Theorem dvdmsscn 46385

Description: 𝑋 is a subset of ℂ. This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdmsscn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdmsscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
dvdmsscn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem dvdmsscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restsspw 17388	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
2		dvdmsscn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3	1, 2	sselid 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4		elpwi 4549	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
6		dvdmsscn.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
7		recnprss 25884	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	5, 8	sstrd 3933	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031   ↾_t crest 17377  TopOpenctopn 17378  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-rest 17379

This theorem is referenced by:  dvxpaek  46389  etransclem17  46700  etransclem18  46701  etransclem20  46703  etransclem21  46704  etransclem22  46705  etransclem29  46712  etransclem31  46714  etransclem34  46717  etransclem43  46726  etransclem46  46729