Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdmsscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdmsscn 45353
Description: 𝑋 is a subset of β„‚. This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdmsscn.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvdmsscn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dvdmsscn (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)

Proof of Theorem dvdmsscn
StepHypRef Expression
1 restsspw 17420 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) βŠ† 𝒫 𝑆
2 dvdmsscn.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
31, 2sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4 elpwi 4613 . . 3 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
6 dvdmsscn.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
7 recnprss 25853 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
86, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
95, 8sstrd 3992 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  {cpr 4634  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  β„‚fldccnfld 21286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-rest 17411
This theorem is referenced by:  dvxpaek  45357  etransclem17  45668  etransclem18  45669  etransclem20  45671  etransclem21  45672  etransclem22  45673  etransclem29  45680  etransclem31  45682  etransclem34  45685  etransclem43  45694  etransclem46  45697
  Copyright terms: Public domain W3C validator