Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvxpaek Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvxpaek 44283
Description: Derivative of the polynomial (π‘₯ + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvxpaek.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvxpaek.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
dvxpaek.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvxpaek.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dvxpaek (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem dvxpaek
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvxpaek.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 cnelprrecn 11154 . . . 4 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
4 dvxpaek.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
51, 4dvdmsscn 44279 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
65adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
7 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
86, 7sseldd 3949 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9 dvxpaek.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
109adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
118, 10addcld 11184 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝐴) ∈ β„‚)
12 1red 11166 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ)
13 0red 11168 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 11194 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (1 + 0) ∈ ℝ)
15 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
16 dvxpaek.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
1716nnnn0d 12483 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1817adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1915, 18expcld 14062 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦↑𝐾) ∈ β„‚)
2018nn0cnd 12485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
21 nnm1nn0 12464 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ β„• β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2216, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2322adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2415, 23expcld 14062 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
2520, 24mulcld 11185 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
261, 4dvmptidg 44260 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 1))
271, 4, 9dvmptconst 44258 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
281, 8, 12, 26, 10, 13, 27dvmptadd 25362 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ + 𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (1 + 0)))
29 dvexp 25355 . . . 4 (𝐾 ∈ β„• β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝐾))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
3016, 29syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝐾))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
31 oveq1 7370 . . 3 (𝑦 = (π‘₯ + 𝐴) β†’ (𝑦↑𝐾) = ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
32 oveq1 7370 . . . 4 (𝑦 = (π‘₯ + 𝐴) β†’ (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))
3332oveq2d 7379 . . 3 (𝑦 = (π‘₯ + 𝐴) β†’ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1))) = (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))))
341, 3, 11, 14, 19, 25, 28, 30, 31, 33dvmptco 25374 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0))))
35 1p0e1 12287 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
3635oveq2i 7374 . . . . 5 ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0)) = ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· 1)
3736a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0)) = ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· 1))
3816nncnd 12179 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
3938adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
4022adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4111, 40expcld 14062 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4239, 41mulcld 11185 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
4342mulridd 11182 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· 1) = (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))))
4437, 43eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0)) = (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))))
4544mpteq2dva 5211 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
4634, 45eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  {cpr 4594   ↦ cmpt 5194  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363  β„‚cc 11059  β„cr 11060  0cc0 11061  1c1 11062   + caddc 11064   Β· cmul 11066   βˆ’ cmin 11395  β„•cn 12163  β„•0cn0 12423  β†‘cexp 13978   β†Ύt crest 17317  TopOpenctopn 17318  β„‚fldccnfld 20834   D cdv 25265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139  ax-addf 11140  ax-mulf 11141
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7623  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8099  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-2o 8419  df-er 8656  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8844  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-fsupp 9314  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9456  df-card 9885  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-4 12228  df-5 12229  df-6 12230  df-7 12231  df-8 12232  df-9 12233  df-n0 12424  df-z 12510  df-dec 12629  df-uz 12774  df-q 12884  df-rp 12926  df-xneg 13043  df-xadd 13044  df-xmul 13045  df-icc 13282  df-fz 13436  df-fzo 13579  df-seq 13918  df-exp 13979  df-hash 14242  df-cj 14997  df-re 14998  df-im 14999  df-sqrt 15133  df-abs 15134  df-struct 17031  df-sets 17048  df-slot 17066  df-ndx 17078  df-base 17096  df-ress 17125  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-hom 17172  df-cco 17173  df-rest 17319  df-topn 17320  df-0g 17338  df-gsum 17339  df-topgen 17340  df-pt 17341  df-prds 17344  df-xrs 17399  df-qtop 17404  df-imas 17405  df-xps 17407  df-mre 17481  df-mrc 17482  df-acs 17484  df-mgm 18512  df-sgrp 18561  df-mnd 18572  df-submnd 18617  df-mulg 18888  df-cntz 19112  df-cmn 19579  df-psmet 20826  df-xmet 20827  df-met 20828  df-bl 20829  df-mopn 20830  df-fbas 20831  df-fg 20832  df-cnfld 20835  df-top 22281  df-topon 22298  df-topsp 22320  df-bases 22334  df-cld 22408  df-ntr 22409  df-cls 22410  df-nei 22487  df-lp 22525  df-perf 22526  df-cn 22616  df-cnp 22617  df-haus 22704  df-tx 22951  df-hmeo 23144  df-fil 23235  df-fm 23327  df-flim 23328  df-flf 23329  df-xms 23711  df-ms 23712  df-tms 23713  df-cncf 24279  df-limc 25268  df-dv 25269
This theorem is referenced by:  dvnxpaek  44285
  Copyright terms: Public domain W3C validator