Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efopn 25247
 Description: The exponential map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
efopn (𝑆𝐽 → (exp “ 𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem efopn
Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efopn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 23386 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3 toponss 21530 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆 ⊆ ℂ)
42, 3mpan 689 . . . . . 6 (𝑆𝐽𝑆 ⊆ ℂ)
54sselda 3942 . . . . 5 ((𝑆𝐽𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
6 cnxmet 23376 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
7 pirp 25052 . . . . . . 7 π ∈ ℝ+
81cnfldtopn 23385 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
98mopni3 23099 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆𝐽𝑥𝑆) ∧ π ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < π ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆))
107, 9mpan2 690 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆𝐽𝑥𝑆) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < π ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆))
116, 10mp3an1 1445 . . . . 5 ((𝑆𝐽𝑥𝑆) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < π ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆))
12 imass2 5943 . . . . . . . 8 ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆 → (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆))
13 imassrn 5918 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ ran exp
14 eff 15426 . . . . . . . . . . . . . . 15 exp:ℂ⟶ℂ
15 frn 6500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (exp:ℂ⟶ℂ → ran exp ⊆ ℂ)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ran exp ⊆ ℂ
1713, 16sstri 3951 . . . . . . . . . . . . 13 (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ ℂ
18 sseqin2 4166 . . . . . . . . . . . . 13 ((exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) = (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
1917, 18mpbi 233 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∩ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) = (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
20 rpxr 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
21 blssm 23023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
226, 21mp3an1 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
2320, 22sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
2524sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑦 ∈ ℂ)
26 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2725, 26subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
2827subid1d 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑦𝑥) − 0) = (𝑦𝑥))
2928fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (abs‘((𝑦𝑥) − 0)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
30 0cn 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℂ
31 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3231cnmetdval 23374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑦𝑥) − 0)))
3327, 30, 32sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑦𝑥) − 0)))
3431cnmetdval 23374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑦𝑥)))
3525, 26, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑦𝑥)))
3629, 33, 353eqtr4d 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) = (𝑦(abs ∘ − )𝑥))
37 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
386a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
39 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℝ+)
4039adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
4140rpxrd 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
42 elbl3 22997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟))
4338, 41, 26, 25, 42syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟))
4437, 43mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟)
4536, 44eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) < 𝑟)
46 0cnd 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 0 ∈ ℂ)
47 elbl3 22997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℂ)) → ((𝑦𝑥) ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) < 𝑟))
4838, 41, 46, 27, 47syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑦𝑥) ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑦𝑥)(abs ∘ − )0) < 𝑟))
4945, 48mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦𝑥) ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
50 efsub 15444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑦𝑥)) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)))
5125, 26, 50syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (exp‘(𝑦𝑥)) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)))
52 fveqeq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑦𝑥) → ((exp‘𝑤) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)) ↔ (exp‘(𝑦𝑥)) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥))))
5352rspcev 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦𝑥) ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (exp‘(𝑦𝑥)) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)))
5449, 51, 53syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)))
55 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((exp‘𝑦) = 𝑧 → ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)) = (𝑧 / (exp‘𝑥)))
5655eqeq2d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((exp‘𝑦) = 𝑧 → ((exp‘𝑤) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)) ↔ (exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
5756rexbidv 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘𝑦) = 𝑧 → (∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = ((exp‘𝑦) / (exp‘𝑥)) ↔ ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
5854, 57syl5ibcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((exp‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
5958rexlimdva 3270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
60 eqcom 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥)) ↔ (𝑧 / (exp‘𝑥)) = (exp‘𝑤))
61 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑧 ∈ ℂ)
62 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑥 ∈ ℂ)
63 efcl 15427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
6539rpxrd 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑟 ∈ ℝ*)
66 blssm 23023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
676, 30, 65, 66mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ)
6867sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑤 ∈ ℂ)
69 efcl 15427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
71 efne0 15441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7262, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
7361, 64, 70, 72divmuld 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑧 / (exp‘𝑥)) = (exp‘𝑤) ↔ ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) = 𝑧))
7460, 73syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥)) ↔ ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) = 𝑧))
7562, 68pncan2d 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤) − 𝑥) = 𝑤)
7668subid1d 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
7775, 76eqtr4d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤) − 𝑥) = (𝑤 − 0))
7877fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (abs‘((𝑥 + 𝑤) − 𝑥)) = (abs‘(𝑤 − 0)))
7962, 68addcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑥 + 𝑤) ∈ ℂ)
8031cnmetdval 23374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 + 𝑤) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘((𝑥 + 𝑤) − 𝑥)))
8179, 62, 80syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘((𝑥 + 𝑤) − 𝑥)))
8231cnmetdval 23374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑤(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑤 − 0)))
8368, 30, 82sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑤(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑤 − 0)))
8478, 81, 833eqtr4d 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) = (𝑤(abs ∘ − )0))
85 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
866a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
8739adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
8887rpxrd 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
89 0cnd 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → 0 ∈ ℂ)
90 elbl3 22997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑤(abs ∘ − )0) < 𝑟))
9186, 88, 89, 68, 90syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ (𝑤(abs ∘ − )0) < 𝑟))
9285, 91mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑤(abs ∘ − )0) < 𝑟)
9384, 92eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟)
94 elbl3 22997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝑤) ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑤) ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟))
