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Theorem zdis 23424
Description: The integers are a discrete set in the topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
zdis (𝐽t ℤ) = 𝒫 ℤ

Proof of Theorem zdis
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 16705 . 2 (𝐽t ℤ) ⊆ 𝒫 ℤ
2 elpwi 4531 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ⊆ ℤ)
32sselda 3953 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℤ)
43zcnd 12085 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℂ)
5 cnxmet 23381 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
6 1xr 10698 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
7 recld2.1 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
87cnfldtopn 23390 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
98blopn 23110 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
105, 6, 9mp3an13 1449 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
117cnfldtop 23392 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
12 zex 11987 . . . . . . . 8 ℤ ∈ V
13 elrestr 16702 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
1411, 12, 13mp3an12 1448 . . . . . . 7 ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽 → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
154, 10, 143syl 18 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ))
16 1rp 12390 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
17 blcntr 23023 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
185, 16, 17mp3an13 1449 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
194, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
2019, 3elind 4156 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
214adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
2322elin2d 4161 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
2423zcnd 12085 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
253adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2625, 23zsubcld 12089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
2726zcnd 12085 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
28 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2928cnmetdval 23379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3021, 24, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3122elin1d 4160 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
32 elbl2 23000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
335, 6, 32mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
3421, 24, 33syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
3531, 34mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1)
3630, 35eqbrtrrd 5076 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) < 1)
37 nn0abscl 14672 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑧) ∈ ℤ → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℕ0)
38 nn0lt10b 12041 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝑦𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) = 0))
3926, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → ((abs‘(𝑦𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) = 0))
4036, 39mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) = 0)
4127, 40abs00d 14806 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦𝑧) = 0)
4221, 24, 41subeq0d 11003 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 = 𝑧)
43 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦𝑥)
4442, 43eqeltrrd 2917 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧𝑥)
4544ex 416 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → 𝑧𝑥))
4645ssrdv 3959 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)
47 eleq2 2904 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)))
48 sseq1 3978 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑧𝑥 ↔ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥))
4947, 48anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)))
5049rspcev 3609 . . . . . 6 ((((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽t ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
5115, 20, 46, 50syl12anc 835 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
5251ralrimiva 3177 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
53 resttop 21768 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V) → (𝐽t ℤ) ∈ Top)
5411, 12, 53mp2an 691 . . . . 5 (𝐽t ℤ) ∈ Top
55 eltop2 21583 . . . . 5 ((𝐽t ℤ) ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝐽t ℤ) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥)))
5654, 55ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐽t ℤ) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ (𝐽t ℤ)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
5752, 56sylibr 237 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ∈ (𝐽t ℤ))
5857ssriv 3957 . 2 𝒫 ℤ ⊆ (𝐽t ℤ)
591, 58eqssi 3969 1 (𝐽t ℤ) = 𝒫 ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3480  cin 3918  wss 3919  𝒫 cpw 4522   class class class wbr 5052  ccom 5546  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  0cc0 10535  1c1 10536  *cxr 10672   < clt 10673  cmin 10868  0cn0 11894  cz 11978  +crp 12386  abscabs 14593  t crest 16694  TopOpenctopn 16695  ∞Metcxmet 20530  ballcbl 20532  fldccnfld 20545  Topctop 21501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-fz 12895  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-rest 16696  df-topn 16697  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-xms 22930  df-ms 22931
This theorem is referenced by:  sszcld  23425
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