Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem18 45266
Description: The given function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem18.s (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem18.x (πœ‘ β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
etransclem18.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem18.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem18.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem18.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
etransclem18.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
etransclem18 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   𝑗,𝑀,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐡(𝑗)   𝐹(π‘₯,𝑗)

Proof of Theorem etransclem18
Dummy variables π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossicc 13414 . . 3 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3 ioombl 25314 . . 3 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
5 ere 16036 . . . . . 6 e ∈ ℝ
65recni 11232 . . . . 5 e ∈ β„‚
76a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ e ∈ β„‚)
8 etransclem18.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9 etransclem18.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
108, 9iccssred 13415 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1110sselda 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1211recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1312negcld 11562 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
147, 13cxpcld 26452 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ β„‚)
15 etransclem18.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
16 etransclem18.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
1715, 16dvdmsscn 44950 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
18 etransclem18.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
19 etransclem18.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
2017, 18, 19etransclem8 45256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
2120adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
2221, 11ffvelcdmd 7086 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2314, 22mulcld 11238 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
24 eqidd 2731 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦)))
25 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -π‘₯ β†’ (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-π‘₯))
2625adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑦 = -π‘₯) β†’ (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-π‘₯))
2710, 17sstrd 3991 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
2827sselda 3981 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2928negcld 11562 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
306a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ e ∈ β„‚)
31 negcl 11464 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
3230, 31cxpcld 26452 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ β„‚)
3328, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ β„‚)
3424, 26, 29, 33fvmptd 7004 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦))β€˜-π‘₯) = (e↑𝑐-π‘₯))
3534eqcomd 2736 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦))β€˜-π‘₯))
3635mpteq2dva 5247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (e↑𝑐-π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦))β€˜-π‘₯)))
37 epr 16155 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ+
38 mnfxr 11275 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
40 0red 11221 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ ℝ)
41 rpxr 12987 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ β†’ e ∈ ℝ*)
42 rpgt0 12990 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ β†’ 0 < e)
4339, 40, 41, 42gtnelioc 44502 . . . . . . . . 9 (e ∈ ℝ+ β†’ Β¬ e ∈ (-∞(,]0))
4437, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8 Β¬ e ∈ (-∞(,]0)
45 eldif 3957 . . . . . . . 8 (e ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↔ (e ∈ β„‚ ∧ Β¬ e ∈ (-∞(,]0)))
466, 44, 45mpbir2an 707 . . . . . . 7 e ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
47 cxpcncf2 44913 . . . . . . 7 (e ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4846, 47mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
49 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -π‘₯) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -π‘₯)
5049negcncf 24662 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5127, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5248, 51cncfmpt1f 24654 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦))β€˜-π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5336, 52eqeltrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (e↑𝑐-π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
54 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
5554a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
5618adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
57 etransclem18.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5857adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
59 etransclem6 45254 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
6019, 59eqtri 2758 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
6155, 56, 58, 60, 11etransclem13 45261 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
6261mpteq2dva 5247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
63 fzfid 13942 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
64123adant3 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
65 elfzelz 13505 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6665zcnd 12671 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
67663ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6864, 67subcld 11575 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ π‘˜) ∈ β„‚)
69 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7018, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7118nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
7270, 71ifcld 4573 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
73723ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
7468, 73expcld 14115 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
75 nfv 1915 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
76 ssid 4003 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
7827, 77idcncfg 44887 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
7978adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8027adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
8166adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
8276a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
8380, 81, 82constcncfg 44886 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ π‘˜) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8479, 83subcncf 25193 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (π‘₯ βˆ’ π‘˜)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
85 expcncf 24667 . . . . . . . . 9 (if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0 β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
8672, 85syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
8786adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
88 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ π‘˜) β†’ (𝑦↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
8975, 84, 87, 82, 88cncfcompt2 24648 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9027, 63, 74, 89fprodcncf 44914 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9162, 90eqeltrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9253, 91mulcncf 25194 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
93 cniccibl 25590 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
948, 9, 92, 93syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
952, 4, 23, 94iblss 25554 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {cpr 4629   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  (,]cioc 13329  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  βˆcprod 15853  eceu 16010   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  β„‚fldccnfld 21144  β€“cnβ†’ccncf 24616  volcvol 25212  πΏ1cibl 25366  β†‘𝑐ccxp 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302
This theorem is referenced by:  etransclem23  45271  etransclem46  45294
  Copyright terms: Public domain W3C validator