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Theorem zdis 23989
Description: The integers are a discrete set in the topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
zdis (𝐽t ℤ) = 𝒫 ℤ

Proof of Theorem zdis
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 17152 . 2 (𝐽t ℤ) ⊆ 𝒫 ℤ
2 elpwi 4542 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ⊆ ℤ)
32sselda 3920 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℤ)
43zcnd 12437 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℂ)
5 cnxmet 23946 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
6 1xr 11044 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
7 recld2.1 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
87cnfldtopn 23955 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
98blopn 23666 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
105, 6, 9mp3an13 1451 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
117cnfldtop 23957 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
12 zex 12338 . . . . . . . 8 ℤ ∈ V
13 elrestr 17149 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
1411, 12, 13mp3an12 1450 . . . . . . 7 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽 → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
154, 10, 143syl 18 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
16 1rp 12744 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
17 blcntr 23576 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
185, 16, 17mp3an13 1451 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
194, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
2019, 3elind 4127 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
214adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
2322elin2d 4132 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
2423zcnd 12437 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
253adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2625, 23zsubcld 12441 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
2726zcnd 12437 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
28 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2928cnmetdval 23944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3021, 24, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3122elin1d 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
32 elbl2 23553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
335, 6, 32mpanl12 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
3421, 24, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
3531, 34mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1)
3630, 35eqbrtrrd 5097 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) < 1)
37 nn0abscl 15034 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑧) ∈ ℤ → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℕ0)
38 nn0lt10b 12392 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝑦𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) = 0))
3926, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → ((abs‘(𝑦𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) = 0))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) = 0)
4127, 40abs00d 15168 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) = 0)
4221, 24, 41subeq0d 11350 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 = 𝑧)
43 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦𝑥)
4442, 43eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧𝑥)
4544ex 413 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → 𝑧𝑥))
4645ssrdv 3926 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)
47 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)))
48 sseq1 3945 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑧𝑥 ↔ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥))
4947, 48anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)))
5049rspcev 3559 . . . . . 6 ((((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
5115, 20, 46, 50syl12anc 834 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
5251ralrimiva 3108 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
53 resttop 22321 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V) → (𝐽t ℤ) ∈ Top)
5411, 12, 53mp2an 689 . . . . 5 (𝐽t ℤ) ∈ Top
55 eltop2 22135 . . . . 5 ((𝐽t ℤ) ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝐽t ℤ) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥)))
5654, 55ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐽t ℤ) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
5752, 56sylibr 233 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ∈ (𝐽t ℤ))
5857ssriv 3924 . 2 𝒫 ℤ ⊆ (𝐽t ℤ)
591, 58eqssi 3936 1 (𝐽t ℤ) = 𝒫 ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3429  cin 3885  wss 3886  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5073  ccom 5588  cfv 6426  (class class class)co 7267  cc 10879  0cc0 10881  1c1 10882  *cxr 11018   < clt 11019  cmin 11215  0cn0 12243  cz 12329  +crp 12740  abscabs 14955  t crest 17141  TopOpenctopn 17142  ∞Metcxmet 20592  ballcbl 20594  fldccnfld 20607  Topctop 22052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-fz 13250  df-seq 13732  df-exp 13793  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-struct 16858  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-rest 17143  df-topn 17144  df-topgen 17164  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-xms 23483  df-ms 23484
This theorem is referenced by:  sszcld  23990
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