Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem17 41105
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem17.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem17.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem17.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem17.1 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem17.J (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem17.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
etransclem17 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝑥,𝑁   𝑃,𝑗,𝑥   𝑥,𝑆   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem17
StepHypRef Expression
1 etransclem17.1 . . . . . 6 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
2 etransclem17.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 etransclem17.x . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
42, 3dvdmsscn 40789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
54sselda 3761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
65adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
7 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
87zcnd 11730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
98ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑗 ∈ ℂ)
106, 9negsubd 10652 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥 + -𝑗) = (𝑥𝑗))
1110eqcomd 2771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝑗) = (𝑥 + -𝑗))
1211oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
1312mpteq2dva 4903 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
1413mpteq2dva 4903 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
151, 14syl5eq 2811 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
16 negeq 10527 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → -𝑗 = -𝐽)
1716oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → (𝑥 + -𝑗) = (𝑥 + -𝐽))
18 eqeq1 2769 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
1918ifbid 4265 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
2017, 19oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
2120mpteq2dv 4904 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐽 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
2221adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
23 etransclem17.J . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
24 mptexg 6677 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
253, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
2615, 22, 23, 25fvmptd 6477 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐽) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
2726oveq2d 6858 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽)) = (𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
2827fveq1d 6377 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁))
29 etransclem17.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
30 elfzelz 12549 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
3130zcnd 11730 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℂ)
3223, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
3332negcld 10633 . . . 4 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℂ)
34 etransclem17.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
35 nnm1nn0 11581 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
3634, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
3734nnnn0d 11598 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
3836, 37ifcld 4288 . . . 4 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
39 eqid 2765 . . . 4 (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
402, 3, 33, 38, 39dvnxpaek 40795 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
4129, 40mpdan 678 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
4232adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ ℂ)
435, 42negsubd 10652 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 + -𝐽) = (𝑥𝐽))
4443oveq1d 6857 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) = ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
4544oveq2d 6858 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) = (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))
4645ifeq2d 4262 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
4746mpteq2dva 4903 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) = (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
4828, 41, 473eqtrd 2803 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  ifcif 4243  {cpr 4336   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  ...cfz 12533  cexp 13067  !cfa 13264  t crest 16347  TopOpenctopn 16348  fldccnfld 20019   D𝑛 cdvn 23919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-dvn 23923
This theorem is referenced by:  etransclem19  41107  etransclem20  41108  etransclem21  41109  etransclem22  41110
  Copyright terms: Public domain W3C validator