MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexico 15300
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 pnfxr 11268 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
3 icossre 13405 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
41, 2, 3sylancl 587 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
5 ssrexv 4052 . . 3 ((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
64, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
7 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
8 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
97, 8ifcld 4575 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ)
10 max1 13164 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))
1110adantll 713 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))
12 elicopnf 13422 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))))
1312ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))))
149, 11, 13mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞))
15 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
17 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1817sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
19 maxle 13170 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵𝑘𝑗𝑘)))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵𝑘𝑗𝑘)))
21 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑘𝑗𝑘) → 𝑗𝑘)
2220, 21syl6bi 253 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝑗𝑘))
2322imim1d 82 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘𝜑) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)))
2423ralimdva 3168 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∀𝑘𝐴 (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)))
25 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑛 = if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) → (𝑛𝑘 ↔ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘))
2625rspceaimv 3618 . . . . 5 ((if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ ∀𝑘𝐴 (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑))
2714, 24, 26syl6an 683 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑)))
2827rexlimdva 3156 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑)))
29 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑘𝑗𝑘))
3029imbi1d 342 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛𝑘𝜑) ↔ (𝑗𝑘𝜑)))
3130ralbidv 3178 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
3231cbvrexvw 3236 . . 3 (∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑))
3328, 32imbitrdi 250 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
346, 33impbid 211 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cr 11109  +∞cpnf 11245  *cxr 11247  cle 11249  [,)cico 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330
This theorem is referenced by:  rlimi2  15458  ello1mpt2  15466  dvfsumrlim  25548
  Copyright terms: Public domain W3C validator