Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem34 46283
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐹 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem34.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem34.a (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem34.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem34.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem34.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
etransclem34.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem34.h 𝐻 = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem34.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem34 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑘,𝑥   𝐹,𝑐   𝐻,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥   𝑀,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛   𝑁,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛   𝑃,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥   𝑋,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛   𝜑,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem etransclem34
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem34.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 etransclem34.a . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 etransclem34.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 etransclem34.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5 etransclem34.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
6 etransclem34.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 etransclem34.h . . 3 𝐻 = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
8 etransclem34.c . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 46279 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥))))
101, 2dvdmsscn 45951 . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
118, 6etransclem16 46265 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
1210adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
136faccld 14323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1413nncnd 12282 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
16 fzfid 14014 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
17 fzssnn0 45329 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
18 ssrab2 4080 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
208, 6etransclem12 46261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁})
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁})
2219, 21eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁})
2318, 22sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
2625ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ (0...𝑁))
2717, 26sselid 3981 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℕ0)
2827faccld 14323 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑘)) ∈ ℕ)
2928nncnd 12282 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
3016, 29fprodcl 15988 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
3128nnne0d 12316 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑘)) ≠ 0)
3216, 29, 31fprodn0 16015 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)) ≠ 0)
3315, 30, 32divcld 12043 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) ∈ ℂ)
34 ssid 4006 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
3612, 33, 35constcncfg 45887 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝑥𝑋 ↦ ((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
371ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
382ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
393ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
40 etransclem5 46254 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
417, 40eqtri 2765 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
42 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
4337, 38, 39, 41, 42, 27etransclem20 46269 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)):𝑋⟶ℂ)
44433adant2 1132 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑥𝑋𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)):𝑋⟶ℂ)
45 simp2 1138 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑥𝑋𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥𝑋)
4644, 45ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑥𝑋𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
4743feqmptd 6977 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥)))
4837, 38, 39, 41, 42, 27etransclem22 46271 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
4947, 48eqeltrrd 2842 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5012, 16, 46, 49fprodcncf 45915 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5136, 50mulcncf 25480 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5210, 11, 51fsumcncf 45893 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
539, 52eqeltrd 2841 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  wss 3951  ifcif 4525  {cpr 4628  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  ...cfz 13547  cexp 14102  !cfa 14312  Σcsu 15722  cprod 15939  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364  cnccncf 24902   D𝑛 cdvn 25899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-prod 15940  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-dvn 25903
This theorem is referenced by:  etransclem40  46289
  Copyright terms: Public domain W3C validator