Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptmulf 42991
 Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 24675 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptmulf.ph 𝑥𝜑
dvmptmulf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptmulf.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptmulf.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptmulf.ab (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptmulf.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptmulf.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
dvmptmulf.cd (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptmulf (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem dvmptmulf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2920 . . . . 5 𝑦(𝐴 · 𝐶)
2 nfcsb1v 3832 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
3 nfcv 2920 . . . . . 6 𝑥 ·
4 nfcsb1v 3832 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
52, 3, 4nfov 7187 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶)
6 csbeq1a 3822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
7 csbeq1a 3822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
86, 7oveq12d 7175 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝐶) = (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))
91, 5, 8cbvmpt 5138 . . . 4 (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))
109oveq2i 7168 . . 3 (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶)))
1110a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))))
12 dvmptmulf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
13 dvmptmulf.ph . . . . . 6 𝑥𝜑
14 nfv 1916 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝑋
1513, 14nfan 1901 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝑋)
162nfel1 2936 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
1715, 16nfim 1898 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
18 eleq1w 2835 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑋𝑦𝑋))
1918anbi2d 631 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝑋) ↔ (𝜑𝑦𝑋)))
206eleq1d 2837 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
2119, 20imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)))
22 dvmptmulf.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2317, 21, 22chvarfv 2241 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
24 nfcv 2920 . . . . . . 7 𝑥𝑦
2524nfcsb1 3831 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
26 nfcv 2920 . . . . . 6 𝑥𝑉
2725, 26nfel 2934 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑉
2815, 27nfim 1898 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)
29 csbeq1a 3822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3029eleq1d 2837 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑉𝑦 / 𝑥𝐵𝑉))
3119, 30imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)))
32 dvmptmulf.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
3328, 31, 32chvarfv 2241 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑉)
34 nfcv 2920 . . . . . . 7 𝑦𝐴
35 csbeq1a 3822 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴)
36 csbcow 3823 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑥𝐴
37 csbid 3821 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑥𝐴 = 𝐴
3836, 37eqtri 2782 . . . . . . . . 9 𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑥 / 𝑦𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴)
4035, 39eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐴)
412, 34, 40cbvmpt 5138 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
4241oveq2i 7168 . . . . 5 (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴))
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)))
44 dvmptmulf.ab . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
45 nfcv 2920 . . . . . 6 𝑦𝐵
4645, 25, 29cbvmpt 5138 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
4843, 44, 473eqtrd 2798 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
494nfel1 2936 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ
5015, 49nfim 1898 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
517eleq1d 2837 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ))
5219, 51imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)))
53 dvmptmulf.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
5450, 52, 53chvarfv 2241 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
5524nfcsb1 3831 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷
56 nfcv 2920 . . . . . 6 𝑥𝑊
5755, 56nfel 2934 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷𝑊
5815, 57nfim 1898 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)
59 csbeq1a 3822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷)
6059eleq1d 2837 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷𝑊𝑦 / 𝑥𝐷𝑊))
6119, 60imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)))
62 dvmptmulf.d . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
6358, 61, 62chvarfv 2241 . . 3 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 / 𝑥𝐷𝑊)
64 nfcv 2920 . . . . . . 7 𝑦𝐶
65 eqcom 2766 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
6665imbi1i 353 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶))
67 eqcom 2766 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
6867imbi2i 339 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶))
6966, 68bitri 278 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶))
707, 69mpbi 233 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
714, 64, 70cbvmpt 5138 . . . . . 6 (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝑋𝐶)
7271oveq2i 7168 . . . . 5 (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶))
7372a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)))
74 dvmptmulf.cd . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
75 nfcv 2920 . . . . . 6 𝑦𝐷
7675, 55, 59cbvmpt 5138 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐷) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷)
7776a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐷) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷))
7873, 74, 773eqtrd 2798 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐶)) = (𝑦𝑋𝑦 / 𝑥𝐷))
7912, 23, 33, 48, 54, 63, 78dvmptmul 24675 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑋 ↦ (𝑦 / 𝑥𝐴 · 𝑦 / 𝑥𝐶))) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))))
8025, 3, 4nfov 7187 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶)
81 nfcv 2920 . . . . 5 𝑥 +
8255, 3, 2nfov 7187 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴)
8380, 81, 82nfov 7187 . . . 4 𝑥((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))
84 nfcv 2920 . . . 4 𝑦((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))
8565imbi1i 353 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵))
86 eqcom 2766 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
8786imbi2i 339 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
8885, 87bitri 278 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
8929, 88mpbi 233 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
9089, 70oveq12d 7175 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
9165imbi1i 353 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷))
92 eqcom 2766 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷)
9392imbi2i 339 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷))
9491, 93bitri 278 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝑦 / 𝑥𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷))
9559, 94mpbi 233 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐷 = 𝐷)
9695, 40oveq12d 7175 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴) = (𝐷 · 𝐴))
9790, 96oveq12d 7175 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
9883, 84, 97cbvmpt 5138 . . 3 (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
9998a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦 / 𝑥𝐵 · 𝑦 / 𝑥𝐶) + (𝑦 / 𝑥𝐷 · 𝑦 / 𝑥𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
10011, 79, 993eqtrd 2798 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2112  ⦋csb 3808  {cpr 4528   ↦ cmpt 5117  (class class class)co 7157  ℂcc 10587  ℝcr 10588   + caddc 10592   · cmul 10594   D cdv 24577 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667  ax-addf 10668  ax-mulf 10669 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-of 7412  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-supp 7843  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-2o 8120  df-er 8306  df-map 8425  df-pm 8426  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fsupp 8881  df-fi 8922  df-sup 8953  df-inf 8954  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-q 12403  df-rp 12445  df-xneg 12562  df-xadd 12563  df-xmul 12564  df-icc 12800  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-seq 13433  df-exp 13494  df-hash 13755  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-starv 16653  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-unif 16661  df-hom 16662  df-cco 16663  df-rest 16769  df-topn 16770  df-0g 16788  df-gsum 16789  df-topgen 16790  df-pt 16791  df-prds 16794  df-xrs 16848  df-qtop 16853  df-imas 16854  df-xps 16856  df-mre 16930  df-mrc 16931  df-acs 16933  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-submnd 18038  df-mulg 18307  df-cntz 18529  df-cmn 18990  df-psmet 20173  df-xmet 20174  df-met 20175  df-bl 20176  df-mopn 20177  df-fbas 20178  df-fg 20179  df-cnfld 20182  df-top 21609  df-topon 21626  df-topsp 21648  df-bases 21661  df-cld 21734  df-ntr 21735  df-cls 21736  df-nei 21813  df-lp 21851  df-perf 21852  df-cn 21942  df-cnp 21943  df-haus 22030  df-tx 22277  df-hmeo 22470  df-fil 22561  df-fm 22653  df-flim 22654  df-flf 22655  df-xms 23037  df-ms 23038  df-tms 23039  df-cncf 23594  df-limc 24580  df-dv 24581 This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  42998
 Copyright terms: Public domain W3C validator