Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvxpaek Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvxpaek 45955
Description: Derivative of the polynomial (𝑥 + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvxpaek.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvxpaek.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvxpaek.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvxpaek.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dvxpaek (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvxpaek
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvxpaek.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 cnelprrecn 11248 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 dvxpaek.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51, 4dvdmsscn 45951 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
7 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
86, 7sseldd 3984 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 dvxpaek.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
118, 10addcld 11280 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
12 1red 11262 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ)
13 0red 11264 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 11290 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (1 + 0) ∈ ℝ)
15 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
16 dvxpaek.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1716nnnn0d 12587 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
1817adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1915, 18expcld 14186 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝐾) ∈ ℂ)
2018nn0cnd 12589 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℂ)
21 nnm1nn0 12567 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
2216, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
2415, 23expcld 14186 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
2520, 24mulcld 11281 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
261, 4dvmptidg 45932 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ 1))
271, 4, 9dvmptconst 45930 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
281, 8, 12, 26, 10, 13, 27dvmptadd 25998 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝑥 + 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (1 + 0)))
29 dvexp 25991 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝐾))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1)))))
3016, 29syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝐾))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1)))))
31 oveq1 7438 . . 3 (𝑦 = (𝑥 + 𝐴) → (𝑦𝐾) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
32 oveq1 7438 . . . 4 (𝑦 = (𝑥 + 𝐴) → (𝑦↑(𝐾 − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))
3332oveq2d 7447 . . 3 (𝑦 = (𝑥 + 𝐴) → (𝐾 · (𝑦↑(𝐾 − 1))) = (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))))
341, 3, 11, 14, 19, 25, 28, 30, 31, 33dvmptco 26010 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0))))
35 1p0e1 12390 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
3635oveq2i 7442 . . . . 5 ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0)) = ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · 1)
3736a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0)) = ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · 1))
3816nncnd 12282 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ ℂ)
4022adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
4111, 40expcld 14186 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
4239, 41mulcld 11281 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
4342mulridd 11278 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · 1) = (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))))
4437, 43eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0)) = (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))))
4544mpteq2dva 5242 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1))) · (1 + 0))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))))
4634, 45eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐾 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {cpr 4628  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cexp 14102  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  dvnxpaek  45957
  Copyright terms: Public domain W3C validator