Theorem dvmptmulf 45981

Description: Function-builder for derivative, product rule. A version of dvmptmul 25893 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptmulf.ph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dvmptmulf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptmulf.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptmulf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptmulf.ab	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptmulf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptmulf.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊)
dvmptmulf.cd	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
dvmptmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem dvmptmulf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 · 𝐶)
2		nfcsb1v 3874	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴
3		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
4		nfcsb1v 3874	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
5	2, 3, 4	nfov 7376	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
6		csbeq1a 3864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
7		csbeq1a 3864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
8	6, 7	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝐶) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5193	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
10	9	oveq2i 7357	. . 3 ⊢ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)))
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))))
12		dvmptmulf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
13		dvmptmulf.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
14		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑋
15	13, 14	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)
16	2	nfel1 2911	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
17	15, 16	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
18		eleq1w 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑦 ∈ 𝑋))
19	18	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)))
20	6	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
21	19, 20	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)))
22		dvmptmulf.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	17, 21, 22	chvarfv 2243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
24		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
25	24	nfcsb1 3873	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
26		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
27	25, 26	nfel 2909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉
28	15, 27	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
29		csbeq1a 3864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
30	29	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉))
31	19, 30	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
32		dvmptmulf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
33	28, 31, 32	chvarfv 2243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
34		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
35		csbeq1a 3864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
36		csbcow 3865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐴
37		csbid 3863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴
38	36, 37	eqtri 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑦⦌⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴)
40	35, 39	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐴)
41	2, 34, 40	cbvmpt 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
42	41	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
44		dvmptmulf.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
45		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
46	45, 25, 29	cbvmpt 5193	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
48	43, 44, 47	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
49	4	nfel1 2911	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ
50	15, 49	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
51	7	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ))
52	19, 51	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)))
53		dvmptmulf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	chvarfv 2243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
55	24	nfcsb1 3873	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷
56		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑊
57	55, 56	nfel 2909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊
58	15, 57	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)
59		csbeq1a 3864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷)
60	59	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊))
61	19, 60	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)))
62		dvmptmulf.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ 𝑊)
63	58, 61, 62	chvarfv 2243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ∈ 𝑊)
64		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
65		eqcom 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
66	65	imbi1i 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
67		eqcom 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
68	67	imbi2i 336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶))
69	66, 68	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶))
70	7, 69	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
71	4, 64, 70	cbvmpt 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)
72	71	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶))
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)))
74		dvmptmulf.cd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
75		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
76	75, 55, 59	cbvmpt 5193	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷)
77	76	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
78	73, 74, 77	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
79	12, 23, 33, 48, 54, 63, 78	dvmptmul 25893	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))))
80	25, 3, 4	nfov 7376	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
81		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 +
82	55, 3, 2	nfov 7376	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
83	80, 81, 82	nfov 7376	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
84		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))
85	65	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
86		eqcom 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
87	86	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
88	85, 87	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
89	29, 88	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
90	89, 70	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
91	65	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷))
92		eqcom 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷)
93	92	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷))
94	91, 93	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷))
95	59, 94	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 = 𝐷)
96	95, 40	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) = (𝐷 · 𝐴))
97	90, 96	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
98	83, 84, 97	cbvmpt 5193	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)))
99	98	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) + (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐷 · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
100	11, 79, 99	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  ⦋csb 3850  {cpr 4578   ↦ cmpt 5172  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005   + caddc 11009   · cmul 11011   D cdv 25792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-fbas 21289  df-fg 21290  df-cnfld 21293  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796

This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  45988