Theorem dvdmsscn 46122

Description: 𝑋 is a subset of ℂ. This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdmsscn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdmsscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
dvdmsscn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem dvdmsscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restsspw 17349	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
2		dvdmsscn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3	1, 2	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4		elpwi 4559	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
6		dvdmsscn.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
7		recnprss 25859	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	5, 8	sstrd 3942	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552  {cpr 4580  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023   ↾_t crest 17338  TopOpenctopn 17339  ℂ_fldccnfld 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-rest 17340

This theorem is referenced by:  dvxpaek  46126  etransclem17  46437  etransclem18  46438  etransclem20  46440  etransclem21  46441  etransclem22  46442  etransclem29  46449  etransclem31  46451  etransclem34  46454  etransclem43  46463  etransclem46  46466