Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem31 45281
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻 applied to π‘Œ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem31.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem31.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem31.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem31.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem31.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem31.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
etransclem31.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem31.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
etransclem31.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem31 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π‘Œ) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,𝑗,π‘₯   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑀,𝑐,𝑗,π‘₯,𝑛   𝑁,𝑐,𝑗,π‘₯,𝑛   𝑃,𝑗,π‘₯   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘₯,𝑛   π‘Œ,𝑐,𝑗,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑗,π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)   π‘Œ(𝑛)

Proof of Theorem etransclem31
Dummy variables π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem31.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 etransclem31.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
3 etransclem31.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4 etransclem31.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5 etransclem31.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
6 etransclem31.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 etransclem31.h . . . 4 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
8 etransclem31.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 45280 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯))))
10 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ))
1110prodeq2ad 44608 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Œ β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) = βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ))
1211oveq2d 7428 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)))
1312sumeq2sdv 15655 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)))
1413adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)))
15 etransclem31.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
168, 6etransclem16 45266 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) ∈ Fin)
176faccld 14249 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
1817nncnd 12233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
20 fzfid 13943 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
21 fzssnn0 44327 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) βŠ† β„•0
22 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} βŠ† ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘))
248, 6etransclem12 45262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
2623, 25eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
2722, 26sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
29 elmapi 8846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
31 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
3230, 31ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ (0...𝑁))
3321, 32sselid 3981 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ β„•0)
3433faccld 14249 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„•)
3534nncnd 12233 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
3620, 35fprodcl 15901 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
3734nnne0d 12267 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) β‰  0)
3820, 35, 37fprodn0 15928 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) β‰  0)
3919, 36, 38divcld 11995 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„‚)
401ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
412ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
423ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
43 etransclem5 45255 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
447, 43eqtri 2759 . . . . . . . 8 𝐻 = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
4540, 41, 42, 44, 31, 33etransclem20 45270 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—)):π‘‹βŸΆβ„‚)
4615ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
4745, 46ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
4820, 47fprodcl 15901 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
4939, 48mulcld 11239 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)) ∈ β„‚)
5016, 49fsumcl 15684 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)) ∈ β„‚)
519, 14, 15, 50fvmptd 7006 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π‘Œ) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)))
5240, 41, 42, 44, 31, 33, 46etransclem21 45271 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ) = if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))
5352prodeq2dv 15872 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ) = βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))
54 nn0uz 12869 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
554, 54eleqtrdi 2842 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5655adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5752, 47eqeltrrd 2833 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„‚)
58 iftrue 4535 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
59 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜0))
6058, 59breq12d 5162 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 β†’ (if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0)))
6158fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 β†’ (!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
6258, 59oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 0 β†’ (if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)) = ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))
6362fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 β†’ (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))
6461, 63oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ ((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))))
65 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑗) = (π‘Œ βˆ’ 0))
6665, 62oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))
6764, 66oveq12d 7430 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 β†’ (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))))
6860, 67ifbieq2d 4555 . . . . . 6 (𝑗 = 0 β†’ if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))))
6956, 57, 68fprod1p 15917 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
701, 2dvdmsscn 44952 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
7170, 15sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
7271subid1d 11565 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 0) = π‘Œ)
7372oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))) = (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))
7473oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))))
7574ifeq2d 4549 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) = if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))))
76 0p1e1 12339 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
7776oveq1i 7422 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
7877prodeq1i 15867 . . . . . . . . 9 βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))
79 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
80 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ∈ ℝ)
81 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
8281zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
83 0lt1 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 1
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 1)
85 elfzle1 13509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ≀ 𝑗)
8679, 80, 82, 84, 85ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 𝑗)
8786gt0ne0d 11783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 β‰  0)
8887neneqd 2944 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ Β¬ 𝑗 = 0)
8988iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = 𝑃)
9089breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—) ↔ 𝑃 < (π‘β€˜π‘—)))
9189fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = (!β€˜π‘ƒ))
9289oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)) = (𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))
9392fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))
9491, 93oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ ((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))
9592oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))
9694, 95oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))
9790, 96ifbieq2d 4555 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))
9897prodeq2i 15868 . . . . . . . . 9 βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))
9978, 98eqtri 2759 . . . . . . . 8 βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))
10099a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))
10175, 100oveq12d 7430 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
102101adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 0)↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) / (!β€˜(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
10353, 69, 1023eqtrd 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
104103oveq2d 7428 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)) = (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
105104sumeq2dv 15654 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘Œ)) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
10651, 105eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π‘Œ) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (π‘Œβ†‘((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((π‘Œ βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  ifcif 4529  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  β†‘cexp 14032  !cfa 14238  Ξ£csu 15637  βˆcprod 15854   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  β„‚fldccnfld 21145   D𝑛 cdvn 25614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-prod 15855  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-dvn 25618
This theorem is referenced by:  etransclem35  45285  etransclem36  45286  etransclem37  45287  etransclem38  45288
  Copyright terms: Public domain W3C validator