Theorem etransclem17 44902

Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem17.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem17.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem17.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem17.1	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem17.J	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem17.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
etransclem17	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝑥,𝑁   𝑃,𝑗,𝑥   𝑥,𝑆   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem17.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
2		etransclem17.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		etransclem17.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
4	2, 3	dvdmsscn 44587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	4	sselda 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		elfzelz 13497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
9	8	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ ℂ)
10	6, 9	negsubd 11573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + -𝑗) = (𝑥 − 𝑗))
11	10	eqcomd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝑗) = (𝑥 + -𝑗))
12	11	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
13	12	mpteq2dva 5247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
14	13	mpteq2dva 5247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
15	1, 14	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
16		negeq 11448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → -𝑗 = -𝐽)
17	16	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑥 + -𝑗) = (𝑥 + -𝐽))
18		eqeq1 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 = 0 ↔ 𝐽 = 0))
19	18	ifbid 4550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
20	17, 19	oveq12d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
21	20	mpteq2dv 5249	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
22	21	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
23		etransclem17.J	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
24		mptexg 7218	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
25	3, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
26	15, 22, 23, 25	fvmptd 7001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐽) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
27	26	oveq2d 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽)) = (𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))))
28	27	fveq1d 6890	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁))
29		etransclem17.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30		elfzelz 13497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 12663	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℂ)
32	23, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
33	32	negcld 11554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℂ)
34		etransclem17.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
35		nnm1nn0 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
37	34	nnnn0d 12528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
38	36, 37	ifcld 4573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
39		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
40	2, 3, 33, 38, 39	dvnxpaek 44593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
41	29, 40	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + -𝐽)↑if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
42	32	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ ℂ)
43	5, 42	negsubd 11573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + -𝐽) = (𝑥 − 𝐽))
44	43	oveq1d 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) = ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
45	44	oveq2d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) = (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))
46	45	ifeq2d 4547	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
47	46	mpteq2dva 5247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 + -𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
48	28, 41, 47	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ifcif 4527  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ...cfz 13480  ↑cexp 14023  !cfa 14229   ↾_t crest 17362  TopOpenctopn 17363  ℂ_fldccnfld 20929   D^𝑛 cdvn 25363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-dvn 25367

This theorem is referenced by:  etransclem19  44904  etransclem20  44905  etransclem21  44906  etransclem22  44907