Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdmsscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdmsscn 44267
Description: 𝑋 is a subset of β„‚. This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdmsscn.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvdmsscn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dvdmsscn (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)

Proof of Theorem dvdmsscn
StepHypRef Expression
1 restsspw 17321 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) βŠ† 𝒫 𝑆
2 dvdmsscn.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
31, 2sselid 3946 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4 elpwi 4571 . . 3 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
6 dvdmsscn.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
7 recnprss 25291 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
86, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
95, 8sstrd 3958 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  {cpr 4592  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  β„‚fldccnfld 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-rest 17312
This theorem is referenced by:  dvxpaek  44271  etransclem17  44582  etransclem18  44583  etransclem20  44585  etransclem21  44586  etransclem22  44587  etransclem29  44594  etransclem31  44596  etransclem34  44599  etransclem43  44608  etransclem46  44611
  Copyright terms: Public domain W3C validator