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Theorem zdis 24202
Description: The integers are a discrete set in the topology on β„‚. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
zdis (𝐽 β†Ύt β„€) = 𝒫 β„€

Proof of Theorem zdis
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 17321 . 2 (𝐽 β†Ύt β„€) βŠ† 𝒫 β„€
2 elpwi 4571 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ β†’ π‘₯ βŠ† β„€)
32sselda 3948 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
43zcnd 12616 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
5 cnxmet 24159 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
6 1xr 11222 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
7 recld2.1 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
87cnfldtopn 24168 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
98blopn 23879 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∈ 𝐽)
105, 6, 9mp3an13 1453 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∈ 𝐽)
117cnfldtop 24170 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
12 zex 12516 . . . . . . . 8 β„€ ∈ V
13 elrestr 17318 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ β„€ ∈ V ∧ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∈ 𝐽) β†’ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€))
1411, 12, 13mp3an12 1452 . . . . . . 7 ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∈ 𝐽 β†’ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€))
154, 10, 143syl 18 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€))
16 1rp 12927 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
17 blcntr 23789 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
185, 16, 17mp3an13 1453 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
194, 18syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
2019, 3elind 4158 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€))
214adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€))
2322elin2d 4163 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
2423zcnd 12616 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
253adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
2625, 23zsubcld 12620 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ β„€)
2726zcnd 12616 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2928cnmetdval 24157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
3021, 24, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
3122elin1d 4162 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
32 elbl2 23766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 1))
335, 6, 32mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 1))
3421, 24, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 1))
3531, 34mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 1)
3630, 35eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 1)
37 nn0abscl 15206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ β„€ β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ β„•0)
38 nn0lt10b 12573 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ β„•0 β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 1 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) = 0))
3926, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 1 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) = 0))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) = 0)
4127, 40abs00d 15340 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) = 0)
4221, 24, 41subeq0d 11528 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑦 = 𝑧)
43 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
4442, 43eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)) β†’ 𝑧 ∈ π‘₯)
4544ex 414 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (𝑧 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) β†’ 𝑧 ∈ π‘₯))
4645ssrdv 3954 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) βŠ† π‘₯)
47 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€)))
48 sseq1 3973 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) β†’ (𝑧 βŠ† π‘₯ ↔ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) βŠ† π‘₯))
4947, 48anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∧ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) βŠ† π‘₯)))
5049rspcev 3583 . . . . . 6 ((((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∈ (𝐽 β†Ύt β„€) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) ∧ ((𝑦(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ∩ β„€) βŠ† π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
5115, 20, 46, 50syl12anc 836 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
5251ralrimiva 3140 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
53 resttop 22534 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ β„€ ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt β„€) ∈ Top)
5411, 12, 53mp2an 691 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt β„€) ∈ Top
55 eltop2 22348 . . . . 5 ((𝐽 β†Ύt β„€) ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)))
5654, 55ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))
5752, 56sylibr 233 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„€ β†’ π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt β„€))
5857ssriv 3952 . 2 𝒫 β„€ βŠ† (𝐽 β†Ύt β„€)
591, 58eqssi 3964 1 (𝐽 β†Ύt β„€) = 𝒫 β„€
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060  β„*cxr 11196   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„+crp 12923  abscabs 15128   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  β„‚fldccnfld 20819  Topctop 22265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697
This theorem is referenced by:  sszcld  24203
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