Theorem zdis 24331

Description: The integers are a discrete set in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
zdis	⊢ (𝐽 ↾t ℤ) = 𝒫 ℤ

Proof of Theorem zdis

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restsspw 17376	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ⊆ 𝒫 ℤ
2		elpwi 4609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ⊆ ℤ)
3	2	sselda 3982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℂ)
5		cnxmet 24288	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
6		1xr 11272	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
7		recld2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
8	7	cnfldtopn 24297	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
9	8	blopn 24008	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
10	5, 6, 9	mp3an13 1452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽)
11	7	cnfldtop 24299	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ Top
12		zex 12566	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ∈ V
13		elrestr 17373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V ∧ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))
14	11, 12, 13	mp3an12 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ 𝐽 → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))
15	4, 10, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽 ↾t ℤ))
16		1rp 12977	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
17		blcntr 23918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
18	5, 16, 17	mp3an13 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
19	4, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
20	19, 3	elind 4194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
21	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
22		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ))
23	22	elin2d 4199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
25	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
26	25, 23	zsubcld 12670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℂ)
28		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
29	28	cnmetdval 24286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
30	21, 24, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
31	22	elin1d 4198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1))
32		elbl2 23895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
33	5, 6, 32	mpanl12 700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
34	21, 24, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1))
35	31, 34	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦(abs ∘ − )𝑧) < 1)
36	30, 35	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 1)
37		nn0abscl 15258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℕ0)
38		nn0lt10b 12623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) = 0))
39	26, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 1 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) = 0))
40	36, 39	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) = 0)
41	27, 40	abs00d 15392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) = 0)
42	21, 24, 41	subeq0d 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 = 𝑧)
43		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑦 ∈ 𝑥)
44	42, 43	eqeltrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
45	44	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑧 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → 𝑧 ∈ 𝑥))
46	45	ssrdv 3988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)
47		eleq2 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ)))
48		sseq1 4007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → (𝑧 ⊆ 𝑥 ↔ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥))
49	47, 48	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)))
50	49	rspcev 3612	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∈ (𝐽 ↾t ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ∧ ((𝑦(ball‘(abs ∘ − ))1) ∩ ℤ) ⊆ 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ (𝐽 ↾t ℤ)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
51	15, 20, 46, 50	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝐽 ↾t ℤ)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
52	51	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ (𝐽 ↾t ℤ)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
53		resttop 22663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ∈ V) → (𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top)
54	11, 12, 53	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top
55		eltop2 22477	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t ℤ) ∈ Top → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t ℤ) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ (𝐽 ↾t ℤ)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t ℤ) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ (𝐽 ↾t ℤ)(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))
57	52, 56	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℤ → 𝑥 ∈ (𝐽 ↾t ℤ))
58	57	ssriv 3986	. 2 ⊢ 𝒫 ℤ ⊆ (𝐽 ↾t ℤ)
59	1, 58	eqssi 3998	1 ⊢ (𝐽 ↾t ℤ) = 𝒫 ℤ

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   − cmin 11443  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ℝ⁺crp 12973  abscabs 15180   ↾_t crest 17365  TopOpenctopn 17366  ∞Metcxmet 20928  ballcbl 20930  ℂ_fldccnfld 20943  Topctop 22394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826

This theorem is referenced by:  sszcld  24332