Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem34 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem etransclem34 44974
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐹 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem34.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem34.a (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem34.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem34.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem34.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
etransclem34.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
etransclem34.h 𝐻 = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem34.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem34 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,π‘˜,π‘₯   𝐹,𝑐   𝐻,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑀,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛   𝑁,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛   𝑃,π‘˜,π‘₯   𝑆,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑋,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛   πœ‘,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(π‘₯,π‘˜,𝑛)
Proof of Theorem etransclem34
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem34.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 etransclem34.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
3 etransclem34.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4 etransclem34.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5 etransclem34.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
6 etransclem34.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 etransclem34.h . . 3 𝐻 = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
8 etransclem34.c . . 3 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 44970 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯))))
101, 2dvdmsscn 44642 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
118, 6etransclem16 44956 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) ∈ Fin)
1210adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
136faccld 14243 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
1413nncnd 12227 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
16 fzfid 13937 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
17 fzssnn0 44017 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) βŠ† β„•0
18 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁} βŠ† ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘))
208, 6etransclem12 44952 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁})
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁})
2219, 21eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁})
2318, 22sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
2625ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑁))
2717, 26sselid 3980 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
2827faccld 14243 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
2928nncnd 12227 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3016, 29fprodcl 15895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3128nnne0d 12261 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  0)
3216, 29, 31fprodn0 15922 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  0)
3315, 30, 32divcld 11989 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
34 ssid 4004 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
3534a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
3612, 33, 35constcncfg 44578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)))) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
371ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
382ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
393ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
40 etransclem5 44945 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
417, 40eqtri 2760 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
42 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
4337, 38, 39, 41, 42, 27etransclem20 44960 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
44433adant2 1131 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
45 simp2 1137 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4644, 45ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4743feqmptd 6960 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯)))
4837, 38, 39, 41, 42, 27etransclem22 44962 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
4947, 48eqeltrrd 2834 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5012, 16, 46, 49fprodcncf 44606 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5136, 50mulcncf 24962 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯))) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5210, 11, 51fsumcncf 44584 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯))) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
539, 52eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  ...cfz 13483  β†‘cexp 14026  !cfa 14232  Ξ£csu 15631  βˆcprod 15848   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943  β€“cnβ†’ccncf 24391   D𝑛 cdvn 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-prod 15849  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-dvn 25384
This theorem is referenced by:  etransclem40  44980
  Copyright terms: Public domain W3C validator