Theorem etransclem17 46256

Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem17.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem17.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem17.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem17.1	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem17.J	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem17.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
etransclem17	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝑥,𝑁   𝑃,𝑗,𝑥   𝑥,𝑆   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem17.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
2		etransclem17.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		etransclem17.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
4	2, 3	dvdmsscn 45941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	4	sselda 3949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		elfzelz 13492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
9	8	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ ℂ)
10	6, 9	negsubd 11546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + -𝑗) = (𝑥 − 𝑗))
11	10	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 + -𝑗))
12	11	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
13	12	mpteq2dva 5203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
14	13	mpteq2dva 5203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
15	1, 14	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
16		negeq 11420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → -𝑗 = -𝐽)
17	16	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑥 + -𝑗) = (𝑥 + -𝐽))
18		eqeq1 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
19	18	ifbid 4515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
20	17, 19	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
21	20	mpteq2dv 5204	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
23		etransclem17.J	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
24		mptexg 7198	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
25	3, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
26	15, 22, 23, 25	fvmptd 6978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
27	26	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽)) = (𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
28	27	fveq1d 6863	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁))
29		etransclem17.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30		elfzelz 13492	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 12646	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℂ)
32	23, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
33	32	negcld 11527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℂ)
34		etransclem17.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
35		nnm1nn0 12490	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
37	34	nnnn0d 12510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
38	36, 37	ifcld 4538	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
39		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
40	2, 3, 33, 38, 39	dvnxpaek 45947	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
41	29, 40	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
42	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ ℂ)
43	5, 42	negsubd 11546	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + -𝐽) = (𝑥 − 𝐽))
44	43	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) = ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
45	44	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) = (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))
46	45	ifeq2d 4512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
47	46	mpteq2dva 5203	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
48	28, 41, 47	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ifcif 4491  {cpr 4594   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  !cfa 14245   ↾_t crest 17390  TopOpenctopn 17391  ℂ_fldccnfld 21271   D^𝑛 cdvn 25772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-dvn 25776

This theorem is referenced by:  etransclem19  46258  etransclem20  46259  etransclem21  46260  etransclem22  46261