Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvxpaek Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvxpaek 45166
Description: Derivative of the polynomial (π‘₯ + 𝐴)↑𝐾. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvxpaek.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvxpaek.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
dvxpaek.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvxpaek.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dvxpaek (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem dvxpaek
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvxpaek.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 cnelprrecn 11200 . . . 4 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
4 dvxpaek.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
51, 4dvdmsscn 45162 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
65adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
7 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
86, 7sseldd 3976 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9 dvxpaek.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
109adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
118, 10addcld 11231 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝐴) ∈ β„‚)
12 1red 11213 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ)
13 0red 11215 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 11241 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (1 + 0) ∈ ℝ)
15 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
16 dvxpaek.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
1716nnnn0d 12530 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1817adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1915, 18expcld 14109 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦↑𝐾) ∈ β„‚)
2018nn0cnd 12532 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
21 nnm1nn0 12511 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ β„• β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2216, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2322adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2415, 23expcld 14109 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
2520, 24mulcld 11232 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
261, 4dvmptidg 45143 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 1))
271, 4, 9dvmptconst 45141 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
281, 8, 12, 26, 10, 13, 27dvmptadd 25816 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ + 𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (1 + 0)))
29 dvexp 25809 . . . 4 (𝐾 ∈ β„• β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝐾))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
3016, 29syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝐾))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
31 oveq1 7409 . . 3 (𝑦 = (π‘₯ + 𝐴) β†’ (𝑦↑𝐾) = ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))
32 oveq1 7409 . . . 4 (𝑦 = (π‘₯ + 𝐴) β†’ (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1)) = ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))
3332oveq2d 7418 . . 3 (𝑦 = (π‘₯ + 𝐴) β†’ (𝐾 Β· (𝑦↑(𝐾 βˆ’ 1))) = (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))))
341, 3, 11, 14, 19, 25, 28, 30, 31, 33dvmptco 25828 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0))))
35 1p0e1 12334 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
3635oveq2i 7413 . . . . 5 ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0)) = ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· 1)
3736a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0)) = ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· 1))
3816nncnd 12226 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
4022adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4111, 40expcld 14109 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4239, 41mulcld 11232 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
4342mulridd 11229 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· 1) = (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))))
4437, 43eqtrd 2764 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0)) = (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))))
4544mpteq2dva 5239 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1))) Β· (1 + 0))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
4634, 45eqtrd 2764 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ + 𝐴)↑𝐾))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐾 Β· ((π‘₯ + 𝐴)↑(𝐾 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  {cpr 4623   ↦ cmpt 5222  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   βˆ’ cmin 11442  β„•cn 12210  β„•0cn0 12470  β†‘cexp 14025   β†Ύt crest 17367  TopOpenctopn 17368  β„‚fldccnfld 21230   D cdv 25716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-lp 22964  df-perf 22965  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-haus 23143  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cncf 24722  df-limc 25719  df-dv 25720
This theorem is referenced by:  dvnxpaek  45168
  Copyright terms: Public domain W3C validator