Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvxpaek Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvxpaek 45319
Description: Derivative of the polynomial (π‘₯ + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvxpaek.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvxpaek.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
dvxpaek.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvxpaek.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dvxpaek (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem dvxpaek
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvxpaek.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 cnelprrecn 11226 . . . 4 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
4 dvxpaek.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
51, 4dvdmsscn 45315 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
65adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
7 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
86, 7sseldd 3980 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9 dvxpaek.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
109adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
118, 10addcld 11258 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝐴) ∈ β„‚)
12 1red 11240 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ)
13 0red 11242 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 11268 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (1 + 0) ∈ ℝ)
15 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
16 dvxpaek.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
1716nnnn0d 12557 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1817adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1915, 18expcld 14137 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦↑𝐾) ∈ β„‚)
2018nn0cnd 12559 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
21 nnm1nn0 12538 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ β„• β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2216, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2322adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2415, 23expcld 14137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
2520, 24mulcld 11259 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
261, 4dvmptidg 45296 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 1))
271, 4, 9dvmptconst 45294 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
281, 8, 12, 26, 10, 13, 27dvmptadd 25886 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ + 𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (1 + 0)))
29 dvexp 25879 . . . 4 (𝐾 ∈ β„• β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝐾))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
3016, 29syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝐾))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
31 oveq1 7422 . . 3 (𝑦 = (π‘₯ + 𝐴) β†’ (𝑦↑𝐾) = ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
32 oveq1 7422 . . . 4 (𝑦 = (π‘₯ + 𝐴) β†’ (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))
3332oveq2d 7431 . . 3 (𝑦 = (π‘₯ + 𝐴) β†’ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1))) = (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))))
341, 3, 11, 14, 19, 25, 28, 30, 31, 33dvmptco 25898 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0))))
35 1p0e1 12361 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
3635oveq2i 7426 . . . . 5 ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0)) = ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· 1)
3736a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0)) = ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· 1))
3816nncnd 12253 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
4022adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4111, 40expcld 14137 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4239, 41mulcld 11259 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
4342mulridd 11256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· 1) = (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))))
4437, 43eqtrd 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0)) = (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))))
4544mpteq2dva 5243 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
4634, 45eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3945  {cpr 4627   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  β„‚cc 11131  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138   βˆ’ cmin 11469  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  β†‘cexp 14053   β†Ύt crest 17396  TopOpenctopn 17397  β„‚fldccnfld 21273   D cdv 25786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19018  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-lp 23034  df-perf 23035  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-haus 23213  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cncf 24792  df-limc 25789  df-dv 25790
This theorem is referenced by:  dvnxpaek  45321
  Copyright terms: Public domain W3C validator