnprss 25954 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
95, 8sstrd 4006 1 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-rest 17469
This theorem is referenced by:  dvxpaek  45896  etransclem17  46207  etransclem18  46208  etransclem20  46210  etransclem21  46211  etransclem22  46212  etransclem29  46219  etransclem31  46221  etransclem34  46224  etransclem43  46233  etransclem46  46236
  Copyright terms: Public domain W3C validator