Theorem etransclem18 47026

Description: The given function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem18.s	⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem18.x	⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
etransclem18.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem18.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem18.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem18.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
etransclem18.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem18	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐹(𝑥, 𝑗)

Proof of Theorem etransclem18

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13478	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3		ioombl 25777	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5		ere 16167	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
6	5	recni 11240	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → e ∈ ℂ)
8		etransclem18.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		etransclem18.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	iccssred 13479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11	10	sselda 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	negcld 11573	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
14	7, 13	cxpcld 26926	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
15		etransclem18.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16		etransclem18.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
17	15, 16	dvdmsscn 46710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18		etransclem18.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
19		etransclem18.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
20	17, 18, 19	etransclem8 47016	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
22	21, 11	ffvelcdmd 7084	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
23	14, 22	mulcld 11246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
24		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)))
25		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
26	25	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
27	10, 17	sstrd 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
28	27	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	negcld 11573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
30	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → e ∈ ℂ)
31		negcl 11474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
32	30, 31	cxpcld 26926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
33	28, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
34	24, 26, 29, 33	fvmptd 7001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥) = (e↑𝑐-𝑥))
35	34	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥))
36	35	mpteq2dva 5206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)))
37		epr 16288	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ+
38		mnfxr 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → -∞ ∈ ℝ*)
40		0red 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
41		rpxr 13044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ*)
42		rpgt0 13047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → 0 < e)
43	39, 40, 41, 42	gtnelioc 46267	. . . . . . . . 9 ⊢ (e ∈ ℝ+ → ¬ e ∈ (-∞(,]0))
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ e ∈ (-∞(,]0)
45		eldif 3916	. . . . . . . 8 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (-∞(,]0)))
46	6, 44, 45	mpbir2an 724	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
47		cxpcncf2 46673	. . . . . . 7 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48	46, 47	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
49		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥)
50	49	negcncf 25134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
51	27, 50	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
52	48, 51	cncfmpt1f 25126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
53	36, 52	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
54		ax-resscn 11174	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
56	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ)
57		etransclem18.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
58	57	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
59		etransclem6 47014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
60	19, 59	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
61	55, 56, 58, 60, 11	etransclem13 47021	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
62	61	mpteq2dva 5206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
63		fzfid 14029	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
64	12	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
65		elfzelz 13570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
66	65	zcnd 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
67	66	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
68	64, 67	subcld 11586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 − 𝑘) ∈ ℂ)
69		nnm1nn0 12562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
70	18, 69	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
71	18	nnnn0d 12582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
72	70, 71	ifcld 4536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
73	72	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
74	68, 73	expcld 14202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
75		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
76		ssid 3960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
78	27, 77	idcncfg 46647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
79	78	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
80	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
81	66	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
82	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
83	80, 81, 82	constcncfg 46646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84	79, 83	subcncf 25657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥 − 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
85		expcncf 25138	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
86	72, 85	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
87	86	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑘) → (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
89	75, 84, 87, 82, 88	cncfcompt2 25120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
90	27, 63, 74, 89	fprodcncf 46674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
91	62, 90	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
92	53, 91	mulcncf 25658	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
93		cniccibl 26053	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
94	8, 9, 92, 93	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
95	2, 4, 23, 94	iblss 26017	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {cpr 4593   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   · cmul 11122  -∞cmnf 11258  ℝ^*cxr 11259   − cmin 11458  -cneg 11459  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13390  (,]cioc 13391  [,]cicc 13393  ...cfz 13553  ↑cexp 14117  ∏cprod 15982  eceu 16140   ↾_t crest 17497  TopOpenctopn 17498  ℂ_fldccnfld 21574  –cn→ccncf 25088  volcvol 25675  𝐿¹cibl 25829  ↑_𝑐ccxp 26773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-prod 15983  df-ef 16145  df-e 16146  df-sin 16147  df-cos 16148  df-tan 16149  df-pi 16150  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-cmp 23596  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-ovol 25676  df-vol 25677  df-mbf 25831  df-itg1 25832  df-itg2 25833  df-ibl 25834  df-0p 25882  df-limc 26078  df-dv 26079  df-log 26774  df-cxp 26775

This theorem is used by:  etransclem23  47031  etransclem46  47054