Theorem etransclem18 46173

Description: The given function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem18.s	⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem18.x	⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
etransclem18.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem18.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem18.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem18.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
etransclem18.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem18	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem18

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13493	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3		ioombl 25619	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5		ere 16137	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
6	5	recni 11304	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → e ∈ ℂ)
8		etransclem18.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		etransclem18.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	iccssred 13494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11	10	sselda 4008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	negcld 11634	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
14	7, 13	cxpcld 26768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
15		etransclem18.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16		etransclem18.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
17	15, 16	dvdmsscn 45857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18		etransclem18.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
19		etransclem18.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
20	17, 18, 19	etransclem8 46163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
22	21, 11	ffvelcdmd 7119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
23	14, 22	mulcld 11310	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
24		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)))
25		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
27	10, 17	sstrd 4019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
28	27	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	negcld 11634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
30	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → e ∈ ℂ)
31		negcl 11536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
32	30, 31	cxpcld 26768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
34	24, 26, 29, 33	fvmptd 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥) = (e↑𝑐-𝑥))
35	34	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥))
36	35	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)))
37		epr 16256	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ+
38		mnfxr 11347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → -∞ ∈ ℝ*)
40		0red 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
41		rpxr 13066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ*)
42		rpgt0 13069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → 0 < e)
43	39, 40, 41, 42	gtnelioc 45409	. . . . . . . . 9 ⊢ (e ∈ ℝ+ → ¬ e ∈ (-∞(,]0))
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ e ∈ (-∞(,]0)
45		eldif 3986	. . . . . . . 8 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (-∞(,]0)))
46	6, 44, 45	mpbir2an 710	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
47		cxpcncf2 45820	. . . . . . 7 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48	46, 47	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
49		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥)
50	49	negcncf 24967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
51	27, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
52	48, 51	cncfmpt1f 24959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
53	36, 52	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
54		ax-resscn 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
56	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ)
57		etransclem18.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
58	57	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
59		etransclem6 46161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
60	19, 59	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
61	55, 56, 58, 60, 11	etransclem13 46168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
62	61	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
63		fzfid 14024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
64	12	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
65		elfzelz 13584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
66	65	zcnd 12748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
67	66	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
68	64, 67	subcld 11647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 − 𝑘) ∈ ℂ)
69		nnm1nn0 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
70	18, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
71	18	nnnn0d 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
72	70, 71	ifcld 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
73	72	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
74	68, 73	expcld 14196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
75		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
76		ssid 4031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
78	27, 77	idcncfg 45794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
79	78	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
80	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
81	66	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
82	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
83	80, 81, 82	constcncfg 45793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84	79, 83	subcncf 25498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥 − 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
85		expcncf 24972	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
86	72, 85	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
87	86	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑘) → (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
89	75, 84, 87, 82, 88	cncfcompt2 24953	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
90	27, 63, 74, 89	fprodcncf 45821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
91	62, 90	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
92	53, 91	mulcncf 25499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
93		cniccibl 25896	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
94	8, 9, 92, 93	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
95	2, 4, 23, 94	iblss 25860	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  {cpr 4650   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   − cmin 11520  -cneg 11521  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℝ⁺crp 13057  (,)cioo 13407  (,]cioc 13408  [,]cicc 13410  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  ∏cprod 15951  eceu 16110   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  ℂ_fldccnfld 21387  –cn→ccncf 24921  volcvol 25517  𝐿¹cibl 25671  ↑_𝑐ccxp 26615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-prod 15952  df-ef 16115  df-e 16116  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674  df-itg2 25675  df-ibl 25676  df-0p 25724  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-cxp 26617

This theorem is referenced by:  etransclem23  46178  etransclem46  46201