MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexico 15392
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 pnfxr 11315 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
3 icossre 13468 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
41, 2, 3sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
5 ssrexv 4053 . . 3 ((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
64, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
7 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
8 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
97, 8ifcld 4572 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ)
10 max1 13227 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))
1110adantll 714 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))
12 elicopnf 13485 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))))
1312ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))))
149, 11, 13mpbir2and 713 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞))
15 simpllr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
17 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1817sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
19 maxle 13233 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵𝑘𝑗𝑘)))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵𝑘𝑗𝑘)))
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑘𝑗𝑘) → 𝑗𝑘)
2220, 21biimtrdi 253 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝑗𝑘))
2322imim1d 82 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘𝜑) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)))
2423ralimdva 3167 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∀𝑘𝐴 (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)))
25 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑛 = if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) → (𝑛𝑘 ↔ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘))
2625rspceaimv 3628 . . . . 5 ((if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ ∀𝑘𝐴 (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑))
2714, 24, 26syl6an 684 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑)))
2827rexlimdva 3155 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑)))
29 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑘𝑗𝑘))
3029imbi1d 341 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛𝑘𝜑) ↔ (𝑗𝑘𝜑)))
3130ralbidv 3178 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
3231cbvrexvw 3238 . . 3 (∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑))
3328, 32imbitrdi 251 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
346, 33impbid 212 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  [,)cico 13389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393
This theorem is referenced by:  rlimi2  15550  ello1mpt2  15558  dvfsumrlim  26072
  Copyright terms: Public domain W3C validator