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Theorem llycmpkgen2 23046
Description: A locally compact space is compactly generated. (This variant of llycmpkgen 23048 uses the weaker definition of locally compact, "every point has a compact neighborhood", instead of "every point has a local base of compact neighborhoods".) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iskgen3.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
llycmpkgen2.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
llycmpkgen2.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
llycmpkgen2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘˜Gen)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐽   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(π‘₯)
Proof of Theorem llycmpkgen2
Dummy variables 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llycmpkgen2.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 elssuni 4941 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
32adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
4 iskgen3.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = βˆͺ 𝐽
54kgenuni 23035 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
61, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
76adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ 𝑋 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
83, 7sseqtrrd 4023 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑋)
98sselda 3982 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
10 llycmpkgen2.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
1110adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
129, 11syldan 592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})(𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
131ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
14 difss 4131 . . . . . . . . . 10 (𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒)) βŠ† 𝑋
154ntropn 22545 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒)) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∈ 𝐽)
1613, 14, 15sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∈ 𝐽)
17 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}))
184neii1 22602 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
1913, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘˜ βŠ† 𝑋)
204ntropn 22545 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜) ∈ 𝐽)
2113, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜) ∈ 𝐽)
22 inopn 22393 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∈ 𝐽 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜) ∈ 𝐽) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) ∈ 𝐽)
2313, 16, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) ∈ 𝐽)
24 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑒)
254ntrss2 22553 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜) βŠ† π‘˜)
2613, 19, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜) βŠ† π‘˜)
279adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2827snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝑋)
294neiint 22600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ {π‘₯} βŠ† 𝑋 ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ↔ {π‘₯} βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)))
3013, 28, 19, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ↔ {π‘₯} βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)))
3117, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ {π‘₯} βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜))
32 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘₯ ∈ V
3332snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜) ↔ {π‘₯} βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜))
3431, 33sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜))
3526, 34sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ π‘˜)
3624, 35elind 4194 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ π‘˜))
37 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
38 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)
39 kgeni 23033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp) β†’ (𝑒 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4037, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑒 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
41 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘˜ ∈ V
42 resttop 22656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘˜ ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
4313, 41, 42sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top)
44 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∩ π‘˜) βŠ† π‘˜
454restuni 22658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋) β†’ π‘˜ = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4613, 19, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘˜ = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
4744, 46sseqtrid 4034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑒 ∩ π‘˜) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘˜))
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘˜) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘˜)
4948isopn3 22562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Top ∧ (𝑒 ∩ π‘˜) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) β†’ ((𝑒 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ↔ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘˜))β€˜(𝑒 ∩ π‘˜)) = (𝑒 ∩ π‘˜)))
5043, 47, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((𝑒 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ↔ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘˜))β€˜(𝑒 ∩ π‘˜)) = (𝑒 ∩ π‘˜)))
5140, 50mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘˜))β€˜(𝑒 ∩ π‘˜)) = (𝑒 ∩ π‘˜))
5244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑒 ∩ π‘˜) βŠ† π‘˜)
53 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 β†Ύt π‘˜) = (𝐽 β†Ύt π‘˜)
544, 53restntr 22678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘˜ βŠ† 𝑋 ∧ (𝑒 ∩ π‘˜) βŠ† π‘˜) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘˜))β€˜(𝑒 ∩ π‘˜)) = (((intβ€˜π½)β€˜((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘˜))) ∩ π‘˜))
5513, 19, 52, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘˜))β€˜(𝑒 ∩ π‘˜)) = (((intβ€˜π½)β€˜((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘˜))) ∩ π‘˜))
5651, 55eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑒 ∩ π‘˜) = (((intβ€˜π½)β€˜((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘˜))) ∩ π‘˜))
5736, 56eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜π½)β€˜((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘˜))) ∩ π‘˜))
5857elin1d 4198 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π½)β€˜((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘˜))))
59 undif3 4290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘˜)) = (((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ 𝑋) βˆ– (π‘˜ βˆ– (𝑒 ∩ π‘˜)))
60 incom 4201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∩ π‘˜) = (π‘˜ ∩ 𝑒)
6160difeq2i 4119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ βˆ– (𝑒 ∩ π‘˜)) = (π‘˜ βˆ– (π‘˜ ∩ 𝑒))
62 difin 4261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ βˆ– (π‘˜ ∩ 𝑒)) = (π‘˜ βˆ– 𝑒)
6361, 62eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ βˆ– (𝑒 ∩ π‘˜)) = (π‘˜ βˆ– 𝑒)
6463difeq2i 4119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ 𝑋) βˆ– (π‘˜ βˆ– (𝑒 ∩ π‘˜))) = (((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ 𝑋) βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))
6559, 64eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘˜)) = (((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ 𝑋) βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))
6644, 19sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (𝑒 ∩ π‘˜) βŠ† 𝑋)
67 ssequn1 4180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∩ π‘˜) βŠ† 𝑋 ↔ ((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ 𝑋) = 𝑋)
6866, 67sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ 𝑋) = 𝑋)
6968difeq1d 4121 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ 𝑋) βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒)) = (𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒)))
7065, 69eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘˜)) = (𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒)))
7170fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((𝑒 ∩ π‘˜) βˆͺ (𝑋 βˆ– π‘˜))) = ((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))))
7258, 71eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))))
7372, 34elind 4194 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)))
74 sslin 4234 . . . . . . . . . 10 (((intβ€˜π½)β€˜π‘˜) βŠ† π‘˜ β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ π‘˜))
7526, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ π‘˜))
764ntrss2 22553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒)) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) βŠ† (𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒)))
7713, 14, 76sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) βŠ† (𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒)))
7877difss2d 4134 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) βŠ† 𝑋)
79 reldisj 4451 . . . . . . . . . . . 12 (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) βŠ† 𝑋 β†’ ((((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ (π‘˜ βˆ– 𝑒)) = βˆ… ↔ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) βŠ† (𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ ((((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ (π‘˜ βˆ– 𝑒)) = βˆ… ↔ ((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) βŠ† (𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))))
8177, 80mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ (π‘˜ βˆ– 𝑒)) = βˆ…)
82 inssdif0 4369 . . . . . . . . . 10 ((((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ π‘˜) βŠ† 𝑒 ↔ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ (π‘˜ βˆ– 𝑒)) = βˆ…)
8381, 82sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ π‘˜) βŠ† 𝑒)
8475, 83sstrd 3992 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) βŠ† 𝑒)
85 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ π‘₯ ∈ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜))))
86 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑒 ↔ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) βŠ† 𝑒))
8785, 86anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ↔ (π‘₯ ∈ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) ∧ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) βŠ† 𝑒)))
8887rspcev 3613 . . . . . . . 8 (((((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) ∧ (((intβ€˜π½)β€˜(𝑋 βˆ– (π‘˜ βˆ– 𝑒))) ∩ ((intβ€˜π½)β€˜π‘˜)) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒))
8923, 73, 84, 88syl12anc 836 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) ∧ (π‘˜ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒))
9012, 89rexlimddv 3162 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒))
9190ralrimiva 3147 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒))
9291ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒)))
93 eltop2 22470 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑒 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒)))
941, 93syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒)))
9592, 94sylibrd 259 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽))
9695ssrdv 3988 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽)
97 iskgen2 23044 . 2 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜π½) βŠ† 𝐽))
981, 96, 97sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ran π‘˜Gen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  ran crn 5677  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   β†Ύt crest 17363  Topctop 22387  intcnt 22513  neicnei 22593  Compccmp 22882  π‘˜Genckgen 23029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-en 8937  df-fin 8940  df-fi 9403  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-ntr 22516  df-nei 22594  df-cmp 22883  df-kgen 23030
This theorem is referenced by:  cmpkgen  23047  llycmpkgen  23048
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