Theorem ello1mpt2 15568

Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ello1mpt.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ello1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ello1mpt2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝐶,𝑚,𝑥,𝑦   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1mpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1mpt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		ello1mpt.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	ello1mpt 15567	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
4		ello1d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		rexico 15402	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
6	1, 4, 5	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
7	6	rexbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
8		rexcom 3296	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚))
9		rexcom 3296	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚))
10	7, 8, 9	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
11	3, 10	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321   ≤ cle 11325  [,)cico 13409  ≤𝑂(1)clo1 15533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ico 13413  df-lo1 15537

This theorem is referenced by:  lo1bdd2  15570  elo1mpt2  15581