Theorem etransclem18 45268

Description: The given function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem18.s	⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem18.x	⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
etransclem18.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem18.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem18.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem18.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
etransclem18.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem18	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem18

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13415	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3		ioombl 25315	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5		ere 16037	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
6	5	recni 11233	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → e ∈ ℂ)
8		etransclem18.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		etransclem18.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	iccssred 13416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11	10	sselda 3983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	negcld 11563	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
14	7, 13	cxpcld 26449	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
15		etransclem18.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16		etransclem18.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
17	15, 16	dvdmsscn 44952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18		etransclem18.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
19		etransclem18.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
20	17, 18, 19	etransclem8 45258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
22	21, 11	ffvelcdmd 7088	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
23	14, 22	mulcld 11239	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
24		eqidd 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)))
25		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
27	10, 17	sstrd 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
28	27	sselda 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	negcld 11563	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
30	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → e ∈ ℂ)
31		negcl 11465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
32	30, 31	cxpcld 26449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
34	24, 26, 29, 33	fvmptd 7006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥) = (e↑𝑐-𝑥))
35	34	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥))
36	35	mpteq2dva 5249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)))
37		epr 16156	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ+
38		mnfxr 11276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → -∞ ∈ ℝ*)
40		0red 11222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
41		rpxr 12988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ*)
42		rpgt0 12991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → 0 < e)
43	39, 40, 41, 42	gtnelioc 44504	. . . . . . . . 9 ⊢ (e ∈ ℝ+ → ¬ e ∈ (-∞(,]0))
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ e ∈ (-∞(,]0)
45		eldif 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (-∞(,]0)))
46	6, 44, 45	mpbir2an 708	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
47		cxpcncf2 44915	. . . . . . 7 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48	46, 47	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
49		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥)
50	49	negcncf 24663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
51	27, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
52	48, 51	cncfmpt1f 24655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
53	36, 52	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
54		ax-resscn 11170	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
56	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ)
57		etransclem18.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
58	57	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
59		etransclem6 45256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
60	19, 59	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
61	55, 56, 58, 60, 11	etransclem13 45263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
62	61	mpteq2dva 5249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
63		fzfid 13943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
64	12	3adant3 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
65		elfzelz 13506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
66	65	zcnd 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
67	66	3ad2ant3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
68	64, 67	subcld 11576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 − 𝑘) ∈ ℂ)
69		nnm1nn0 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
70	18, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
71	18	nnnn0d 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
72	70, 71	ifcld 4575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
73	72	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
74	68, 73	expcld 14116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
75		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
76		ssid 4005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
78	27, 77	idcncfg 44889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
79	78	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
80	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
81	66	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
82	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
83	80, 81, 82	constcncfg 44888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84	79, 83	subcncf 25194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥 − 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
85		expcncf 24668	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
86	72, 85	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
87	86	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑘) → (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
89	75, 84, 87, 82, 88	cncfcompt2 24649	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
90	27, 63, 74, 89	fprodcncf 44916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
91	62, 90	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
92	53, 91	mulcncf 25195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
93		cniccibl 25591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
94	8, 9, 92, 93	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
95	2, 4, 23, 94	iblss 25555	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ifcif 4529  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   · cmul 11118  -∞cmnf 11251  ℝ^*cxr 11252   − cmin 11449  -cneg 11450  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ℝ⁺crp 12979  (,)cioo 13329  (,]cioc 13330  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  ↑cexp 14032  ∏cprod 15854  eceu 16011   ↾_t crest 17371  TopOpenctopn 17372  ℂ_fldccnfld 21145  –cn→ccncf 24617  volcvol 25213  𝐿¹cibl 25367  ↑_𝑐ccxp 26297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-prod 15855  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298  df-cxp 26299

This theorem is referenced by:  etransclem23  45273  etransclem46  45296