Theorem dvdmsscn 46387

Description: 𝑋 is a subset of ℂ. This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdmsscn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdmsscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
dvdmsscn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem dvdmsscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restsspw 17386	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
2		dvdmsscn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3	1, 2	sselid 3913	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4		elpwi 4537	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
6		dvdmsscn.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
7		recnprss 25890	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	5, 8	sstrd 3925	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  {cpr 4558  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  ℝcr 11029   ↾_t crest 17375  TopOpenctopn 17376  ℂ_fldccnfld 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-rest 17377

This theorem is referenced by:  dvxpaek  46391  etransclem17  46702  etransclem18  46703  etransclem20  46705  etransclem21  46706  etransclem22  46707  etransclem29  46714  etransclem31  46716  etransclem34  46719  etransclem43  46728  etransclem46  46731