MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1mpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1mpt2 15558
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ello1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ello1mpt2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝐶,𝑚,𝑥,𝑦   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1mpt2
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 ello1mpt.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
31, 2ello1mpt 15557 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
4 ello1d.3 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 rexico 15392 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
61, 4, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
76rexbidv 3179 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
8 rexcom 3290 . . 3 (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
9 rexcom 3290 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
107, 8, 93bitr4g 314 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
113, 10bitr4d 282 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  (class class class)co 7431  cr 11154  +∞cpnf 11292  cle 11296  [,)cico 13389  ≤𝑂(1)clo1 15523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393  df-lo1 15527
This theorem is referenced by:  lo1bdd2  15560  elo1mpt2  15571
  Copyright terms: Public domain W3C validator