Theorem zdis 24332

Description: The integers are a discrete set in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
zdis	⊢ (𝐽 ↾t ℤ) = 𝒫 ℤ

Proof of Theorem zdis

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restsspw 17377	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ⊆ 𝒫 ℤ
2		elpwi 4610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ⊆ ℤ)
3	2	sselda 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℂ)
5		cnxmet 24289	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
6		1xr 11273	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
7		recld2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
8	7	cnfldtopn 24298	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
9	8	blopn 24009	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
10	5, 6, 9	mp3an13 1453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
11	7	cnfldtop 24300	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ Top
12		zex 12567	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ∈ V
13		elrestr 17374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))
14	11, 12, 13	mp3an12 1452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽 → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))
15	4, 10, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))
16		1rp 12978	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
17		blcntr 23919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
18	5, 16, 17	mp3an13 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
19	4, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
20	19, 3	elind 4195	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
21	4	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
22		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
23	22	elin2d 4200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
25	3	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
26	25, 23	zsubcld 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℂ)
28		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
29	28	cnmetdval 24287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
30	21, 24, 29	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
31	22	elin1d 4199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
32		elbl2 23896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
33	5, 6, 32	mpanl12 701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
34	21, 24, 33	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
35	31, 34	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1)
36	30, 35	eqbrtrrd 5173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 1)
37		nn0abscl 15259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℕ0)
38		nn0lt10b 12624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) = 0))
39	26, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) = 0))
40	36, 39	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) = 0)
41	27, 40	abs00d 15393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) = 0)
42	21, 24, 41	subeq0d 11579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 = 𝑧)
43		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ 𝑥)
44	42, 43	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
45	44	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → 𝑧 ∈ 𝑥))
46	45	ssrdv 3989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)
47		eleq2 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)))
48		sseq1 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑧 ⊆ 𝑥 ↔ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥))
49	47, 48	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)))
50	49	rspcev 3613	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽 ↾t ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ (𝐽 ↾t ℤ)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
51	15, 20, 46, 50	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝐽 ↾t ℤ)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
52	51	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ (𝐽 ↾t ℤ)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
53		resttop 22664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V) → (𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top)
54	11, 12, 53	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top
55		eltop2 22478	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t ℤ) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ (𝐽 ↾t ℤ)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t ℤ) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ (𝐽 ↾t ℤ)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
57	52, 56	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t ℤ))
58	57	ssriv 3987	. 2 ⊢ 𝒫 ℤ ⊆ (𝐽 ↾t ℤ)
59	1, 58	eqssi 3999	1 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) = 𝒫 ℤ

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149   ∘ ccom 5681  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   − cmin 11444  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12974  abscabs 15181   ↾_t crest 17366  TopOpenctopn 17367  ∞Metcxmet 20929  ballcbl 20931  ℂ_fldccnfld 20944  Topctop 22395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827

This theorem is referenced by:  sszcld  24333