Theorem ello1mpt2 15540

Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ello1mpt.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ello1mpt.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ello1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ello1mpt2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝐶,𝑚,𝑥,𝑦   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ello1mpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1mpt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		ello1mpt.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	ello1mpt 15539	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
4		ello1d.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		rexico 15372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
6	1, 4, 5	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
7	6	rexbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
8		rexcom 3290	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚))
9		rexcom 3290	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚))
10	7, 8, 9	3bitr4g 316	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
11	3, 10	bitr4d 284	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  +∞cpnf 11207   ≤ cle 11211  [,)cico 13345  ≤𝑂(1)clo1 15505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-ico 13349  df-lo1 15509

This theorem is referenced by:  lo1bdd2  15542  elo1mpt2  15553