Theorem dvmptmulf 46292

Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 25933 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptmulf.ph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dvmptmulf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptmulf.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptmulf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptmulf.ab	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptmulf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptmulf.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊)
dvmptmulf.cd	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
dvmptmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem dvmptmulf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 · 𝐶)
2		nfcsb1v 3875	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴
3		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
4		nfcsb1v 3875	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
5	2, 3, 4	nfov 7398	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
6		csbeq1a 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
7		csbeq1a 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
8	6, 7	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝐶) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5202	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
10	9	oveq2i 7379	. . 3 ⊢ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)))
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))))
12		dvmptmulf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
13		dvmptmulf.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
14		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑋
15	13, 14	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)
16	2	nfel1 2916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
17	15, 16	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
18		eleq1w 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑦 ∈ 𝑋))
19	18	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)))
20	6	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
21	19, 20	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)))
22		dvmptmulf.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	17, 21, 22	chvarfv 2248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
24		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
25	24	nfcsb1 3874	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
26		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
27	25, 26	nfel 2914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉
28	15, 27	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
29		csbeq1a 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
30	29	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉))
31	19, 30	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
32		dvmptmulf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
33	28, 31, 32	chvarfv 2248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
34		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
35		csbeq1a 3865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
36		csbcow 3866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐴
37		csbid 3864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴
38	36, 37	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴)
40	35, 39	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴)
41	2, 34, 40	cbvmpt 5202	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
42	41	oveq2i 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
44		dvmptmulf.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
45		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
46	45, 25, 29	cbvmpt 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
48	43, 44, 47	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
49	4	nfel1 2916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
50	15, 49	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
51	7	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
52	19, 51	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
53		dvmptmulf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	chvarfv 2248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
55	24	nfcsb1 3874	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷
56		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑊
57	55, 56	nfel 2914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊
58	15, 57	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)
59		csbeq1a 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷)
60	59	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊))
61	19, 60	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)))
62		dvmptmulf.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊)
63	58, 61, 62	chvarfv 2248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)
64		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
65		eqcom 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
66	65	imbi1i 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
67		eqcom 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
68	67	imbi2i 336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶))
69	66, 68	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶))
70	7, 69	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
71	4, 64, 70	cbvmpt 5202	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)
72	71	oveq2i 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶))
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)))
74		dvmptmulf.cd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
75		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
76	75, 55, 59	cbvmpt 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷)
77	76	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
78	73, 74, 77	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
79	12, 23, 33, 48, 54, 63, 78	dvmptmul 25933	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))))
80	25, 3, 4	nfov 7398	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
81		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 +
82	55, 3, 2	nfov 7398	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
83	80, 81, 82	nfov 7398	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
84		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))
85	65	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
86		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
87	86	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
88	85, 87	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
89	29, 88	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
90	89, 70	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
91	65	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
92		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷)
93	92	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷))
94	91, 93	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷))
95	59, 94	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷)
96	95, 40	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) = (𝐷 · 𝐴))
97	90, 96	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
98	83, 84, 97	cbvmpt 5202	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
99	98	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
100	11, 79, 99	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3851  {cpr 4584   ↦ cmpt 5181  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041   · cmul 11043   D cdv 25832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836

This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  46299