Theorem dvmptmulf 42991

Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 24675 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptmulf.ph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dvmptmulf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptmulf.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptmulf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptmulf.ab	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptmulf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptmulf.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊)
dvmptmulf.cd	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
dvmptmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem dvmptmulf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2920	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 · 𝐶)
2		nfcsb1v 3832	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴
3		nfcv 2920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
4		nfcsb1v 3832	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
5	2, 3, 4	nfov 7187	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
6		csbeq1a 3822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
7		csbeq1a 3822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
8	6, 7	oveq12d 7175	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝐶) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5138	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
10	9	oveq2i 7168	. . 3 ⊢ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)))
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))))
12		dvmptmulf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
13		dvmptmulf.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
14		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑋
15	13, 14	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)
16	2	nfel1 2936	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
17	15, 16	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
18		eleq1w 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑦 ∈ 𝑋))
19	18	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)))
20	6	eleq1d 2837	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
21	19, 20	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)))
22		dvmptmulf.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	17, 21, 22	chvarfv 2241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
24		nfcv 2920	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
25	24	nfcsb1 3831	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
26		nfcv 2920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
27	25, 26	nfel 2934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉
28	15, 27	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
29		csbeq1a 3822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
30	29	eleq1d 2837	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉))
31	19, 30	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
32		dvmptmulf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
33	28, 31, 32	chvarfv 2241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
34		nfcv 2920	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
35		csbeq1a 3822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
36		csbcow 3823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐴
37		csbid 3821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴
38	36, 37	eqtri 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴)
40	35, 39	eqtrd 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴)
41	2, 34, 40	cbvmpt 5138	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
42	41	oveq2i 7168	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
44		dvmptmulf.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
45		nfcv 2920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
46	45, 25, 29	cbvmpt 5138	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
48	43, 44, 47	3eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
49	4	nfel1 2936	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
50	15, 49	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
51	7	eleq1d 2837	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
52	19, 51	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
53		dvmptmulf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	chvarfv 2241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
55	24	nfcsb1 3831	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷
56		nfcv 2920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑊
57	55, 56	nfel 2934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊
58	15, 57	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)
59		csbeq1a 3822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷)
60	59	eleq1d 2837	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊))
61	19, 60	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)))
62		dvmptmulf.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊)
63	58, 61, 62	chvarfv 2241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)
64		nfcv 2920	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
65		eqcom 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
66	65	imbi1i 353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
67		eqcom 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
68	67	imbi2i 339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶))
69	66, 68	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶))
70	7, 69	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
71	4, 64, 70	cbvmpt 5138	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)
72	71	oveq2i 7168	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶))
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)))
74		dvmptmulf.cd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
75		nfcv 2920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
76	75, 55, 59	cbvmpt 5138	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷)
77	76	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
78	73, 74, 77	3eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
79	12, 23, 33, 48, 54, 63, 78	dvmptmul 24675	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))))
80	25, 3, 4	nfov 7187	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
81		nfcv 2920	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 +
82	55, 3, 2	nfov 7187	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
83	80, 81, 82	nfov 7187	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
84		nfcv 2920	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))
85	65	imbi1i 353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
86		eqcom 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
87	86	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
88	85, 87	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
89	29, 88	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
90	89, 70	oveq12d 7175	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
91	65	imbi1i 353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
92		eqcom 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷)
93	92	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷))
94	91, 93	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷))
95	59, 94	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷)
96	95, 40	oveq12d 7175	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) = (𝐷 · 𝐴))
97	90, 96	oveq12d 7175	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
98	83, 84, 97	cbvmpt 5138	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
99	98	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
100	11, 79, 99	3eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2112  ⦋csb 3808  {cpr 4528   ↦ cmpt 5117  (class class class)co 7157  ℂcc 10587  ℝcr 10588   + caddc 10592   · cmul 10594   D cdv 24577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667  ax-addf 10668  ax-mulf 10669

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-of 7412  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-supp 7843  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-2o 8120  df-er 8306  df-map 8425  df-pm 8426  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fsupp 8881  df-fi 8922  df-sup 8953  df-inf 8954  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-q 12403  df-rp 12445  df-xneg 12562  df-xadd 12563  df-xmul 12564  df-icc 12800  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-seq 13433  df-exp 13494  df-hash 13755  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-starv 16653  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-unif 16661  df-hom 16662  df-cco 16663  df-rest 16769  df-topn 16770  df-0g 16788  df-gsum 16789  df-topgen 16790  df-pt 16791  df-prds 16794  df-xrs 16848  df-qtop 16853  df-imas 16854  df-xps 16856  df-mre 16930  df-mrc 16931  df-acs 16933  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-submnd 18038  df-mulg 18307  df-cntz 18529  df-cmn 18990  df-psmet 20173  df-xmet 20174  df-met 20175  df-bl 20176  df-mopn 20177  df-fbas 20178  df-fg 20179  df-cnfld 20182  df-top 21609  df-topon 21626  df-topsp 21648  df-bases 21661  df-cld 21734  df-ntr 21735  df-cls 21736  df-nei 21813  df-lp 21851  df-perf 21852  df-cn 21942  df-cnp 21943  df-haus 22030  df-tx 22277  df-hmeo 22470  df-fil 22561  df-fm 22653  df-flim 22654  df-flf 22655  df-xms 23037  df-ms 23038  df-tms 23039  df-cncf 23594  df-limc 24580  df-dv 24581

This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  42998