MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efopn 26714
Description: The exponential map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
efopn (𝑆𝐽 → (exp “ 𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem efopn
Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efopn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 24818 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3 toponss 22948 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆 ⊆ ℂ)
42, 3mpan 690 . . . . . 6 (𝑆𝐽𝑆 ⊆ ℂ)
54sselda 3994 . . . . 5 ((𝑆𝐽𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
6 cnxmet 24808 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
7 pirp 26517 . . . . . . 7 π ∈ ℝ+
81cnfldtopn 24817 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
98mopni3 24522 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆𝐽𝑥𝑆) ∧ π ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < π ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆))
107, 9mpan2 691 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆𝐽𝑥𝑆) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < π ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆))
116, 10mp3an1 1447 . . . . 5 ((𝑆𝐽𝑥𝑆) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < π ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆))
12 imass2 6122 . . . . . . . 8 ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆 → (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆))
13 imassrn 6090 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ ran exp
14 eff 16113 . . . . . . . . . . . . . . 15 exp:ℂ⟶ℂ
15 frn 6743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (exp:ℂ⟶ℂ → ran exp ⊆ ℂ)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ran exp ⊆ ℂ
1713, 16sstri 4004 . . . . . . . . . . . . 13 (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ ℂ
18 sseqin2 4230 . . . . . . . . . . . . 13 ((exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) = (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
1917, 18mpbi 230 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∩ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) = (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
20 rpxr 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
21 blssm 24443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
226, 21mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
2320, 22sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
2423ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
2524sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑦 ∈ ℂ)
26 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2725, 26subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
2827subid1d 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑦𝑥) − 0) = (𝑦𝑥))
2928fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (abs‘((𝑦𝑥) − 0)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
30 0cn 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℂ
31 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3231cnmetdval 24806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑦𝑥) − 0)))
3327, 30, 32sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑦𝑥) − 0)))
3431cnmetdval 24806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑦𝑥)))
3525, 26, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑦𝑥)))
3629, 33, 353eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) = (𝑦(abs ∘ − )𝑥))
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
386a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
39 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℝ+)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
4140rpxrd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
42 elbl3 24417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟))
4338, 41, 26, 25, 42syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟))
4437, 43mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟)
4536, 44eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) < 𝑟)
46 0cnd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 0 ∈ ℂ)
47 elbl3 24417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℂ)) → ((𝑦𝑥) ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) < 𝑟))
4838, 41, 46, 27, 47syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑦𝑥) ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) < 𝑟))
4945, 48mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦𝑥) ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
50 efsub 16132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑦𝑥)) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)))
5125, 26, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (exp‘(𝑦𝑥)) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)))
52 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑦𝑥) → ((exp‘𝑤) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)) ↔ (exp‘(𝑦𝑥)) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥))))
5352rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦𝑥) ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (exp‘(𝑦𝑥)) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)))
5449, 51, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)))
55 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((exp‘𝑦) = 𝑧 → ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)) = (𝑧 / (exp‘𝑥)))
5655eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((exp‘𝑦) = 𝑧 → ((exp‘𝑤) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)) ↔ (exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
5756rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘𝑦) = 𝑧 → (∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)) ↔ ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
5854, 57syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((exp‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
5958rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
60 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥)) ↔ (𝑧 / (exp‘𝑥)) = (exp‘𝑤))
61 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑧 ∈ ℂ)
62 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑥 ∈ ℂ)
63 efcl 16114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
6539rpxrd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℝ*)
66 blssm 24443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
676, 30, 65, 66mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
6867sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑤 ∈ ℂ)
69 efcl 16114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
71 efne0 16129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7262, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7361, 64, 70, 72divmuld 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑧 / (exp‘𝑥)) = (exp‘𝑤) ↔ ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) = 𝑧))
7460, 73bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥)) ↔ ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) = 𝑧))
7562, 68pncan2d 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤) − 𝑥) = 𝑤)
7668subid1d 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
7775, 76eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤) − 𝑥) = (𝑤 − 0))
7877fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (abs‘((𝑥 + 𝑤) − 𝑥)) = (abs‘(𝑤 − 0)))
7962, 68addcld 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑥 + 𝑤) ∈ ℂ)
8031cnmetdval 24806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 + 𝑤) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘((𝑥 + 𝑤) − 𝑥)))
8179, 62, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘((𝑥 + 𝑤) − 𝑥)))
8231cnmetdval 24806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑤(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑤 − 0)))
8368, 30, 82sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑤(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑤 − 0)))
8478, 81, 833eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) = (𝑤(abs ∘ − )0))
85 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
866a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
8739adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
8887rpxrd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
