Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem17 45052
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem17.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem17.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem17.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem17.1 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem17.J (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem17.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
etransclem17 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,π‘₯   𝑗,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑁   𝑃,𝑗,π‘₯   π‘₯,𝑆   𝑗,𝑋,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(π‘₯,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem17
StepHypRef Expression
1 etransclem17.1 . . . . . 6 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
2 etransclem17.s . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
3 etransclem17.x . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
42, 3dvdmsscn 44737 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
54sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
65adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7 elfzelz 13503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
87zcnd 12669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
98ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
106, 9negsubd 11579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + -𝑗) = (π‘₯ βˆ’ 𝑗))
1110eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑗) = (π‘₯ + -𝑗))
1211oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((π‘₯ + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
1312mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
1413mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))))
151, 14eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))))
16 negeq 11454 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 β†’ -𝑗 = -𝐽)
1716oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 β†’ (π‘₯ + -𝑗) = (π‘₯ + -𝐽))
18 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 β†’ (𝑗 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
1918ifbid 4551 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
2017, 19oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((π‘₯ + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
2120mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐽 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
2221adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
23 etransclem17.J . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
24 mptexg 7225 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ V)
253, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ V)
2615, 22, 23, 25fvmptd 7005 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π½) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
2726oveq2d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½)) = (𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))))
2827fveq1d 6893 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))β€˜π‘))
29 etransclem17.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
30 elfzelz 13503 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
3130zcnd 12669 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
3223, 31syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
3332negcld 11560 . . . 4 (πœ‘ β†’ -𝐽 ∈ β„‚)
34 etransclem17.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
35 nnm1nn0 12515 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3634, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3734nnnn0d 12534 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
3836, 37ifcld 4574 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
39 eqid 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
402, 3, 33, 38, 39dvnxpaek 44743 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))))
4129, 40mpdan 685 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))))
4232adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
435, 42negsubd 11579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + -𝐽) = (π‘₯ βˆ’ 𝐽))
4443oveq1d 7426 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))
4544oveq2d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) = (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))
4645ifeq2d 4548 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))))
4746mpteq2dva 5248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))))
4828, 41, 473eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ifcif 4528  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  ...cfz 13486  β†‘cexp 14029  !cfa 14235   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  β„‚fldccnfld 20950   D𝑛 cdvn 25388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-dvn 25392
This theorem is referenced by:  etransclem19  45054  etransclem20  45055  etransclem21  45056  etransclem22  45057
  Copyright terms: Public domain W3C validator