Theorem etransclem17 46354

Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem17.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem17.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem17.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem17.1	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem17.J	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem17.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
etransclem17	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝑥,𝑁   𝑃,𝑗,𝑥   𝑥,𝑆   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem17.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
2		etransclem17.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		etransclem17.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
4	2, 3	dvdmsscn 46039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	4	sselda 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		elfzelz 13430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
9	8	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ ℂ)
10	6, 9	negsubd 11484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + -𝑗) = (𝑥 − 𝑗))
11	10	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 + -𝑗))
12	11	oveq1d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
13	12	mpteq2dva 5186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
14	13	mpteq2dva 5186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
15	1, 14	eqtrid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
16		negeq 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → -𝑗 = -𝐽)
17	16	oveq2d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑥 + -𝑗) = (𝑥 + -𝐽))
18		eqeq1 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
19	18	ifbid 4498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
20	17, 19	oveq12d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
21	20	mpteq2dv 5187	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
23		etransclem17.J	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
24		mptexg 7161	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
25	3, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
26	15, 22, 23, 25	fvmptd 6942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
27	26	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽)) = (𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
28	27	fveq1d 6830	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁))
29		etransclem17.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30		elfzelz 13430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℂ)
32	23, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
33	32	negcld 11465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℂ)
34		etransclem17.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
35		nnm1nn0 12428	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
37	34	nnnn0d 12448	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
38	36, 37	ifcld 4521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
39		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
40	2, 3, 33, 38, 39	dvnxpaek 46045	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
41	29, 40	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
42	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ ℂ)
43	5, 42	negsubd 11484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + -𝐽) = (𝑥 − 𝐽))
44	43	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) = ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
45	44	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) = (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))
46	45	ifeq2d 4495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
47	46	mpteq2dva 5186	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
48	28, 41, 47	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ifcif 4474  {cpr 4577   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  ℝcr 11011  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015   · cmul 11017   < clt 11152   − cmin 11350  -cneg 11351   / cdiv 11780  ℕcn 12131  ℕ₀cn0 12387  ...cfz 13413  ↑cexp 13974  !cfa 14186   ↾_t crest 17330  TopOpenctopn 17331  ℂ_fldccnfld 21297   D^𝑛 cdvn 25798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-exp 13975  df-fac 14187  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-rest 17332  df-topn 17333  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-topgen 17353  df-pt 17354  df-prds 17357  df-xrs 17412  df-qtop 17417  df-imas 17418  df-xps 17420  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-mulg 18987  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-lp 23057  df-perf 23058  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-haus 23236  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-dvn 25802

This theorem is referenced by:  etransclem19  46356  etransclem20  46357  etransclem21  46358  etransclem22  46359