Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdmsscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdmsscn 45206
Description: 𝑋 is a subset of β„‚. This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdmsscn.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvdmsscn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dvdmsscn (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)

Proof of Theorem dvdmsscn
StepHypRef Expression
1 restsspw 17383 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) βŠ† 𝒫 𝑆
2 dvdmsscn.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
31, 2sselid 3975 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4 elpwi 4604 . . 3 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
6 dvdmsscn.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
7 recnprss 25783 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
86, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
95, 8sstrd 3987 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  {cpr 4625  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  β„‚fldccnfld 21235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-rest 17374
This theorem is referenced by:  dvxpaek  45210  etransclem17  45521  etransclem18  45522  etransclem20  45524  etransclem21  45525  etransclem22  45526  etransclem29  45533  etransclem31  45535  etransclem34  45538  etransclem43  45547  etransclem46  45550
  Copyright terms: Public domain W3C validator