Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem18 42538
 Description: The given function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem18.s (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem18.x (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
etransclem18.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem18.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem18.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem18.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
etransclem18.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
etransclem18 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem18
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12821 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3 ioombl 24165 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5 ere 15441 . . . . . 6 e ∈ ℝ
65recni 10654 . . . . 5 e ∈ ℂ
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → e ∈ ℂ)
8 etransclem18.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 etransclem18.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
108, 9iccssred 41780 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1110sselda 3966 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1211recnd 10668 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1312negcld 10983 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
147, 13cxpcld 25290 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
15 etransclem18.s . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16 etransclem18.x . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
1715, 16dvdmsscn 42221 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18 etransclem18.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
19 etransclem18.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
2017, 18, 19etransclem8 42528 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
2120adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2221, 11ffvelrnd 6851 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2314, 22mulcld 10660 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
24 eqidd 2822 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)))
25 oveq2 7163 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -𝑥 → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
2625adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
2710, 17sstrd 3976 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
2827sselda 3966 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2928negcld 10983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
306a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → e ∈ ℂ)
31 negcl 10885 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
3230, 31cxpcld 25290 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
3328, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
3424, 26, 29, 33fvmptd 6774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥) = (e↑𝑐-𝑥))
3534eqcomd 2827 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥))
3635mpteq2dva 5160 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)))
37 epr 15560 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ+
38 mnfxr 10697 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → -∞ ∈ ℝ*)
40 0red 10643 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
41 rpxr 12397 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ*)
42 rpgt0 12400 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ → 0 < e)
4339, 40, 41, 42gtnelioc 41765 . . . . . . . . 9 (e ∈ ℝ+ → ¬ e ∈ (-∞(,]0))
4437, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8 ¬ e ∈ (-∞(,]0)
45 eldif 3945 . . . . . . . 8 (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (-∞(,]0)))
466, 44, 45mpbir2an 709 . . . . . . 7 e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
47 cxpcncf2 42183 . . . . . . 7 (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4846, 47mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
49 eqid 2821 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥)
5049negcncf 23525 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5127, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5248, 51cncfmpt1f 23520 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5336, 52eqeltrd 2913 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
54 ax-resscn 10593 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
5554a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
5618adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ)
57 etransclem18.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5857adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
59 etransclem6 42526 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑘)↑𝑃)))
6019, 59eqtri 2844 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑘)↑𝑃)))
6155, 56, 58, 60, 11etransclem13 42533 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
6261mpteq2dva 5160 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
63 fzfid 13340 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
64123adant3 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
65 elfzelz 12907 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
6665zcnd 12087 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
67663ad2ant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6864, 67subcld 10996 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
69 nnm1nn0 11937 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7018, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7118nnnn0d 11954 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
7270, 71ifcld 4511 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
73723ad2ant1 1129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
7468, 73expcld 13509 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
75 nfv 1911 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀))
76 ssid 3988 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
7827, 77idcncfg 42155 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7978adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8027adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
8166adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
8276a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
8380, 81, 82constcncfg 42154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8479, 83subcncf 42152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
85 expcncf 23529 . . . . . . . . 9 (if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8672, 85syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8786adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88 oveq1 7162 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝑘) → (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
8975, 84, 87, 82, 88cncfcompt2 42182 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9027, 63, 74, 89fprodcncf 42184 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9162, 90eqeltrd 2913 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9253, 91mulcncf 24046 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
93 cniccibl 24440 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
948, 9, 92, 93syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
952, 4, 23, 94iblss 24404 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  ifcif 4466  {cpr 4568   ↦ cmpt 5145  dom cdm 5554  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541  -∞cmnf 10672  ℝ*cxr 10673   − cmin 10869  -cneg 10870  ℕcn 11637  ℕ0cn0 11896  ℝ+crp 12388  (,)cioo 12737  (,]cioc 12738  [,]cicc 12740  ...cfz 12891  ↑cexp 13428  ∏cprod 15258  eceu 15415   ↾t crest 16693  TopOpenctopn 16694  ℂfldccnfld 20544  –cn→ccncf 23483  volcvol 24063  𝐿1cibl 24217  ↑𝑐ccxp 25138 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-disj 5031  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-prod 15259  df-ef 15420  df-e 15421  df-sin 15422  df-cos 15423  df-tan 15424  df-pi 15425  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-cmp 21994  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-mbf 24219  df-itg1 24220  df-itg2 24221  df-ibl 24222  df-0p 24270  df-limc 24463  df-dv 24464  df-log 25139  df-cxp 25140 This theorem is referenced by:  etransclem23  42543  etransclem46  42566
 Copyright terms: Public domain W3C validator