Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdmsscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdmsscn 45951
Description: 𝑋 is a subset of . This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdmsscn.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdmsscn.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dvdmsscn (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem dvdmsscn
StepHypRef Expression
1 restsspw 17476 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
2 dvdmsscn.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
31, 2sselid 3981 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4 elpwi 4607 . . 3 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑋𝑆)
6 dvdmsscn.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
7 recnprss 25939 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
95, 8sstrd 3994 1 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-rest 17467
This theorem is referenced by:  dvxpaek  45955  etransclem17  46266  etransclem18  46267  etransclem20  46269  etransclem21  46270  etransclem22  46271  etransclem29  46278  etransclem31  46280  etransclem34  46283  etransclem43  46292  etransclem46  46295
  Copyright terms: Public domain W3C validator