Theorem dvmptmulf 42579

Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 24564 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptmulf.ph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dvmptmulf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptmulf.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptmulf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptmulf.ab	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptmulf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptmulf.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊)
dvmptmulf.cd	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
dvmptmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem dvmptmulf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 · 𝐶)
2		nfcsb1v 3852	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴
3		nfcv 2955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
4		nfcsb1v 3852	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
5	2, 3, 4	nfov 7165	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
6		csbeq1a 3842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
7		csbeq1a 3842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
8	6, 7	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝐶) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5131	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
10	9	oveq2i 7146	. . 3 ⊢ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)))
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))))
12		dvmptmulf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
13		dvmptmulf.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
14		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑋
15	13, 14	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)
16	2	nfel1 2971	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
17	15, 16	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
18		eleq1w 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑦 ∈ 𝑋))
19	18	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)))
20	6	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
21	19, 20	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)))
22		dvmptmulf.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	17, 21, 22	chvarfv 2240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
24		nfcv 2955	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
25	24	nfcsb1 3851	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
26		nfcv 2955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
27	25, 26	nfel 2969	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉
28	15, 27	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
29		csbeq1a 3842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
30	29	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉))
31	19, 30	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
32		dvmptmulf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
33	28, 31, 32	chvarfv 2240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
34		nfcv 2955	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
35		csbeq1a 3842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
36		csbcow 3843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐴
37		csbid 3841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴
38	36, 37	eqtri 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴)
40	35, 39	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴)
41	2, 34, 40	cbvmpt 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
42	41	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
44		dvmptmulf.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
45		nfcv 2955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
46	45, 25, 29	cbvmpt 5131	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
48	43, 44, 47	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
49	4	nfel1 2971	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
50	15, 49	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
51	7	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
52	19, 51	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
53		dvmptmulf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	chvarfv 2240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
55	24	nfcsb1 3851	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷
56		nfcv 2955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑊
57	55, 56	nfel 2969	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊
58	15, 57	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)
59		csbeq1a 3842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷)
60	59	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊))
61	19, 60	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)))
62		dvmptmulf.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊)
63	58, 61, 62	chvarfv 2240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)
64		nfcv 2955	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
65		eqcom 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
66	65	imbi1i 353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
67		eqcom 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
68	67	imbi2i 339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶))
69	66, 68	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶))
70	7, 69	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
71	4, 64, 70	cbvmpt 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)
72	71	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶))
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)))
74		dvmptmulf.cd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
75		nfcv 2955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
76	75, 55, 59	cbvmpt 5131	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷)
77	76	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
78	73, 74, 77	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
79	12, 23, 33, 48, 54, 63, 78	dvmptmul 24564	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))))
80	25, 3, 4	nfov 7165	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
81		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 +
82	55, 3, 2	nfov 7165	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
83	80, 81, 82	nfov 7165	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
84		nfcv 2955	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))
85	65	imbi1i 353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
86		eqcom 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
87	86	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
88	85, 87	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
89	29, 88	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
90	89, 70	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
91	65	imbi1i 353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
92		eqcom 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷)
93	92	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷))
94	91, 93	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷))
95	59, 94	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷)
96	95, 40	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) = (𝐷 · 𝐴))
97	90, 96	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
98	83, 84, 97	cbvmpt 5131	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
99	98	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
100	11, 79, 99	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  ⦋csb 3828  {cpr 4527   ↦ cmpt 5110  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525   + caddc 10529   · cmul 10531   D cdv 24466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470

This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  42586