MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexico 15297
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 pnfxr 11265 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
3 icossre 13402 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
41, 2, 3sylancl 585 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
5 ssrexv 4043 . . 3 ((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
64, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
7 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
8 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
97, 8ifcld 4566 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ)
10 max1 13161 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))
1110adantll 711 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))
12 elicopnf 13419 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))))
1312ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))))
149, 11, 13mpbir2and 710 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞))
15 simpllr 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
17 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1817sselda 3974 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
19 maxle 13167 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵𝑘𝑗𝑘)))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵𝑘𝑗𝑘)))
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑘𝑗𝑘) → 𝑗𝑘)
2220, 21syl6bi 253 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝑗𝑘))
2322imim1d 82 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘𝜑) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)))
2423ralimdva 3159 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∀𝑘𝐴 (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)))
25 breq1 5141 . . . . . 6 (𝑛 = if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) → (𝑛𝑘 ↔ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘))
2625rspceaimv 3609 . . . . 5 ((if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ ∀𝑘𝐴 (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑))
2714, 24, 26syl6an 681 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑)))
2827rexlimdva 3147 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑)))
29 breq1 5141 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑘𝑗𝑘))
3029imbi1d 341 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛𝑘𝜑) ↔ (𝑗𝑘𝜑)))
3130ralbidv 3169 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
3231cbvrexvw 3227 . . 3 (∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑))
3328, 32imbitrdi 250 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
346, 33impbid 211 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  wss 3940  ifcif 4520   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  cr 11105  +∞cpnf 11242  *cxr 11244  cle 11246  [,)cico 13323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-ico 13327
This theorem is referenced by:  rlimi2  15455  ello1mpt2  15463  dvfsumrlim  25888
  Copyright terms: Public domain W3C validator