89 0cnd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 0 ∈ ℂ)
90 elbl3 24417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑤(abs ∘ − )0) < 𝑟))
9186, 88, 89, 68, 90syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑤(abs ∘ − )0) < 𝑟))
9285, 91mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑤(abs ∘ − )0) < 𝑟)
9384, 92eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟)
94 elbl3 24417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝑤) ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑤) ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟))
9586, 88, 62, 79, 94syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤) ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟))
9693, 95mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑥 + 𝑤) ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
97 efadd 16126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + 𝑤)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)))
9862, 68, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (exp‘(𝑥 + 𝑤)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)))
99 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 + 𝑤) → ((exp‘𝑦) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) ↔ (exp‘(𝑥 + 𝑤)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤))))
10099rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 + 𝑤) ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (exp‘(𝑥 + 𝑤)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤))) → ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)))
10196, 98, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)))
102 eqeq2 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) = 𝑧 → ((exp‘𝑦) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) ↔ (exp‘𝑦) = 𝑧))
103102rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
104101, 103syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
10574, 104sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
106105rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
10759, 106impbid 212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
108 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
10914, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 exp Fn ℂ
110 fvelimab 6980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((exp Fn ℂ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
111109, 24, 110sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
112 fvelimab 6980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((exp Fn ℂ ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ) → ((𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
113109, 67, 112sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
114107, 111, 1133bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
115114rabbi2dva 4233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (ℂ ∩ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))})
11619, 115eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))})
117 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥)))
118117mptpreima 6259 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) “ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))}
119116, 118eqtr4di 2792 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) “ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
12063ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
12171ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
122117divccncf 24945 . . . . . . . . . . . . 13 (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
123120, 121, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1241cncfcn1 24950 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽)
125123, 124eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1261efopnlem2 26713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑟 < π) → (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽)
127126adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽)
128 cnima 23288 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) “ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) ∈ 𝐽)
129125, 127, 128syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) “ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) ∈ 𝐽)
130119, 129eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽)
131 blcntr 24438 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
1326, 131mp3an1 1447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
133 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . 13 (exp:ℂ⟶ℂ → Fun exp)
13414, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun exp
13514fdmi 6747 . . . . . . . . . . . . 13 dom exp = ℂ
13623, 135sseqtrrdi 4046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ dom exp)
137 funfvima2 7250 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun exp ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ dom exp) → (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
138134, 136, 137sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
139132, 138mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
140139adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
141 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
142 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆) ↔ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆)))
143141, 142anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∧ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆))))
144143rspcev 3621 . . . . . . . . . 10 (((exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽 ∧ ((exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∧ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆))) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)))
145144expr 456 . . . . . . . . 9 (((exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽 ∧ (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) → ((exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
146130, 140, 145syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → ((exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
14712, 146syl5 34 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆 → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
148147expimpd 453 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 < π ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
149148rexlimdva 3152 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < π ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
1505, 11, 149sylc 65 . . . 4 ((𝑆𝐽𝑥𝑆) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)))
151150ralrimiva 3143 . . 3 (𝑆𝐽 → ∀𝑥𝑆𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)))
152 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑧 = (exp‘𝑥) → (𝑧𝑦 ↔ (exp‘𝑥) ∈ 𝑦))
153152anbi1d 631 . . . . . 6 (𝑧 = (exp‘𝑥) → ((𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
154153rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑧 = (exp‘𝑥) → (∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)) ↔ ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
155154ralima 7256 . . . 4 ((exp Fn ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (∀𝑧 ∈ (exp “ 𝑆)∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
156109, 4, 155sylancr 587 . . 3 (𝑆𝐽 → (∀𝑧 ∈ (exp “ 𝑆)∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
157151, 156mpbird 257 . 2 (𝑆𝐽 → ∀𝑧 ∈ (exp “ 𝑆)∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)))
1581cnfldtop 24819 . . 3 𝐽 ∈ Top
159 eltop2 22997 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((exp “ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (exp “ 𝑆)∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
160158, 159ax-mp 5 . 2 ((exp “ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (exp “ 𝑆)∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)))
161157, 160sylibr 234 1 (𝑆𝐽 → (exp “ 𝑆) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691  ccom 5692  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cmin 11489   / cdiv 11917  +crp 13031  abscabs 15269  expce 16093  πcpi 16098  TopOpenctopn 17467  ∞Metcxmet 21366  ballcbl 21368  fldccnfld 21381  Topctop 22914  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247  cnccncf 24915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator