Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptmulf 42106
Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 24492 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptmulf.ph 𝑥𝜑
dvmptmulf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptmulf.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptmulf.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptmulf.ab (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptmulf.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptmulf.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
dvmptmulf.cd (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptmulf (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem dvmptmulf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2982 . . . . 5 𝑦(𝐴 · 𝐶)
2 nfcsb1v 3911 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
3 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑥 ·
4 nfcsb1v 3911 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
52, 3, 4nfov 7180 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶)
6 csbeq1a 3901 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
7 csbeq1a 3901 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
86, 7oveq12d 7168 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝐶) = (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))
91, 5, 8cbvmpt 5164 . . . 4 (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))
109oveq2i 7161 . . 3 (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶)))
1110a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))))
12 dvmptmulf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
13 dvmptmulf.ph . . . . . 6 𝑥𝜑
14 nfv 1908 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝑋
1513, 14nfan 1893 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝑋)
162nfel1 2999 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
1715, 16nfim 1890 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
18 eleq1w 2900 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑋𝑦𝑋))
1918anbi2d 628 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝑋) ↔ (𝜑𝑦𝑋)))
206eleq1d 2902 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
2119, 20imbi12d 346 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)))
22 dvmptmulf.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2317, 21, 22chvar 2409 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
24 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑥𝑦
2524nfcsb1 3910 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
26 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑥𝑉
2725, 26nfel 2997 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑉
2815, 27nfim 1890 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)
29 csbeq1a 3901 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3029eleq1d 2902 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑉𝑦 / 𝑥𝐵𝑉))
3119, 30imbi12d 346 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)))
32 dvmptmulf.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
3328, 31, 32chvar 2409 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)
34 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑦𝐴
35 csbeq1a 3901 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴)
36 csbco 3903 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑥𝐴
37 csbid 3900 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑥𝐴 = 𝐴
3836, 37eqtri 2849 . . . . . . . . 9 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴)
4035, 39eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴)
412, 34, 40cbvmpt 5164 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
4241oveq2i 7161 . . . . 5 (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
44 dvmptmulf.ab . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
45 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑦𝐵
4645, 25, 29cbvmpt 5164 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
4843, 44, 473eqtrd 2865 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
494nfel1 2999 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ
5015, 49nfim 1890 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
517eleq1d 2902 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ))
5219, 51imbi12d 346 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)))
53 dvmptmulf.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
5450, 52, 53chvar 2409 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
5524nfcsb1 3910 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷
56 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑥𝑊
5755, 56nfel 2997 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷𝑊
5815, 57nfim 1890 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)
59 csbeq1a 3901 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷)
6059eleq1d 2902 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷𝑊𝑦 / 𝑥𝐷𝑊))
6119, 60imbi12d 346 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)))
62 dvmptmulf.d . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
6358, 61, 62chvar 2409 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)
64 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑦𝐶
65 eqcom 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
6665imbi1i 351 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶))
67 eqcom 2833 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
6867imbi2i 337 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶))
6966, 68bitri 276 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶))
707, 69mpbi 231 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
714, 64, 70cbvmpt 5164 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝑋𝐶)
7271oveq2i 7161 . . . . 5 (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶))
7372a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)))
74 dvmptmulf.cd . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
75 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑦𝐷
7675, 55, 59cbvmpt 5164 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐷) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷)
7776a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐷) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷))
7873, 74, 773eqtrd 2865 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷))
7912, 23, 33, 48, 54, 63, 78dvmptmul 24492 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))))
8025, 3, 4nfov 7180 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶)
81 nfcv 2982 . . . . 5 𝑥 +
8255, 3, 2nfov 7180 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴)
8380, 81, 82nfov 7180 . . . 4 𝑥((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))
84 nfcv 2982 . . . 4 𝑦((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))
8565imbi1i 351 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵))
86 eqcom 2833 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
8786imbi2i 337 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
8885, 87bitri 276 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
8929, 88mpbi 231 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
9089, 70oveq12d 7168 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
9165imbi1i 351 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷))
92 eqcom 2833 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷)
9392imbi2i 337 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷))
9491, 93bitri 276 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷))
9559, 94mpbi 231 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷)
9695, 40oveq12d 7168 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴) = (𝐷 · 𝐴))
9790, 96oveq12d 7168 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
9883, 84, 97cbvmpt 5164 . . 3 (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
9998a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
10011, 79, 993eqtrd 2865 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  csb 3887  {cpr 4566  cmpt 5143  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530   + caddc 10534   · cmul 10536   D cdv 24395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399
This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  42113
  Copyright terms: Public domain W3C validator