Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdmsscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdmsscn 40895
Description: 𝑋 is a subset of . This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdmsscn.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdmsscn.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dvdmsscn (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem dvdmsscn
StepHypRef Expression
1 restsspw 16407 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
2 dvdmsscn.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
31, 2sseldi 3796 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4 elpwi 4359 . . 3 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑋𝑆)
6 dvdmsscn.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
7 recnprss 24009 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
95, 8sstrd 3808 1 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  wss 3769  𝒫 cpw 4349  {cpr 4370  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  t crest 16396  TopOpenctopn 16397  fldccnfld 20068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-rest 16398
This theorem is referenced by:  dvxpaek  40899  etransclem17  41211  etransclem18  41212  etransclem20  41214  etransclem21  41215  etransclem22  41216  etransclem29  41223  etransclem31  41225  etransclem34  41228  etransclem43  41237  etransclem46  41240
  Copyright terms: Public domain W3C validator