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Theorem zdis 24719
Description: The integers are a discrete set in the topology on β„‚. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
zdis (𝐽 β†Ύt β„€) = 𝒫 β„€

Proof of Theorem zdis
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 17404 . 2 (𝐽 β†Ύt β„€) βŠ† 𝒫 β„€
2 elpwi 4605 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ β†’ π‘₯ βŠ† β„€)
32sselda 3978 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
43zcnd 12689 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
5 cnxmet 24676 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
6 1xr 11295 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
7 recld2.1 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
87cnfldtopn 24685 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
98blopn 24396 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∈ 𝐽)
105, 6, 9mp3an13 1449 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∈ 𝐽)
117cnfldtop 24687 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
12 zex 12589 . . . . . . . 8 β„€ ∈ V
13 elrestr 17401 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ β„€ ∈ V ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∈ 𝐽) β†’ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€))
1411, 12, 13mp3an12 1448 . . . . . . 7 ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∈ 𝐽 β†’ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€))
154, 10, 143syl 18 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€))
16 1rp 13002 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
17 blcntr 24306 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
185, 16, 17mp3an13 1449 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
194, 18syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
2019, 3elind 4190 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€))
214adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€))
2322elin2d 4195 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
2423zcnd 12689 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
253adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
2625, 23zsubcld 12693 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ β„€)
2726zcnd 12689 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
28 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2928cnmetdval 24674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
3021, 24, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
3122elin1d 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
32 elbl2 24283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 1))
335, 6, 32mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 1))
3421, 24, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 1))
3531, 34mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 1)
3630, 35eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 1)
37 nn0abscl 15283 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ β„€ β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ β„•0)
38 nn0lt10b 12646 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ β„•0 β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 1 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) = 0))
3926, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 1 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) = 0))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) = 0)
4127, 40abs00d 15417 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = 0)
4221, 24, 41subeq0d 11601 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑦 = 𝑧)
43 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
4442, 43eqeltrrd 2829 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑧 ∈ π‘₯)
4544ex 412 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) β†’ 𝑧 ∈ π‘₯))
4645ssrdv 3984 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) βŠ† π‘₯)
47 eleq2 2817 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)))
48 sseq1 4003 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) β†’ (𝑧 βŠ† π‘₯ ↔ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) βŠ† π‘₯))
4947, 48anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∧ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) βŠ† π‘₯)))
5049rspcev 3607 . . . . . 6 ((((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∧ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) βŠ† π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
5115, 20, 46, 50syl12anc 836 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
5251ralrimiva 3141 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
53 resttop 23051 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ β„€ ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt β„€) ∈ Top)
5411, 12, 53mp2an 691 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt β„€) ∈ Top
55 eltop2 22865 . . . . 5 ((𝐽 β†Ύt β„€) ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)))
5654, 55ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
5752, 56sylibr 233 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ β†’ π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€))
5857ssriv 3982 . 2 𝒫 β„€ βŠ† (𝐽 β†Ύt β„€)
591, 58eqssi 3994 1 (𝐽 β†Ύt β„€) = 𝒫 β„€
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598   class class class wbr 5142   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131  β„*cxr 11269   < clt 11270   βˆ’ cmin 11466  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„+crp 12998  abscabs 15205   β†Ύt crest 17393  TopOpenctopn 17394  βˆžMetcxmet 21251  ballcbl 21253  β„‚fldccnfld 21266  Topctop 22782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-fz 13509  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-rest 17395  df-topn 17396  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-xms 24213  df-ms 24214
This theorem is referenced by:  sszcld  24720
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