Theorem etransclem21 43686

Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻 applied to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem21.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem21.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem21.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem21.h	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem21.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem21.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem21.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
etransclem21	⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁)‘𝑌) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝑥,𝑁   𝑃,𝑗,𝑥   𝑥,𝑆   𝑗,𝑋,𝑥   𝑥,𝑌   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑌(𝑗)

Proof of Theorem etransclem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem21.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		etransclem21.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3		etransclem21.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		etransclem21.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
5		etransclem21.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
6		etransclem21.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	etransclem17 43682	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
8		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − 𝐽) = (𝑌 − 𝐽))
9	8	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) = ((𝑌 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
10	9	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) = (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))
11	10	ifeq2d 4476	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
13		etransclem21.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
14		0cnd 10899	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 0 ∈ ℂ)
15		nnm1nn0 12204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
16	3, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
17	3	nnnn0d 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
18	16, 17	ifcld 4502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
19	18	faccld 13926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℕ)
20	19	nncnd 11919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
22	18	nn0zd 12353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ)
23	6	nn0zd 12353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24	22, 23	zsubcld 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℤ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℤ)
26	6	nn0red 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	18	nn0red 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℝ)
30		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁)
31	27, 29, 30	nltled 11055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 𝑁 ≤ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
32	29, 27	subge0d 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (0 ≤ (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
33	31, 32	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 0 ≤ (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))
34		elnn0z 12262	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
35	25, 33, 34	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℕ0)
36	35	faccld 13926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ∈ ℕ)
37	36	nncnd 11919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ∈ ℂ)
38	36	nnne0d 11953	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ≠ 0)
39	21, 37, 38	divcld 11681	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → ((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) ∈ ℂ)
40	1, 2	dvdmsscn 43367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
41	40, 13	sseldd 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
42	5	elfzelzd 13186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
43	42	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
44	41, 43	subcld 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐽) ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑌 − 𝐽) ∈ ℂ)
46	45, 35	expcld 13792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → ((𝑌 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ∈ ℂ)
47	39, 46	mulcld 10926	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) ∈ ℂ)
48	14, 47	ifclda 4491	. 2 ⊢ (𝜑 → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) ∈ ℂ)
49	7, 12, 13, 48	fvmptd 6864	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻‘𝐽))‘𝑁)‘𝑌) = if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑌 − 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  {cpr 4560   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  !cfa 13915   ↾_t crest 17048  TopOpenctopn 17049  ℂ_fldccnfld 20510   D^𝑛 cdvn 24933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-dvn 24937

This theorem is referenced by:  etransclem27  43692  etransclem31  43696