Theorem dvdmsscn 46044

Description: 𝑋 is a subset of ℂ. This statement is very often used when computing derivatives. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdmsscn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdmsscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
dvdmsscn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem dvdmsscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restsspw 17335	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
2		dvdmsscn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3	1, 2	sselid 3927	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
4		elpwi 4554	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
6		dvdmsscn.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
7		recnprss 25832	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	5, 8	sstrd 3940	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  {cpr 4575  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  ℂ_fldccnfld 21291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-rest 17326

This theorem is referenced by:  dvxpaek  46048  etransclem17  46359  etransclem18  46360  etransclem20  46362  etransclem21  46363  etransclem22  46364  etransclem29  46371  etransclem31  46373  etransclem34  46376  etransclem43  46385  etransclem46  46388