Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem21 41109
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻 applied to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem21.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem21.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem21.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem21.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem21.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem21.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem21.y (𝜑𝑌𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem21 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁)‘𝑌) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝑥,𝑁   𝑃,𝑗,𝑥   𝑥,𝑆   𝑗,𝑋,𝑥   𝑥,𝑌   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑌(𝑗)

Proof of Theorem etransclem21
StepHypRef Expression
1 etransclem21.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 etransclem21.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 etransclem21.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 etransclem21.h . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
5 etransclem21.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
6 etransclem21.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
71, 2, 3, 4, 5, 6etransclem17 41105 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
8 oveq1 6849 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐽) = (𝑌𝐽))
98oveq1d 6857 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) = ((𝑌𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
109oveq2d 6858 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) = (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))
1110ifeq2d 4262 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
1211adantl 473 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
13 etransclem21.y . 2 (𝜑𝑌𝑋)
14 0cnd 10286 . . 3 ((𝜑 ∧ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 0 ∈ ℂ)
15 nnm1nn0 11581 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
163, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
173nnnn0d 11598 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
1816, 17ifcld 4288 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
1918faccld 13275 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℕ)
2019nncnd 11292 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
2120adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
2218nn0zd 11727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ)
236nn0zd 11727 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2422, 23zsubcld 11734 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℤ)
2524adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℤ)
266nn0red 11599 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2726adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2818nn0red 11599 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℝ)
2928adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℝ)
30 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁)
3127, 29, 30nltled 10441 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 𝑁 ≤ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
3229, 27subge0d 10871 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (0 ≤ (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
3331, 32mpbird 248 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 0 ≤ (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))
34 elnn0z 11637 . . . . . . . 8 ((if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
3525, 33, 34sylanbrc 578 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℕ0)
3635faccld 13275 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ∈ ℕ)
3736nncnd 11292 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ∈ ℂ)
3836nnne0d 11322 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ≠ 0)
3921, 37, 38divcld 11055 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → ((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) ∈ ℂ)
401, 2dvdmsscn 40789 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
4140, 13sseldd 3762 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
425elfzelzd 40168 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
4342zcnd 11730 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
4441, 43subcld 10646 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌𝐽) ∈ ℂ)
4544adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑌𝐽) ∈ ℂ)
4645, 35expcld 13215 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → ((𝑌𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ∈ ℂ)
4739, 46mulcld 10314 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) ∈ ℂ)
4814, 47ifclda 4277 . 2 (𝜑 → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) ∈ ℂ)
497, 12, 13, 48fvmptd 6477 1 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁)‘𝑌) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  ifcif 4243  {cpr 4336   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  ...cfz 12533  cexp 13067  !cfa 13264  t crest 16347  TopOpenctopn 16348  fldccnfld 20019   D𝑛 cdvn 23919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-dvn 23923
This theorem is referenced by:  etransclem27  41115  etransclem31  41119
  Copyright terms: Public domain W3C validator