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Theorem zdis 23027
 Description: The integers are a discrete set in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
zdis (𝐽t ℤ) = 𝒫 ℤ

Proof of Theorem zdis
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 16478 . 2 (𝐽t ℤ) ⊆ 𝒫 ℤ
2 elpwi 4388 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ⊆ ℤ)
32sselda 3820 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℤ)
43zcnd 11835 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℂ)
5 cnxmet 22984 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
6 1rp 12141 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
7 rpxr 12148 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
9 recld2.1 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
109cnfldtopn 22993 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1110blopn 22713 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
125, 8, 11mp3an13 1525 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
139cnfldtop 22995 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
14 zex 11737 . . . . . . . 8 ℤ ∈ V
15 elrestr 16475 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
1613, 14, 15mp3an12 1524 . . . . . . 7 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽 → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
174, 12, 163syl 18 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
18 blcntr 22626 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
195, 6, 18mp3an13 1525 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
204, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
2120, 3elind 4020 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
224adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
23 inss2 4053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ ℤ
24 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
2523, 24sseldi 3818 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
2625zcnd 11835 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
273adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2827, 25zsubcld 11839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
2928zcnd 11835 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
30 eqid 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3130cnmetdval 22982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3222, 26, 31syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
33 inss1 4052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1)
3433, 24sseldi 3818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
35 elbl2 22603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
365, 8, 35mpanl12 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
3722, 26, 36syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
3834, 37mpbid 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1)
3932, 38eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) < 1)
40 nn0abscl 14459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑧) ∈ ℤ → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℕ0)
41 nn0lt10b 11791 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝑦𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) = 0))
4228, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → ((abs‘(𝑦𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) = 0))
4339, 42mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) = 0)
4429, 43abs00d 14593 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) = 0)
4522, 26, 44subeq0d 10742 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 = 𝑧)
46 simplr 759 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦𝑥)
4745, 46eqeltrrd 2859 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧𝑥)
4847ex 403 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → 𝑧𝑥))
4948ssrdv 3826 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)
50 eleq2 2847 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)))
51 sseq1 3844 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑧𝑥 ↔ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥))
5250, 51anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)))
5352rspcev 3510 . . . . . 6 ((((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
5417, 21, 49, 53syl12anc 827 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
5554ralrimiva 3147 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
56 resttop 21372 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V) → (𝐽t ℤ) ∈ Top)
5713, 14, 56mp2an 682 . . . . 5 (𝐽t ℤ) ∈ Top
58 eltop2 21187 . . . . 5 ((𝐽t ℤ) ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝐽t ℤ) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥)))
5957, 58ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐽t ℤ) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
6055, 59sylibr 226 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ∈ (𝐽t ℤ))
6160ssriv 3824 . 2 𝒫 ℤ ⊆ (𝐽t ℤ)
621, 61eqssi 3836 1 (𝐽t ℤ) = 𝒫 ℤ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  Vcvv 3397   ∩ cin 3790   ⊆ wss 3791  𝒫 cpw 4378   class class class wbr 4886   ∘ ccom 5359  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272  1c1 10273  ℝ*cxr 10410   < clt 10411   − cmin 10606  ℕ0cn0 11642  ℤcz 11728  ℝ+crp 12137  abscabs 14381   ↾t crest 16467  TopOpenctopn 16468  ∞Metcxmet 20127  ballcbl 20129  ℂfldccnfld 20142  Topctop 21105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-rest 16469  df-topn 16470  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-xms 22533  df-ms 22534 This theorem is referenced by:  sszcld  23028
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