MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bdd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1bdd2 14972
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval 𝐴 ∩ (-∞, 𝑦) by a function 𝑀(𝑦), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lo1bdd2.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lo1bdd2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1bdd2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1bdd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1bdd2.6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
Assertion
Ref Expression
lo1bdd2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem lo1bdd2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2 lo1bdd2.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 lo1bdd2.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 lo1bdd2.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ello1mpt2 14970 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛)))
61, 5mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))
7 elicopnf 12920 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)))
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)))
98biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦))
10 lo1bdd2.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
119, 10syldan 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) ∧ 𝑛𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
13 simplrl 777 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) ∧ ¬ 𝑛𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
1412, 13ifclda 4450 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) → if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ)
152ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1615sselda 3878 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
179simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
1916, 18ltnled 10866 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
20 lo1bdd2.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
2120expr 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
2221an32s 652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
239, 22syldanl 605 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
2423adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
25 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
2611ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
27 max2 12664 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
2825, 26, 27syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
293ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3011ad5ant12 756 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑛𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
3230, 31ifclda 4450 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ)
33 letr 10813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑀𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3429, 26, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑀𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3528, 34mpan2d 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑀𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3624, 35syld 47 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3719, 36sylbird 263 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑦𝑥𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
38 max1 12662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
3925, 26, 38syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
40 letr 10813 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4129, 25, 32, 40syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4239, 41mpan2d 694 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑛𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4337, 42jad 190 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦𝑥𝐵𝑛) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4443ralimdva 3091 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4544impr 458 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
46 brralrspcev 5091 . . . . . 6 ((if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
4714, 45, 46syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
4847expr 460 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚))
4948rexlimdva 3194 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚))
5049rexlimdva 3194 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚))
516, 50mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  wss 3844  ifcif 4415   class class class wbr 5031  cmpt 5111  (class class class)co 7171  cr 10615  +∞cpnf 10751   < clt 10754  cle 10755  [,)cico 12824  ≤𝑂(1)clo1 14935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-er 8321  df-pm 8441  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-ico 12828  df-lo1 14939
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14973  o1bdd2  14989
  Copyright terms: Public domain W3C validator