MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elo1mpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elo1mpt2 15478
Description: Elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
elo1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
elo1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
elo1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
elo1mpt2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝐶,𝑚,𝑥,𝑦   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem elo1mpt2
StepHypRef Expression
1 elo1mpt.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21lo1o12 15476 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
3 elo1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
41abscld 15382 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5 elo1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
63, 4, 5ello1mpt2 15465 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
72, 6bitrd 278 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  wss 3948   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7408  cc 11107  cr 11108  +∞cpnf 11244  cle 11248  [,)cico 13325  abscabs 15180  𝑂(1)co1 15429  ≤𝑂(1)clo1 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-o1 15433  df-lo1 15434
This theorem is referenced by:  o1fsum  15758
  Copyright terms: Public domain W3C validator