Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem21 45566
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻 applied to π‘Œ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem21.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem21.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem21.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem21.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem21.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem21.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
etransclem21.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem21 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½))β€˜π‘)β€˜π‘Œ) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,π‘₯   𝑗,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑁   𝑃,𝑗,π‘₯   π‘₯,𝑆   𝑗,𝑋,π‘₯   π‘₯,π‘Œ   πœ‘,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(π‘₯,𝑗)   𝑁(𝑗)   π‘Œ(𝑗)

Proof of Theorem etransclem21
StepHypRef Expression
1 etransclem21.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 etransclem21.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
3 etransclem21.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4 etransclem21.h . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
5 etransclem21.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
6 etransclem21.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
71, 2, 3, 4, 5, 6etransclem17 45562 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))))
8 oveq1 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐽) = (π‘Œ βˆ’ 𝐽))
98oveq1d 7429 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Œ β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)) = ((π‘Œ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))
109oveq2d 7430 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) = (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))
1110ifeq2d 4544 . . 3 (π‘₯ = π‘Œ β†’ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))))
1211adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))))
13 etransclem21.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
14 0cnd 11229 . . 3 ((πœ‘ ∧ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ 0 ∈ β„‚)
15 nnm1nn0 12535 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
163, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
173nnnn0d 12554 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
1816, 17ifcld 4570 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
1918faccld 14267 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„•)
2019nncnd 12250 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
2120adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
2218nn0zd 12606 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„€)
236nn0zd 12606 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2422, 23zsubcld 12693 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„€)
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„€)
266nn0red 12555 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2818nn0red 12555 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ ℝ)
30 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁)
3127, 29, 30nltled 11386 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ 𝑁 ≀ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
3229, 27subge0d 11826 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (0 ≀ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ↔ 𝑁 ≀ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
3331, 32mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ 0 ≀ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))
34 elnn0z 12593 . . . . . . . 8 ((if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0 ↔ ((if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))
3525, 33, 34sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)
3635faccld 14267 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)) ∈ β„•)
3736nncnd 12250 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)) ∈ β„‚)
3836nnne0d 12284 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)) β‰  0)
3921, 37, 38divcld 12012 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ ((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) ∈ β„‚)
401, 2dvdmsscn 45247 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4140, 13sseldd 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
425elfzelzd 13526 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
4342zcnd 12689 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
4441, 43subcld 11593 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐽) ∈ β„‚)
4544adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐽) ∈ β„‚)
4645, 35expcld 14134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)) ∈ β„‚)
4739, 46mulcld 11256 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) ∈ β„‚)
4814, 47ifclda 4559 . 2 (πœ‘ β†’ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))) ∈ β„‚)
497, 12, 13, 48fvmptd 7006 1 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½))β€˜π‘)β€˜π‘Œ) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   Β· cmul 11135   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  ...cfz 13508  β†‘cexp 14050  !cfa 14256   β†Ύt crest 17393  TopOpenctopn 17394  β„‚fldccnfld 21266   D𝑛 cdvn 25780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-dvn 25784
This theorem is referenced by:  etransclem27  45572  etransclem31  45576
  Copyright terms: Public domain W3C validator