Theorem etransclem18 46892

Description: The given function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem18.s	⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem18.x	⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
etransclem18.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem18.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem18.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem18.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
etransclem18.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem18	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem18

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13460	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3		ioombl 25693	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5		ere 16143	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
6	5	recni 11223	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → e ∈ ℂ)
8		etransclem18.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		etransclem18.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	iccssred 13461	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11	10	sselda 3945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	negcld 11556	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
14	7, 13	cxpcld 26839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
15		etransclem18.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16		etransclem18.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
17	15, 16	dvdmsscn 46576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18		etransclem18.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
19		etransclem18.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
20	17, 18, 19	etransclem8 46882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
21	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
22	21, 11	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
23	14, 22	mulcld 11229	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
24		eqidd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)))
25		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
26	25	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
27	10, 17	sstrd 3955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
28	27	sselda 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	negcld 11556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
30	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → e ∈ ℂ)
31		negcl 11457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
32	30, 31	cxpcld 26839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
33	28, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
34	24, 26, 29, 33	fvmptd 6998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥) = (e↑𝑐-𝑥))
35	34	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥))
36	35	mpteq2dva 5208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)))
37		epr 16264	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ+
38		mnfxr 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → -∞ ∈ ℝ*)
40		0red 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
41		rpxr 13026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ*)
42		rpgt0 13029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → 0 < e)
43	39, 40, 41, 42	gtnelioc 46133	. . . . . . . . 9 ⊢ (e ∈ ℝ+ → ¬ e ∈ (-∞(,]0))
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ e ∈ (-∞(,]0)
45		eldif 3923	. . . . . . . 8 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (-∞(,]0)))
46	6, 44, 45	mpbir2an 723	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
47		cxpcncf2 46539	. . . . . . 7 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48	46, 47	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
49		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥)
50	49	negcncf 25050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
51	27, 50	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
52	48, 51	cncfmpt1f 25042	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
53	36, 52	eqeltrd 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
54		ax-resscn 11157	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
56	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ)
57		etransclem18.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
58	57	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
59		etransclem6 46880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
60	19, 59	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
61	55, 56, 58, 60, 11	etransclem13 46887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
62	61	mpteq2dva 5208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
63		fzfid 14009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
64	12	3adant3 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
65		elfzelz 13552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
66	65	zcnd 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
67	66	3ad2ant3 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
68	64, 67	subcld 11569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 − 𝑘) ∈ ℂ)
69		nnm1nn0 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
70	18, 69	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
71	18	nnnn0d 12565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
72	70, 71	ifcld 4539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
73	72	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
74	68, 73	expcld 14182	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
75		nfv 1941	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
76		ssid 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
78	27, 77	idcncfg 46513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
79	78	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
80	27	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
81	66	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
82	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
83	80, 81, 82	constcncfg 46512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84	79, 83	subcncf 25573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥 − 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
85		expcncf 25054	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
86	72, 85	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
87	86	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑘) → (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
89	75, 84, 87, 82, 88	cncfcompt2 25036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
90	27, 63, 74, 89	fprodcncf 46540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
91	62, 90	eqeltrd 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
92	53, 91	mulcncf 25574	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
93		cniccibl 25969	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
94	8, 9, 92, 93	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
95	2, 4, 23, 94	iblss 25933	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ifcif 4492  {cpr 4596   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105  -∞cmnf 11241  ℝ^*cxr 11242   − cmin 11441  -cneg 11442  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ℝ⁺crp 13016  (,)cioo 13372  (,]cioc 13373  [,]cicc 13375  ...cfz 13535  ↑cexp 14097  ∏cprod 15957  eceu 16116   ↾_t crest 17473  TopOpenctopn 17474  ℂ_fldccnfld 21491  –cn→ccncf 25004  volcvol 25591  𝐿¹cibl 25745  ↑_𝑐ccxp 26686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cc 10419  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-disj 5081  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-prod 15958  df-ef 16121  df-e 16122  df-sin 16123  df-cos 16124  df-tan 16125  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-cmp 23513  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-ovol 25592  df-vol 25593  df-mbf 25747  df-itg1 25748  df-itg2 25749  df-ibl 25750  df-0p 25798  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-cxp 26688

This theorem is referenced by:  etransclem23  46897  etransclem46  46920