Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem20 45701
Description: 𝐻 is smooth. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem20.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem20.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem20.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem20.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem20.J (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem20.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
etransclem20 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½))β€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,π‘₯   𝑗,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑁   𝑃,𝑗,π‘₯   π‘₯,𝑆   𝑗,𝑋,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(π‘₯,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem20
StepHypRef Expression
1 iftrue 4531 . . . . . 6 (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁 β†’ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))) = 0)
2 0cnd 11232 . . . . . 6 (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁 β†’ 0 ∈ β„‚)
31, 2eqeltrd 2825 . . . . 5 (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁 β†’ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))) ∈ β„‚)
43adantl 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))) ∈ β„‚)
5 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁)
65iffalsed 4536 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))) = (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))
7 etransclem20.p . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8 nnm1nn0 12538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
107nnnn0d 12557 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
119, 10ifcld 4571 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
1211faccld 14270 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„•)
1312nncnd 12253 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
1413adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∈ β„‚)
1511nn0zd 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„€)
16 etransclem20.n . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1716nn0zd 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1815, 17zsubcld 12696 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„€)
1918adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„€)
2016nn0red 12558 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2211nn0red 12558 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ ℝ)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ ℝ)
24 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁)
2521, 23, 24nltled 11389 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ 𝑁 ≀ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
2623, 21subge0d 11829 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (0 ≀ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ↔ 𝑁 ≀ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
2725, 26mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ 0 ≀ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))
28 elnn0z 12596 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0 ↔ ((if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))
2919, 27, 28sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)
3029faccld 14270 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)) ∈ β„•)
3130nncnd 12253 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)) ∈ β„‚)
3230nnne0d 12287 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)) β‰  0)
3314, 31, 32divcld 12015 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ ((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) ∈ β„‚)
3433adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ ((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) ∈ β„‚)
35 etransclem20.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
36 etransclem20.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
3735, 36dvdmsscn 45383 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
3837sselda 3973 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
39 etransclem20.J . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
40 elfzelz 13528 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
4140zcnd 12692 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
4342adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
4438, 43subcld 11596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐽) ∈ β„‚)
4544adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐽) ∈ β„‚)
4629adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁) ∈ β„•0)
4745, 46expcld 14137 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)) ∈ β„‚)
4834, 47mulcld 11259 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) ∈ β„‚)
496, 48eqeltrd 2825 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁) β†’ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))) ∈ β„‚)
504, 49pm2.61dan 811 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))) ∈ β„‚)
51 eqid 2725 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁)))))
5250, 51fmptd 7117 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))):π‘‹βŸΆβ„‚)
53 etransclem20.h . . . 4 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
5435, 36, 7, 53, 39, 16etransclem17 45698 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½))β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))))
5554feq1d 6702 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½))β€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!β€˜if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ 𝑁))))):π‘‹βŸΆβ„‚))
5652, 55mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π½))β€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4525  {cpr 4627   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„‚cc 11131  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   Β· cmul 11138   < clt 11273   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  β„€cz 12583  ...cfz 13511  β†‘cexp 14053  !cfa 14259   β†Ύt crest 17396  TopOpenctopn 17397  β„‚fldccnfld 21278   D𝑛 cdvn 25806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-dvn 25810
This theorem is referenced by:  etransclem27  45708  etransclem29  45710  etransclem31  45712  etransclem32  45713  etransclem33  45714  etransclem34  45715
  Copyright terms: Public domain W3C validator