Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem31 42092
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻 applied to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem31.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem31.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem31.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem31.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem31.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem31.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem31.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem31.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem31.y (𝜑𝑌𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem31 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑌) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑥   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑥,𝑛   𝑁,𝑐,𝑗,𝑥,𝑛   𝑃,𝑗,𝑥   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑗,𝑋,𝑥,𝑛   𝑌,𝑐,𝑗,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem etransclem31
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem31.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 etransclem31.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 etransclem31.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 etransclem31.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5 etransclem31.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
6 etransclem31.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 etransclem31.h . . . 4 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
8 etransclem31.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 42091 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥))))
10 fveq2 6538 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌))
1110prodeq2ad 41415 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌))
1211oveq2d 7032 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥)) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)))
1312sumeq2sdv 14894 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)))
1413adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)))
15 etransclem31.y . . 3 (𝜑𝑌𝑋)
168, 6etransclem16 42077 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
176faccld 13494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1817nncnd 11502 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
20 fzfid 13191 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
21 fzssnn0 41126 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
22 ssrab2 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀))
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
248, 6etransclem12 42073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
2623, 25eleqtrd 2885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
2722, 26sseldi 3887 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
29 elmapi 8278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
31 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
3230, 31ffvelrnd 6717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ (0...𝑁))
3321, 32sseldi 3887 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℕ0)
3433faccld 13494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℕ)
3534nncnd 11502 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
3620, 35fprodcl 15139 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
3734nnne0d 11535 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑗)) ≠ 0)
3820, 35, 37fprodn0 15166 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ≠ 0)
3919, 36, 38divcld 11264 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
401ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
412ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
423ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
43 etransclem5 42066 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
447, 43eqtri 2819 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
4540, 41, 42, 44, 31, 33etransclem20 42081 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗)):𝑋⟶ℂ)
4615ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑌𝑋)
4745, 46ffvelrnd 6717 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌) ∈ ℂ)
4820, 47fprodcl 15139 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌) ∈ ℂ)
4939, 48mulcld 10507 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)) ∈ ℂ)
5016, 49fsumcl 14923 . . 3 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)) ∈ ℂ)
519, 14, 15, 50fvmptd 6641 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑌) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)))
5240, 41, 42, 44, 31, 33, 46etransclem21 42082 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌) = if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))))
5352prodeq2dv 15110 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))))
54 nn0uz 12129 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
554, 54syl6eleq 2893 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
5655adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
5752, 47eqeltrrd 2884 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) ∈ ℂ)
58 iftrue 4387 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
59 fveq2 6538 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘0))
6058, 59breq12d 4975 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗) ↔ (𝑃 − 1) < (𝑐‘0)))
6158fveq2d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 → (!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = (!‘(𝑃 − 1)))
6258, 59oveq12d 7034 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 0 → (if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)) = ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))
6362fveq2d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 → (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))) = (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
6461, 63oveq12d 7034 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → ((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))))
65 oveq2 7024 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 → (𝑌𝑗) = (𝑌 − 0))
6665, 62oveq12d 7034 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))) = ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
6764, 66oveq12d 7034 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))))
6860, 67ifbieq2d 4406 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))))
6956, 57, 68fprod1p 15155 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))))))
701, 2dvdmsscn 41762 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
7170, 15sseldd 3890 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
7271subid1d 10834 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 − 0) = 𝑌)
7372oveq1d 7031 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
7473oveq2d 7032 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))))
7574ifeq2d 4400 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))))
76 0p1e1 11607 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
7776oveq1i 7026 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
7877prodeq1i 15105 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))))
79 0red 10490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
80 1red 10488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
81 elfzelz 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8281zred 11936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
83 0lt1 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 1
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
85 elfzle1 12760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
8679, 80, 82, 84, 85ltletrd 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
8786gt0ne0d 11052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
8887neneqd 2989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
8988iffalsed 4392 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
9089breq1d 4972 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗) ↔ 𝑃 < (𝑐𝑗)))
9189fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = (!‘𝑃))
9289oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)) = (𝑃 − (𝑐𝑗)))
9392fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗))))
9491, 93oveq12d 7034 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))))
9592oveq2d 7032 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))) = ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))
9694, 95oveq12d 7034 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))
9790, 96ifbieq2d 4406 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))
9897prodeq2i 15106 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ (1...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))
9978, 98eqtri 2819 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))
10099a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))
10175, 100oveq12d 7034 . . . . . 6 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
102101adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
10353, 69, 1023eqtrd 2835 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
104103oveq2d 7032 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
105104sumeq2dv 14893 . 2 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
10651, 105eqtrd 2831 1 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑌) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  {crab 3109  ifcif 4381  {cpr 4474   class class class wbr 4962  cmpt 5041  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑚 cmap 8256  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cmin 10717   / cdiv 11145  cn 11486  0cn0 11745  cuz 12093  ...cfz 12742  cexp 13279  !cfa 13483  Σcsu 14876  cprod 15092  t crest 16523  TopOpenctopn 16524  fldccnfld 20227   D𝑛 cdvn 24145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-prod 15093  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-dvn 24149
This theorem is referenced by:  etransclem35  42096  etransclem36  42097  etransclem37  42098  etransclem38  42099
  Copyright terms: Public domain W3C validator