Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem31 45279
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻 applied to π‘Œ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem31.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem31.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem31.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem31.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem31.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem31.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
etransclem31.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem31.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
etransclem31.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem31 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π‘Œ) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,𝑗,π‘₯   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑀,𝑐,𝑗,π‘₯,𝑛   𝑁,𝑐,𝑗,π‘₯,𝑛   𝑃,𝑗,π‘₯   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘₯,𝑛   π‘Œ,𝑐,𝑗,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑗,π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)   π‘Œ(𝑛)

Proof of Theorem etransclem31
Dummy variables π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem31.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 etransclem31.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
3 etransclem31.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4 etransclem31.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5 etransclem31.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
6 etransclem31.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 etransclem31.h . . . 4 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
8 etransclem31.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 45278 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯))))
10 fveq2 6890 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ))
1110prodeq2ad 44606 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Œ β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) = βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ))
1211oveq2d 7427 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)))
1312sumeq2sdv 15654 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)))
1413adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)))
15 etransclem31.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
168, 6etransclem16 45264 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) ∈ Fin)
176faccld 14248 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
1817nncnd 12232 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
1918adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
20 fzfid 13942 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
21 fzssnn0 44325 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) βŠ† β„•0
22 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} βŠ† ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
23 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘))
248, 6etransclem12 45260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
2623, 25eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
2722, 26sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2827adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
29 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
31 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
3230, 31ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ (0...𝑁))
3321, 32sselid 3979 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ β„•0)
3433faccld 14248 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„•)
3534nncnd 12232 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
3620, 35fprodcl 15900 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
3734nnne0d 12266 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) β‰  0)
3820, 35, 37fprodn0 15927 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) β‰  0)
3919, 36, 38divcld 11994 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„‚)
401ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
412ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
423ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
43 etransclem5 45253 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
447, 43eqtri 2758 . . . . . . . 8 𝐻 = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
4540, 41, 42, 44, 31, 33etransclem20 45268 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—)):π‘‹βŸΆβ„‚)
4615ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
4745, 46ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
4820, 47fprodcl 15900 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
4939, 48mulcld 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)) ∈ β„‚)
5016, 49fsumcl 15683 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)) ∈ β„‚)
519, 14, 15, 50fvmptd 7004 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π‘Œ) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)))
5240, 41, 42, 44, 31, 33, 46etransclem21 45269 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ) = if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))
5352prodeq2dv 15871 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ) = βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))
54 nn0uz 12868 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
554, 54eleqtrdi 2841 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5655adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5752, 47eqeltrrd 2832 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„‚)
58 iftrue 4533 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
59 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜0))
6058, 59breq12d 5160 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 β†’ (if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0)))
6158fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 β†’ (!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
6258, 59oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 0 β†’ (if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)) = ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))
6362fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 β†’ (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))
6461, 63oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ ((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))))
65 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑗) = (π‘Œ βˆ’ 0))
6665, 62oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))
6764, 66oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 β†’ (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))))
6860, 67ifbieq2d 4553 . . . . . 6 (𝑗 = 0 β†’ if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))))
6956, 57, 68fprod1p 15916 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
701, 2dvdmsscn 44950 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
7170, 15sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
7271subid1d 11564 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 0) = π‘Œ)
7372oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))) = (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))
7473oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))))
7574ifeq2d 4547 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) = if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))))
76 0p1e1 12338 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
7776oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
7877prodeq1i 15866 . . . . . . . . 9 βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))
79 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
80 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ∈ ℝ)
81 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
8281zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
83 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 1
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 1)
85 elfzle1 13508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ≀ 𝑗)
8679, 80, 82, 84, 85ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 𝑗)
8786gt0ne0d 11782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 β‰  0)
8887neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ Β¬ 𝑗 = 0)
8988iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = 𝑃)
9089breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—) ↔ 𝑃 < (π‘β€˜π‘—)))
9189fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = (!β€˜π‘ƒ))
9289oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)) = (𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))
9392fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))
9491, 93oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ ((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))
9592oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))
9694, 95oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))
9790, 96ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))
9897prodeq2i 15867 . . . . . . . . 9 βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))
9978, 98eqtri 2758 . . . . . . . 8 βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))
10099a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))
10175, 100oveq12d 7429 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
102101adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
10353, 69, 1023eqtrd 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
104103oveq2d 7427 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)) = (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
105104sumeq2dv 15653 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
10651, 105eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π‘Œ) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  ifcif 4527  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  !cfa 14237  Ξ£csu 15636  βˆcprod 15853   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  β„‚fldccnfld 21144   D𝑛 cdvn 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-prod 15854  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-dvn 25617
This theorem is referenced by:  etransclem35  45283  etransclem36  45284  etransclem37  45285  etransclem38  45286
  Copyright terms: Public domain W3C validator