MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bdd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1bdd2 14463
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval 𝐴 ∩ (-∞, 𝑦) by a function 𝑀(𝑦), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lo1bdd2.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lo1bdd2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1bdd2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1bdd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1bdd2.6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
Assertion
Ref Expression
lo1bdd2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem lo1bdd2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2 lo1bdd2.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 lo1bdd2.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 lo1bdd2.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ello1mpt2 14461 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛)))
61, 5mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))
7 elicopnf 12475 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)))
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)))
98biimpa 462 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦))
10 lo1bdd2.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
119, 10syldan 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211ad2antrr 705 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) ∧ 𝑛𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
13 simplrl 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) ∧ ¬ 𝑛𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
1412, 13ifclda 4260 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) → if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ)
152ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1615sselda 3752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
179simpld 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
1916, 18ltnled 10390 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
20 lo1bdd2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
2120expr 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
2221an32s 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
2322ex 397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → (𝑥𝐴 → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀)))
249, 23syldan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → (𝑥𝐴 → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀)))
2524imp 393 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
2625adantlr 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵𝑀))
27 simplr 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
2811ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
29 max2 12223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
3027, 28, 29syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
31 simpll 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝜑)
3231, 3sylan 569 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3311ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
34 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑛𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
3533, 34ifclda 4260 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ)
36 letr 10337 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑀𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3732, 28, 35, 36syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑀𝑀 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3830, 37mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑀𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
3926, 38syld 47 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4019, 39sylbird 250 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑦𝑥𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
41 max1 12221 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
4227, 28, 41syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
43 letr 10337 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4432, 27, 35, 43syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4542, 44mpan2d 674 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑛𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4640, 45jad 175 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦𝑥𝐵𝑛) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4746ralimdva 3111 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
4847impr 442 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛))
49 breq2 4791 . . . . . . . 8 (𝑚 = if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) → (𝐵𝑚𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
5049ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑚 = if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑚 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)))
5150rspcev 3460 . . . . . 6 ((if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ if(𝑛𝑀, 𝑀, 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
5214, 48, 51syl2anc 573 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛))) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
5352expr 444 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚))
5453rexlimdva 3179 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚))
5554rexlimdva 3179 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐶[,)+∞)∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑛) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚))
566, 55mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  wss 3723  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  (class class class)co 6796  cr 10141  +∞cpnf 10277   < clt 10280  cle 10281  [,)cico 12382  ≤𝑂(1)clo1 14426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-ico 12386  df-lo1 14430
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14464  o1bdd2  14480
  Copyright terms: Public domain W3C validator