9586, 88, 62, 79, 94syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((𝑥 + 𝑤) ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑥 + 𝑤)(abs ∘ − )𝑥) < 𝑟))
9693, 95mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑥 + 𝑤) ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
97 efadd 15438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + 𝑤)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)))
9862, 68, 97syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (exp‘(𝑥 + 𝑤)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)))
99 fveqeq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 + 𝑤) → ((exp‘𝑦) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) ↔ (exp‘(𝑥 + 𝑤)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤))))
10099rspcev 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 + 𝑤) ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ (exp‘(𝑥 + 𝑤)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤))) → ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)))
10196, 98, 100syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)))
102 eqeq2 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) = 𝑧 → ((exp‘𝑦) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) ↔ (exp‘𝑦) = 𝑧))
103102rexbidv 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
104101, 103syl5ibcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (((exp‘𝑥) · (exp‘𝑤)) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
10574, 104sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
106105rexlimdva 3270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
10759, 106impbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
108 ffn 6494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
10914, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 exp Fn ℂ
110 fvelimab 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((exp Fn ℂ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
111109, 24, 110sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑦) = 𝑧))
112 fvelimab 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((exp Fn ℂ ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ ℂ) → ((𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
113109, 67, 112sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ ∃𝑤 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)(exp‘𝑤) = (𝑧 / (exp‘𝑥))))
114107, 111, 1133bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ↔ (𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
115114rabbi2dva 4168 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (ℂ ∩ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))})
11619, 115syl5eqr 2871 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))})
117 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥)))
118117mptpreima 6070 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) “ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (𝑧 / (exp‘𝑥)) ∈ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))}
119116, 118eqtr4di 2875 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) “ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
12063ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
12171ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp‘𝑥) ≠ 0)
122117divccncf 23509 . . . . . . . . . . . . 13 (((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑥) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
123120, 121, 122syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1241cncfcn1 23514 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽)
125123, 124eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1261efopnlem2 25246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑟 < π) → (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽)
127126adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽)
128 cnima 21868 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) “ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) ∈ 𝐽)
129125, 127, 128syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / (exp‘𝑥))) “ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) ∈ 𝐽)
130119, 129eqeltrd 2914 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽)
131 blcntr 23018 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
1326, 131mp3an1 1445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
133 ffun 6497 . . . . . . . . . . . . 13 (exp:ℂ⟶ℂ → Fun exp)
13414, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun exp
13514fdmi 6505 . . . . . . . . . . . . 13 dom exp = ℂ
13623, 135sseqtrrdi 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ dom exp)
137 funfvima2 6976 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun exp ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ dom exp) → (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
138134, 136, 137sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) → (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
139132, 138mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
140139adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
141 eleq2 2902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))))
142 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆) ↔ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆)))
143141, 142anbi12d 633 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → (((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∧ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆))))
144143rspcev 3598 . . . . . . . . . 10 (((exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽 ∧ ((exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∧ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆))) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)))
145144expr 460 . . . . . . . . 9 (((exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ∈ 𝐽 ∧ (exp‘𝑥) ∈ (exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))) → ((exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
146130, 140, 145syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → ((exp “ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) ⊆ (exp “ 𝑆) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
14712, 146syl5 34 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 < π) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆 → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
148147expimpd 457 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 < π ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
149148rexlimdva 3270 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑟 < π ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ⊆ 𝑆) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
1505, 11, 149sylc 65 . . . 4 ((𝑆𝐽𝑥𝑆) → ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)))
151150ralrimiva 3174 . . 3 (𝑆𝐽 → ∀𝑥𝑆𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)))
152 eleq1 2901 . . . . . . 7 (𝑧 = (exp‘𝑥) → (𝑧𝑦 ↔ (exp‘𝑥) ∈ 𝑦))
153152anbi1d 632 . . . . . 6 (𝑧 = (exp‘𝑥) → ((𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)) ↔ ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
154153rexbidv 3283 . . . . 5 (𝑧 = (exp‘𝑥) → (∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)) ↔ ∃𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
155154ralima 6983 . . . 4 ((exp Fn ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (∀𝑧 ∈ (exp “ 𝑆)∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
156109, 4, 155sylancr 590 . . 3 (𝑆𝐽 → (∀𝑧 ∈ (exp “ 𝑆)∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝐽 ((exp‘𝑥) ∈ 𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
157151, 156mpbird 260 . 2 (𝑆𝐽 → ∀𝑧 ∈ (exp “ 𝑆)∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)))
1581cnfldtop 23387 . . 3 𝐽 ∈ Top
159 eltop2 21578 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((exp “ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (exp “ 𝑆)∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆))))
160158, 159ax-mp 5 . 2 ((exp “ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (exp “ 𝑆)∃𝑦𝐽 (𝑧𝑦𝑦 ⊆ (exp “ 𝑆)))
161157, 160sylibr 237 1 (𝑆𝐽 → (exp “ 𝑆) ∈ 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∀wral 3130  ∃wrex 3131  {crab 3134   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ◡ccnv 5531  dom cdm 5532  ran crn 5533   “ cima 5535   ∘ ccom 5536  Fun wfun 6328   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℝ+crp 12377  abscabs 14584  expce 15406  πcpi 15411  TopOpenctopn 16686  ∞Metcxmet 20074  ballcbl 20076  ℂfldccnfld 20089  Topctop 21496  TopOnctopon 21513   Cn ccn 21827  –cn→ccncf 23479 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-tan 15416  df-pi 15417  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator