Theorem etransclem17 42893

Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem17.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem17.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem17.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem17.1	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem17.J	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem17.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
etransclem17	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝑥,𝑁   𝑃,𝑗,𝑥   𝑥,𝑆   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem17.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
2		etransclem17.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		etransclem17.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
4	2, 3	dvdmsscn 42578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	4	sselda 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
9	8	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ ℂ)
10	6, 9	negsubd 10992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + -𝑗) = (𝑥 − 𝑗))
11	10	eqcomd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 + -𝑗))
12	11	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
13	12	mpteq2dva 5125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
14	13	mpteq2dva 5125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
15	1, 14	syl5eq 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
16		negeq 10867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → -𝑗 = -𝐽)
17	16	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑥 + -𝑗) = (𝑥 + -𝐽))
18		eqeq1 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
19	18	ifbid 4447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
20	17, 19	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
21	20	mpteq2dv 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
22	21	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
23		etransclem17.J	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
24		mptexg 6961	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
25	3, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
26	15, 22, 23, 25	fvmptd 6752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
27	26	oveq2d 7151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽)) = (𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
28	27	fveq1d 6647	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁))
29		etransclem17.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30		elfzelz 12902	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 12076	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℂ)
32	23, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
33	32	negcld 10973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℂ)
34		etransclem17.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
35		nnm1nn0 11926	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
37	34	nnnn0d 11943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
38	36, 37	ifcld 4470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
39		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
40	2, 3, 33, 38, 39	dvnxpaek 42584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
41	29, 40	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
42	32	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ ℂ)
43	5, 42	negsubd 10992	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + -𝐽) = (𝑥 − 𝐽))
44	43	oveq1d 7150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) = ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
45	44	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) = (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))
46	45	ifeq2d 4444	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
47	46	mpteq2dva 5125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
48	28, 41, 47	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ifcif 4425  {cpr 4527   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  !cfa 13629   ↾_t crest 16686  TopOpenctopn 16687  ℂ_fldccnfld 20091   D^𝑛 cdvn 24467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-dvn 24471

This theorem is referenced by:  etransclem19  42895  etransclem20  42896  etransclem21  42897  etransclem22  42898