Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdmsscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdmsscn 44642
Description: 𝑋 is a subset of β„‚. This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdmsscn.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvdmsscn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dvdmsscn (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)

Proof of Theorem dvdmsscn
StepHypRef Expression
1 restsspw 17376 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) βŠ† 𝒫 𝑆
2 dvdmsscn.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
31, 2sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4 elpwi 4609 . . 3 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
6 dvdmsscn.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
7 recnprss 25420 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
86, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
95, 8sstrd 3992 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-rest 17367
This theorem is referenced by:  dvxpaek  44646  etransclem17  44957  etransclem18  44958  etransclem20  44960  etransclem21  44961  etransclem22  44962  etransclem29  44969  etransclem31  44971  etransclem34  44974  etransclem43  44983  etransclem46  44986
  Copyright terms: Public domain W3C validator