Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptmulf 44110
Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 25309 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptmulf.ph โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘
dvmptmulf.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ {โ„, โ„‚})
dvmptmulf.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
dvmptmulf.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
dvmptmulf.ab (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต))
dvmptmulf.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
dvmptmulf.d ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
dvmptmulf.cd (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท))
Assertion
Ref Expression
dvmptmulf (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘‰   ๐‘ฅ,๐‘Š   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ)

Proof of Theorem dvmptmulf
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2905 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฆ(๐ด ยท ๐ถ)
2 nfcsb1v 3878 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
3 nfcv 2905 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
4 nfcsb1v 3878 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
52, 3, 4nfov 7383 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
6 csbeq1a 3867 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
7 csbeq1a 3867 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
86, 7oveq12d 7371 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
91, 5, 8cbvmpt 5214 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
109oveq2i 7364 . . 3 (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)))
1110a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))))
12 dvmptmulf.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ {โ„, โ„‚})
13 dvmptmulf.ph . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘
14 nfv 1917 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹
1513, 14nfan 1902 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)
162nfel1 2921 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
1715, 16nfim 1899 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
18 eleq1w 2820 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹))
1918anbi2d 629 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)))
206eleq1d 2822 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
2119, 20imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)))
22 dvmptmulf.a . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2317, 21, 22chvarfv 2233 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
24 nfcv 2905 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘ฆ
2524nfcsb1 3877 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
26 nfcv 2905 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘‰
2725, 26nfel 2919 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰
2815, 27nfim 1899 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
29 csbeq1a 3867 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
3029eleq1d 2822 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต โˆˆ ๐‘‰ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰))
3119, 30imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰)))
32 dvmptmulf.b . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
3328, 31, 32chvarfv 2233 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
34 nfcv 2905 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ๐ด
35 csbeq1a 3867 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
36 csbcow 3868 . . . . . . . . . 10 โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
37 csbid 3866 . . . . . . . . . 10 โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด
3836, 37eqtri 2764 . . . . . . . . 9 โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด)
4035, 39eqtrd 2776 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด)
412, 34, 40cbvmpt 5214 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)
4241oveq2i 7364 . . . . 5 (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด))
4342a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)))
44 dvmptmulf.ab . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต))
45 nfcv 2905 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฆ๐ต
4645, 25, 29cbvmpt 5214 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
4746a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
4843, 44, 473eqtrd 2780 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
494nfel1 2921 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚
5015, 49nfim 1899 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
517eleq1d 2822 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚))
5219, 51imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)))
53 dvmptmulf.c . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5450, 52, 53chvarfv 2233 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5524nfcsb1 3877 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท
56 nfcv 2905 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘Š
5755, 56nfel 2919 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š
5815, 57nfim 1899 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
59 csbeq1a 3867 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท)
6059eleq1d 2822 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ท โˆˆ ๐‘Š โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š))
6119, 60imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘Š) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š)))
62 dvmptmulf.d . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
6358, 61, 62chvarfv 2233 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
64 nfcv 2905 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ๐ถ
65 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ฅ)
6665imbi1i 349 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
67 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ)
6867imbi2i 335 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ))
6966, 68bitri 274 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ))
707, 69mpbi 229 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ)
714, 64, 70cbvmpt 5214 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)
7271oveq2i 7364 . . . . 5 (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ))
7372a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)))
74 dvmptmulf.cd . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท))
75 nfcv 2905 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฆ๐ท
7675, 55, 59cbvmpt 5214 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท)
7776a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท))
7873, 74, 773eqtrd 2780 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท))
7912, 23, 33, 48, 54, 63, 78dvmptmul 25309 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
8025, 3, 4nfov 7383 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
81 nfcv 2905 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ +
8255, 3, 2nfov 7383 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
8380, 81, 82nfov 7383 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
84 nfcv 2905 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฆ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))
8565imbi1i 349 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
86 eqcom 2743 . . . . . . . . 9 (๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต)
8786imbi2i 335 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต))
8885, 87bitri 274 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต))
8929, 88mpbi 229 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต)
9089, 70oveq12d 7371 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
9165imbi1i 349 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท))
92 eqcom 2743 . . . . . . . . 9 (๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท)
9392imbi2i 335 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท))
9491, 93bitri 274 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท))
9559, 94mpbi 229 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท)
9695, 40oveq12d 7371 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (๐ท ยท ๐ด))
9790, 96oveq12d 7371 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด)))
9883, 84, 97cbvmpt 5214 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด)))
9998a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))))
10011, 79, 993eqtrd 2780 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541  โ„ฒwnf 1785   โˆˆ wcel 2106  โฆ‹csb 3853  {cpr 4586   โ†ฆ cmpt 5186  (class class class)co 7353  โ„‚cc 11045  โ„cr 11046   + caddc 11050   ยท cmul 11052   D cdv 25211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-lp 22471  df-perf 22472  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-haus 22650  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cncf 24225  df-limc 25214  df-dv 25215
This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  44117
  Copyright terms: Public domain W3C validator