Theorem dvmptmulf 46765

Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 26188 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptmulf.ph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dvmptmulf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptmulf.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptmulf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptmulf.ab	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptmulf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptmulf.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊)
dvmptmulf.cd	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
dvmptmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem dvmptmulf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 · 𝐶)
2		nfcsb1v 3871	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴
3		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
4		nfcsb1v 3871	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
5	2, 3, 4	nfov 7443	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
6		csbeq1a 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
7		csbeq1a 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
8	6, 7	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝐶) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5207	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
10	9	oveq2i 7424	. . 3 ⊢ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)))
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))))
12		dvmptmulf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
13		dvmptmulf.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
14		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑋
15	13, 14	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)
16	2	nfel1 2938	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
17	15, 16	nfim 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
18		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑦 ∈ 𝑋))
19	18	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)))
20	6	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
21	19, 20	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)))
22		dvmptmulf.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	17, 21, 22	chvarfv 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
24		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
25	24	nfcsb1 3870	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
26		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
27	25, 26	nfel 2936	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉
28	15, 27	nfim 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
29		csbeq1a 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
30	29	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉))
31	19, 30	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
32		dvmptmulf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
33	28, 31, 32	chvarfv 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
34		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
35		csbeq1a 3861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
36		csbcow 3862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐴
37		csbid 3860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴
38	36, 37	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴)
40	35, 39	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴)
41	2, 34, 40	cbvmpt 5207	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
42	41	oveq2i 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
44		dvmptmulf.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
45		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
46	45, 25, 29	cbvmpt 5207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
48	43, 44, 47	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
49	4	nfel1 2938	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
50	15, 49	nfim 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
51	7	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
52	19, 51	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
53		dvmptmulf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	chvarfv 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
55	24	nfcsb1 3870	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷
56		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑊
57	55, 56	nfel 2936	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊
58	15, 57	nfim 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)
59		csbeq1a 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷)
60	59	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊))
61	19, 60	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)))
62		dvmptmulf.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊)
63	58, 61, 62	chvarfv 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)
64		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
65		eqcom 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
66	65	imbi1i 352	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
67		eqcom 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
68	67	imbi2i 339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶))
69	66, 68	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶))
70	7, 69	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
71	4, 64, 70	cbvmpt 5207	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)
72	71	oveq2i 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶))
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)))
74		dvmptmulf.cd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
75		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
76	75, 55, 59	cbvmpt 5207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷)
77	76	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
78	73, 74, 77	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
79	12, 23, 33, 48, 54, 63, 78	dvmptmul 26188	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))))
80	25, 3, 4	nfov 7443	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
81		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 +
82	55, 3, 2	nfov 7443	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
83	80, 81, 82	nfov 7443	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
84		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))
85	65	imbi1i 352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
86		eqcom 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
87	86	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
88	85, 87	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
89	29, 88	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
90	89, 70	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
91	65	imbi1i 352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
92		eqcom 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷)
93	92	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷))
94	91, 93	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷))
95	59, 94	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷)
96	95, 40	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) = (𝐷 · 𝐴))
97	90, 96	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
98	83, 84, 97	cbvmpt 5207	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
99	98	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
100	11, 79, 99	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3847  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123   + caddc 11127   · cmul 11129   D cdv 26090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  dvmptfprodlem  46772