Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptmulf 45115
Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 25814 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptmulf.ph 𝑥𝜑
dvmptmulf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptmulf.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptmulf.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptmulf.ab (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptmulf.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptmulf.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
dvmptmulf.cd (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptmulf (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem dvmptmulf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2902 . . . . 5 𝑦(𝐴 · 𝐶)
2 nfcsb1v 3918 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
3 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥 ·
4 nfcsb1v 3918 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
52, 3, 4nfov 7442 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶)
6 csbeq1a 3907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
7 csbeq1a 3907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
86, 7oveq12d 7430 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝐶) = (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))
91, 5, 8cbvmpt 5259 . . . 4 (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))
109oveq2i 7423 . . 3 (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶)))
1110a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))))
12 dvmptmulf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
13 dvmptmulf.ph . . . . . 6 𝑥𝜑
14 nfv 1916 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝑋
1513, 14nfan 1901 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝑋)
162nfel1 2918 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
1715, 16nfim 1898 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
18 eleq1w 2815 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑋𝑦𝑋))
1918anbi2d 628 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝑋) ↔ (𝜑𝑦𝑋)))
206eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
2119, 20imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)))
22 dvmptmulf.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2317, 21, 22chvarfv 2232 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
24 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥𝑦
2524nfcsb1 3917 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
26 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥𝑉
2725, 26nfel 2916 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑉
2815, 27nfim 1898 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)
29 csbeq1a 3907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3029eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑉𝑦 / 𝑥𝐵𝑉))
3119, 30imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)))
32 dvmptmulf.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
3328, 31, 32chvarfv 2232 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)
34 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑦𝐴
35 csbeq1a 3907 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴)
36 csbcow 3908 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑥𝐴
37 csbid 3906 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑥𝐴 = 𝐴
3836, 37eqtri 2759 . . . . . . . . 9 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴)
4035, 39eqtrd 2771 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴)
412, 34, 40cbvmpt 5259 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
4241oveq2i 7423 . . . . 5 (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
44 dvmptmulf.ab . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
45 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑦𝐵
4645, 25, 29cbvmpt 5259 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
4843, 44, 473eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
494nfel1 2918 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ
5015, 49nfim 1898 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
517eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ))
5219, 51imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)))
53 dvmptmulf.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
5450, 52, 53chvarfv 2232 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
5524nfcsb1 3917 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷
56 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥𝑊
5755, 56nfel 2916 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷𝑊
5815, 57nfim 1898 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)
59 csbeq1a 3907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷)
6059eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷𝑊𝑦 / 𝑥𝐷𝑊))
6119, 60imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)))
62 dvmptmulf.d . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
6358, 61, 62chvarfv 2232 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)
64 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑦𝐶
65 eqcom 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
6665imbi1i 349 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶))
67 eqcom 2738 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
6867imbi2i 336 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶))
6966, 68bitri 275 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶))
707, 69mpbi 229 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
714, 64, 70cbvmpt 5259 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝑋𝐶)
7271oveq2i 7423 . . . . 5 (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶))
7372a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)))
74 dvmptmulf.cd . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
75 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑦𝐷
7675, 55, 59cbvmpt 5259 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐷) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷)
7776a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐷) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷))
7873, 74, 773eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷))
7912, 23, 33, 48, 54, 63, 78dvmptmul 25814 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))))
8025, 3, 4nfov 7442 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶)
81 nfcv 2902 . . . . 5 𝑥 +
8255, 3, 2nfov 7442 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴)
8380, 81, 82nfov 7442 . . . 4 𝑥((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))
84 nfcv 2902 . . . 4 𝑦((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))
8565imbi1i 349 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵))
86 eqcom 2738 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
8786imbi2i 336 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
8885, 87bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
8929, 88mpbi 229 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
9089, 70oveq12d 7430 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
9165imbi1i 349 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷))
92 eqcom 2738 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷)
9392imbi2i 336 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷))
9491, 93bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷))
9559, 94mpbi 229 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷)
9695, 40oveq12d 7430 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴) = (𝐷 · 𝐴))
9790, 96oveq12d 7430 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
9883, 84, 97cbvmpt 5259 . . 3 (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
9998a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
10011, 79, 993eqtrd 2775 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1784  wcel 2105  csb 3893  {cpr 4630  cmpt 5231  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115   + caddc 11119   · cmul 11121   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  45122
  Copyright terms: Public domain W3C validator