Theorem dvdmsscn 46945

Description: 𝑋 is a subset of ℂ. This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdmsscn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdmsscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
dvdmsscn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem dvdmsscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restsspw 17602	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
2		dvdmsscn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3	1, 2	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4		elpwi 4564	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
6		dvdmsscn.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
7		recnprss 26224	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	5, 8	sstrd 3941	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  {cpr 4586  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199   ↾_t crest 17591  TopOpenctopn 17592  ℂ_fldccnfld 21678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-rest 17593

This theorem is used by:  dvxpaek  46949  etransclem17  47260  etransclem18  47261  etransclem20  47263  etransclem21  47264  etransclem22  47265  etransclem29  47272  etransclem31  47274  etransclem34  47277  etransclem43  47286  etransclem46  47289