MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello1mpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello1mpt2 14878
Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ello1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ello1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ello1mpt2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝐶,𝑚,𝑥,𝑦   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1mpt2
StepHypRef Expression
1 ello1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 ello1mpt.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
31, 2ello1mpt 14877 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
4 ello1d.3 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 rexico 14712 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
61, 4, 5syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
76rexbidv 3297 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
8 rexcom 3355 . . 3 (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
9 rexcom 3355 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚))
107, 8, 93bitr4g 316 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
113, 10bitr4d 284 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wcel 2110  wral 3138  wrex 3139  wss 3935   class class class wbr 5065  cmpt 5145  (class class class)co 7155  cr 10535  +∞cpnf 10671  cle 10675  [,)cico 12739  ≤𝑂(1)clo1 14843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-ico 12743  df-lo1 14847
This theorem is referenced by:  lo1bdd2  14880  elo1mpt2  14891
  Copyright terms: Public domain W3C validator