HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elunop2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elunop2 31841
Description: An operator is unitary iff it is linear, onto, and idempotent in the norm. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73, and its converse. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elunop2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Proof of Theorem elunop2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 31748 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
2 elunop 31700 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
32simplbi 496 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
4 unopnorm 31745 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))
54ralrimiva 3142 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))
61, 3, 53jca 1125 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
7 eleq1 2816 . . 3 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ UniOp))
8 eleq1 2816 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp))
9 foeq1 6810 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹))
10 2fveq3 6905 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
11 fveq2 6900 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
1210, 11eqeq12d 2743 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
1312cbvralvw 3230 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
14 fveq1 6899 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ))
1514fveqeq2d 6908 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
1615ralbidv 3173 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
1713, 16bitrid 282 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
188, 9, 173anbi123d 1432 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
19 eleq1 2816 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp))
20 foeq1 6810 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹))
21 fveq1 6899 . . . . . . . . 9 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ))
2221fveqeq2d 6908 . . . . . . . 8 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
2322ralbidv 3173 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
2419, 20, 233anbi123d 1432 . . . . . 6 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
25 idlnop 31820 . . . . . . 7 ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp
26 f1oi 6880 . . . . . . . 8 ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹
27 f1ofo 6849 . . . . . . . 8 (( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹
29 fvresi 7186 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
3029fveq2d 6904 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
3130rgen 3059 . . . . . . 7 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)
3225, 28, 313pm3.2i 1336 . . . . . 6 (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
3318, 24, 32elimhyp 4595 . . . . 5 (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
3433simp1i 1136 . . . 4 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp
3533simp2i 1137 . . . 4 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹
3633simp3i 1138 . . . 4 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)
3734, 35, 36lnopunii 31840 . . 3 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ UniOp
387, 37dedth 4588 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ UniOp)
396, 38impbii 208 1 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3057  ifcif 4530   I cid 5577   โ†พ cres 5682  โ€“ontoโ†’wfo 6549  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6550  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   โ„‹chba 30747   ยทih csp 30750  normโ„Žcno 30751  LinOpclo 30775  UniOpcuo 30777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-hilex 30827  ax-hfvadd 30828  ax-hvcom 30829  ax-hvass 30830  ax-hv0cl 30831  ax-hvaddid 30832  ax-hfvmul 30833  ax-hvmulid 30834  ax-hvdistr2 30837  ax-hvmul0 30838  ax-hfi 30907  ax-his1 30910  ax-his2 30911  ax-his3 30912  ax-his4 30913
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-hnorm 30796  df-hvsub 30799  df-lnop 31669  df-unop 31671
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator