Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem34 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem etransclem34 45715
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐹 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem34.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem34.a (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem34.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem34.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem34.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
etransclem34.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
etransclem34.h 𝐻 = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem34.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem34 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,π‘˜,π‘₯   𝐹,𝑐   𝐻,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑀,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛   𝑁,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛   𝑃,π‘˜,π‘₯   𝑆,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑋,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛   πœ‘,𝑐,π‘˜,π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(π‘₯,π‘˜,𝑛)
Proof of Theorem etransclem34
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem34.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 etransclem34.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
3 etransclem34.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4 etransclem34.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5 etransclem34.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑𝑃)))
6 etransclem34.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 etransclem34.h . . 3 𝐻 = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
8 etransclem34.c . . 3 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 45711 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯))))
101, 2dvdmsscn 45383 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
118, 6etransclem16 45697 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) ∈ Fin)
1210adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
136faccld 14270 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
1413nncnd 12253 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
16 fzfid 13965 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
17 fzssnn0 44758 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) βŠ† β„•0
18 ssrab2 4070 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁} βŠ† ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
19 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘))
208, 6etransclem12 45693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁})
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁})
2219, 21eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = 𝑁})
2318, 22sselid 3971 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
2625ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑁))
2717, 26sselid 3971 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
2827faccld 14270 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
2928nncnd 12253 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3016, 29fprodcl 15923 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3128nnne0d 12287 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  0)
3216, 29, 31fprodn0 15950 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) β‰  0)
3315, 30, 32divcld 12015 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
34 ssid 3996 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
3534a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
3612, 33, 35constcncfg 45319 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)))) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
371ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
382ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
393ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
40 etransclem5 45686 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
417, 40eqtri 2753 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
42 simpr 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
4337, 38, 39, 41, 42, 27etransclem20 45701 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
44433adant2 1128 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
45 simp2 1134 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4644, 45ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4743feqmptd 6960 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯)))
4837, 38, 39, 41, 42, 27etransclem22 45703 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
4947, 48eqeltrrd 2826 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5012, 16, 46, 49fprodcncf 45347 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5136, 50mulcncf 25387 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯))) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5210, 11, 51fsumcncf 45325 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯))) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
539, 52eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   βŠ† wss 3941  ifcif 4525  {cpr 4627   ↦ cmpt 5227  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8838  β„‚cc 11131  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   Β· cmul 11138   βˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  ...cfz 13511  β†‘cexp 14053  !cfa 14259  Ξ£csu 15659  βˆcprod 15876   β†Ύt crest 17396  TopOpenctopn 17397  β„‚fldccnfld 21278  β€“cnβ†’ccncf 24809   D𝑛 cdvn 25806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-prod 15877  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-dvn 25810
This theorem is referenced by:  etransclem40  45721
  Copyright terms: Public domain W3C validator