Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem18 44968
Description: The given function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem18.s (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem18.x (πœ‘ β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
etransclem18.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem18.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem18.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem18.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
etransclem18.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
etransclem18 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   𝑗,𝑀,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐡(𝑗)   𝐹(π‘₯,𝑗)

Proof of Theorem etransclem18
Dummy variables π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossicc 13410 . . 3 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3 ioombl 25082 . . 3 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
5 ere 16032 . . . . . 6 e ∈ ℝ
65recni 11228 . . . . 5 e ∈ β„‚
76a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ e ∈ β„‚)
8 etransclem18.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9 etransclem18.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
108, 9iccssred 13411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1110sselda 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1211recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1312negcld 11558 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
147, 13cxpcld 26216 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ β„‚)
15 etransclem18.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
16 etransclem18.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
1715, 16dvdmsscn 44652 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
18 etransclem18.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
19 etransclem18.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
2017, 18, 19etransclem8 44958 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
2120adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
2221, 11ffvelcdmd 7088 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2314, 22mulcld 11234 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
24 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦)))
25 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -π‘₯ β†’ (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-π‘₯))
2625adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑦 = -π‘₯) β†’ (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-π‘₯))
2710, 17sstrd 3993 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
2827sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2928negcld 11558 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
306a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ e ∈ β„‚)
31 negcl 11460 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
3230, 31cxpcld 26216 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ β„‚)
3328, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) ∈ β„‚)
3424, 26, 29, 33fvmptd 7006 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦))β€˜-π‘₯) = (e↑𝑐-π‘₯))
3534eqcomd 2739 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (e↑𝑐-π‘₯) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦))β€˜-π‘₯))
3635mpteq2dva 5249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (e↑𝑐-π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦))β€˜-π‘₯)))
37 epr 16151 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ+
38 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
40 0red 11217 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ ℝ)
41 rpxr 12983 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ β†’ e ∈ ℝ*)
42 rpgt0 12986 . . . . . . . . . 10 (e ∈ ℝ+ β†’ 0 < e)
4339, 40, 41, 42gtnelioc 44204 . . . . . . . . 9 (e ∈ ℝ+ β†’ Β¬ e ∈ (-∞(,]0))
4437, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8 Β¬ e ∈ (-∞(,]0)
45 eldif 3959 . . . . . . . 8 (e ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↔ (e ∈ β„‚ ∧ Β¬ e ∈ (-∞(,]0)))
466, 44, 45mpbir2an 710 . . . . . . 7 e ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
47 cxpcncf2 44615 . . . . . . 7 (e ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4846, 47mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
49 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -π‘₯) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -π‘₯)
5049negcncf 24438 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5127, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5248, 51cncfmpt1f 24430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (e↑𝑐𝑦))β€˜-π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
5336, 52eqeltrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (e↑𝑐-π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
54 ax-resscn 11167 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
5554a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
5618adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
57 etransclem18.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5857adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
59 etransclem6 44956 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
6019, 59eqtri 2761 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
6155, 56, 58, 60, 11etransclem13 44963 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
6261mpteq2dva 5249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
63 fzfid 13938 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
64123adant3 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
65 elfzelz 13501 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6665zcnd 12667 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
67663ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6864, 67subcld 11571 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ π‘˜) ∈ β„‚)
69 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7018, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7118nnnn0d 12532 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
7270, 71ifcld 4575 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
73723ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
7468, 73expcld 14111 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
75 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
76 ssid 4005 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
7827, 77idcncfg 44589 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
7978adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8027adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
8166adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
8276a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
8380, 81, 82constcncfg 44588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ π‘˜) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
8479, 83subcncf 24962 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (π‘₯ βˆ’ π‘˜)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
85 expcncf 24442 . . . . . . . . 9 (if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0 β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
8672, 85syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
8786adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
88 oveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ π‘˜) β†’ (𝑦↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
8975, 84, 87, 82, 88cncfcompt2 24424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9027, 63, 74, 89fprodcncf 44616 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9162, 90eqeltrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
9253, 91mulcncf 24963 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
93 cniccibl 25358 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
948, 9, 92, 93syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
952, 4, 23, 94iblss 25322 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((e↑𝑐-π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  (,]cioc 13325  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  βˆcprod 15849  eceu 16006   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  β€“cnβ†’ccncf 24392  volcvol 24980  πΏ1cibl 25134  β†‘𝑐ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  etransclem23  44973  etransclem46  44996
  Copyright terms: Public domain W3C validator