Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptmulf 45225
Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 25848 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptmulf.ph โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘
dvmptmulf.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ {โ„, โ„‚})
dvmptmulf.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
dvmptmulf.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
dvmptmulf.ab (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต))
dvmptmulf.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
dvmptmulf.d ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
dvmptmulf.cd (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท))
Assertion
Ref Expression
dvmptmulf (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘‰   ๐‘ฅ,๐‘Š   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ)

Proof of Theorem dvmptmulf
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2897 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฆ(๐ด ยท ๐ถ)
2 nfcsb1v 3913 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
3 nfcv 2897 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
4 nfcsb1v 3913 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ
52, 3, 4nfov 7435 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
6 csbeq1a 3902 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
7 csbeq1a 3902 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
86, 7oveq12d 7423 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
91, 5, 8cbvmpt 5252 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
109oveq2i 7416 . . 3 (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)))
1110a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))))
12 dvmptmulf.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ {โ„, โ„‚})
13 dvmptmulf.ph . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘
14 nfv 1909 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹
1513, 14nfan 1894 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)
162nfel1 2913 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
1715, 16nfim 1891 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
18 eleq1w 2810 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹))
1918anbi2d 628 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)))
206eleq1d 2812 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
2119, 20imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)))
22 dvmptmulf.a . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2317, 21, 22chvarfv 2225 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
24 nfcv 2897 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘ฆ
2524nfcsb1 3912 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
26 nfcv 2897 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘‰
2725, 26nfel 2911 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰
2815, 27nfim 1891 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
29 csbeq1a 3902 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
3029eleq1d 2812 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต โˆˆ ๐‘‰ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰))
3119, 30imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰)))
32 dvmptmulf.b . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
3328, 31, 32chvarfv 2225 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
34 nfcv 2897 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ๐ด
35 csbeq1a 3902 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
36 csbcow 3903 . . . . . . . . . 10 โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
37 csbid 3901 . . . . . . . . . 10 โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด
3836, 37eqtri 2754 . . . . . . . . 9 โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฅ / ๐‘ฆโฆŒโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด)
4035, 39eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ด)
412, 34, 40cbvmpt 5252 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)
4241oveq2i 7416 . . . . 5 (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด))
4342a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)))
44 dvmptmulf.ab . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต))
45 nfcv 2897 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฆ๐ต
4645, 25, 29cbvmpt 5252 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
4746a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ต) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
4843, 44, 473eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
494nfel1 2913 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚
5015, 49nfim 1891 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
517eleq1d 2812 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚))
5219, 51imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)))
53 dvmptmulf.c . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5450, 52, 53chvarfv 2225 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5524nfcsb1 3912 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท
56 nfcv 2897 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘Š
5755, 56nfel 2911 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š
5815, 57nfim 1891 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
59 csbeq1a 3902 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท)
6059eleq1d 2812 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ท โˆˆ ๐‘Š โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š))
6119, 60imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘Š) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š)))
62 dvmptmulf.d . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
6358, 61, 62chvarfv 2225 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โˆˆ ๐‘Š)
64 nfcv 2897 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ๐ถ
65 eqcom 2733 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ฅ)
6665imbi1i 349 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))
67 eqcom 2733 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ)
6867imbi2i 336 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ))
6966, 68bitri 275 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ))
707, 69mpbi 229 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ = ๐ถ)
714, 64, 70cbvmpt 5252 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)
7271oveq2i 7416 . . . . 5 (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ))
7372a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) = (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)))
74 dvmptmulf.cd . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ถ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท))
75 nfcv 2897 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฆ๐ท
7675, 55, 59cbvmpt 5252 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท)
7776a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ๐ท) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท))
7873, 74, 773eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท))
7912, 23, 33, 48, 54, 63, 78dvmptmul 25848 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
8025, 3, 4nfov 7435 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ)
81 nfcv 2897 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ +
8255, 3, 2nfov 7435 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
8380, 81, 82nfov 7435 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
84 nfcv 2897 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฆ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))
8565imbi1i 349 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
86 eqcom 2733 . . . . . . . . 9 (๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต)
8786imbi2i 336 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต))
8885, 87bitri 275 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต))
8929, 88mpbi 229 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ต)
9089, 70oveq12d 7423 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
9165imbi1i 349 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท))
92 eqcom 2733 . . . . . . . . 9 (๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท)
9392imbi2i 336 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท))
9491, 93bitri 275 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ท = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท) โ†” (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท))
9559, 94mpbi 229 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท = ๐ท)
9695, 40oveq12d 7423 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (๐ท ยท ๐ด))
9790, 96oveq12d 7423 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด)))
9883, 84, 97cbvmpt 5252 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด)))
9998a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ถ) + (โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ท ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))))
10011, 79, 993eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ (๐ด ยท ๐ถ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ ((๐ต ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098  โฆ‹csb 3888  {cpr 4625   โ†ฆ cmpt 5224  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111   + caddc 11115   ยท cmul 11117   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  45232
  Copyright terms: Public domain W3C validator