Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem34 45569
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐹 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem34.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem34.a (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem34.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem34.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem34.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
etransclem34.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
etransclem34.h 𝐻 = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem34.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem34 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,π‘˜,π‘₯   𝐹,𝑐   𝐻,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑀,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛   𝑁,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛   𝑃,π‘˜,π‘₯   𝑆,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑋,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛   πœ‘,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(π‘₯,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem etransclem34
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem34.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 etransclem34.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
3 etransclem34.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4 etransclem34.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5 etransclem34.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
6 etransclem34.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 etransclem34.h . . 3 𝐻 = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
8 etransclem34.c . . 3 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 45565 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯))))
101, 2dvdmsscn 45237 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
118, 6etransclem16 45551 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) ∈ Fin)
1210adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
136faccld 14261 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
1413nncnd 12244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
16 fzfid 13956 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
17 fzssnn0 44612 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) βŠ† β„•0
18 ssrab2 4073 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁} βŠ† ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘))
208, 6etransclem12 45547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁})
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁})
2219, 21eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁})
2318, 22sselid 3976 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
2625ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑁))
2717, 26sselid 3976 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
2827faccld 14261 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
2928nncnd 12244 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3016, 29fprodcl 15914 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3128nnne0d 12278 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  0)
3216, 29, 31fprodn0 15941 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  0)
3315, 30, 32divcld 12006 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
34 ssid 4000 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
3534a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
3612, 33, 35constcncfg 45173 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)))) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
371ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
382ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
393ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
40 etransclem5 45540 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
417, 40eqtri 2755 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
42 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
4337, 38, 39, 41, 42, 27etransclem20 45555 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
44433adant2 1129 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
45 simp2 1135 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4644, 45ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4743feqmptd 6961 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯)))
4837, 38, 39, 41, 42, 27etransclem22 45557 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
4947, 48eqeltrrd 2829 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5012, 16, 46, 49fprodcncf 45201 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5136, 50mulcncf 25348 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯))) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5210, 11, 51fsumcncf 45179 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯))) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
539, 52eqeltrd 2828 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  {cpr 4626   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   Β· cmul 11129   βˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  ...cfz 13502  β†‘cexp 14044  !cfa 14250  Ξ£csu 15650  βˆcprod 15867   β†Ύt crest 17387  TopOpenctopn 17388  β„‚fldccnfld 21259  β€“cnβ†’ccncf 24770   D𝑛 cdvn 25767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-prod 15868  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770  df-dvn 25771
This theorem is referenced by:  etransclem40  45575
  Copyright terms: Public domain W3C validator