Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptmulf 45388
Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 25911 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptmulf.ph โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘
dvmptmulf.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ {โ„, โ„‚})
dvmptmulf.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
dvmptmulf.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
dvmptmulf.ab (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต))
dvmptmulf.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
dvmptmulf.d ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
dvmptmulf.cd (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท))
Assertion
Ref Expression
dvmptmulf (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘‰   ๐‘ฅ,๐‘Š   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ)

Proof of Theorem dvmptmulf
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2892 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฆ(๐ด ยท ๐ถ)
2 nfcsb1v 3909 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
3 nfcv 2892 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
4 nfcsb1v 3909 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
52, 3, 4nfov 7446 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
6 csbeq1a 3898 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
7 csbeq1a 3898 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
86, 7oveq12d 7434 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
91, 5, 8cbvmpt 5254 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
109oveq2i 7427 . . 3 (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)))
1110a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))))
12 dvmptmulf.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ {โ„, โ„‚})
13 dvmptmulf.ph . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘
14 nfv 1909 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹
1513, 14nfan 1894 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)
162nfel1 2909 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
1715, 16nfim 1891 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
18 eleq1w 2808 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹))
1918anbi2d 628 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)))
206eleq1d 2810 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
2119, 20imbi12d 343 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)))
22 dvmptmulf.a . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2317, 21, 22chvarfv 2228 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
24 nfcv 2892 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘ฆ
2524nfcsb1 3908 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
26 nfcv 2892 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘‰
2725, 26nfel 2907 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰
2815, 27nfim 1891 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
29 csbeq1a 3898 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
3029eleq1d 2810 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต โˆˆ ๐‘‰ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰))
3119, 30imbi12d 343 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰)))
32 dvmptmulf.b . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
3328, 31, 32chvarfv 2228 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
34 nfcv 2892 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ๐ด
35 csbeq1a 3898 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
36 csbcow 3899 . . . . . . . . . 10 โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
37 csbid 3897 . . . . . . . . . 10 โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด
3836, 37eqtri 2753 . . . . . . . . 9 โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด)
4035, 39eqtrd 2765 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด)
412, 34, 40cbvmpt 5254 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)
4241oveq2i 7427 . . . . 5 (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด))
4342a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)))
44 dvmptmulf.ab . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต))
45 nfcv 2892 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฆ๐ต
4645, 25, 29cbvmpt 5254 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
4746a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
4843, 44, 473eqtrd 2769 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
494nfel1 2909 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚
5015, 49nfim 1891 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
517eleq1d 2810 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚))
5219, 51imbi12d 343 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)))
53 dvmptmulf.c . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5450, 52, 53chvarfv 2228 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5524nfcsb1 3908 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท
56 nfcv 2892 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘Š
5755, 56nfel 2907 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š
5815, 57nfim 1891 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
59 csbeq1a 3898 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท)
6059eleq1d 2810 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ท โˆˆ ๐‘Š โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š))
6119, 60imbi12d 343 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘Š) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š)))
62 dvmptmulf.d . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
6358, 61, 62chvarfv 2228 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
64 nfcv 2892 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ๐ถ
65 eqcom 2732 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ฅ)
6665imbi1i 348 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
67 eqcom 2732 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ)
6867imbi2i 335 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ))
6966, 68bitri 274 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ))
707, 69mpbi 229 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ)
714, 64, 70cbvmpt 5254 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)
7271oveq2i 7427 . . . . 5 (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ))
7372a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)))
74 dvmptmulf.cd . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท))
75 nfcv 2892 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฆ๐ท
7675, 55, 59cbvmpt 5254 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท)
7776a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท))
7873, 74, 773eqtrd 2769 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท))
7912, 23, 33, 48, 54, 63, 78dvmptmul 25911 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
8025, 3, 4nfov 7446 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
81 nfcv 2892 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ +
8255, 3, 2nfov 7446 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
8380, 81, 82nfov 7446 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
84 nfcv 2892 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฆ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))
8565imbi1i 348 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
86 eqcom 2732 . . . . . . . . 9 (๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต)
8786imbi2i 335 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต))
8885, 87bitri 274 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต))
8929, 88mpbi 229 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต)
9089, 70oveq12d 7434 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
9165imbi1i 348 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท))
92 eqcom 2732 . . . . . . . . 9 (๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท)
9392imbi2i 335 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท))
9491, 93bitri 274 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท))
9559, 94mpbi 229 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท)
9695, 40oveq12d 7434 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (๐ท ยท ๐ด))
9790, 96oveq12d 7434 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด)))
9883, 84, 97cbvmpt 5254 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด)))
9998a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))))
10011, 79, 993eqtrd 2769 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098  โฆ‹csb 3884  {cpr 4626   โ†ฆ cmpt 5226  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137   + caddc 11141   ยท cmul 11143   D cdv 25810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  45395
  Copyright terms: Public domain W3C validator