Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem34 45685
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐹 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem34.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem34.a (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem34.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem34.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem34.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
etransclem34.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem34.h 𝐻 = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem34.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem34 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑘,𝑥   𝐹,𝑐   𝐻,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥   𝑀,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛   𝑁,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛   𝑃,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥   𝑋,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛   𝜑,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem etransclem34
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem34.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 etransclem34.a . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 etransclem34.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 etransclem34.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5 etransclem34.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
6 etransclem34.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 etransclem34.h . . 3 𝐻 = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
8 etransclem34.c . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 45681 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥))))
101, 2dvdmsscn 45353 . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
118, 6etransclem16 45667 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
1210adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
136faccld 14283 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1413nncnd 12266 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
16 fzfid 13978 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
17 fzssnn0 44728 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
18 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
19 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
208, 6etransclem12 45663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁})
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁})
2219, 21eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁})
2318, 22sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
2625ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ (0...𝑁))
2717, 26sselid 3980 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℕ0)
2827faccld 14283 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑘)) ∈ ℕ)
2928nncnd 12266 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
3016, 29fprodcl 15936 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
3128nnne0d 12300 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑘)) ≠ 0)
3216, 29, 31fprodn0 15963 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)) ≠ 0)
3315, 30, 32divcld 12028 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) ∈ ℂ)
34 ssid 4004 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
3612, 33, 35constcncfg 45289 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝑥𝑋 ↦ ((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
371ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
382ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
393ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
40 etransclem5 45656 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
417, 40eqtri 2756 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
42 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
4337, 38, 39, 41, 42, 27etransclem20 45671 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)):𝑋⟶ℂ)
44433adant2 1128 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑥𝑋𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)):𝑋⟶ℂ)
45 simp2 1134 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑥𝑋𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥𝑋)
4644, 45ffvelcdmd 7100 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑥𝑋𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
4743feqmptd 6972 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥)))
4837, 38, 39, 41, 42, 27etransclem22 45673 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
4947, 48eqeltrrd 2830 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5012, 16, 46, 49fprodcncf 45317 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5136, 50mulcncf 25394 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5210, 11, 51fsumcncf 45295 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
539, 52eqeltrd 2829 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3430  wss 3949  ifcif 4532  {cpr 4634  cmpt 5235  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  m cmap 8851  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151  cmin 11482   / cdiv 11909  cn 12250  0cn0 12510  ...cfz 13524  cexp 14066  !cfa 14272  Σcsu 15672  cprod 15889  t crest 17409  TopOpenctopn 17410  fldccnfld 21286  cnccncf 24816   D𝑛 cdvn 25813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-prod 15890  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-dvn 25817
This theorem is referenced by:  etransclem40  45691
  Copyright terms: Public domain W3C validator