HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elunop2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elunop2 31771
Description: An operator is unitary iff it is linear, onto, and idempotent in the norm. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73, and its converse. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elunop2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Proof of Theorem elunop2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 31678 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
2 elunop 31630 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
32simplbi 497 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
4 unopnorm 31675 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))
54ralrimiva 3140 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))
61, 3, 53jca 1125 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
7 eleq1 2815 . . 3 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ UniOp))
8 eleq1 2815 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp))
9 foeq1 6794 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹))
10 2fveq3 6889 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
11 fveq2 6884 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
1210, 11eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
1312cbvralvw 3228 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
14 fveq1 6883 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ))
1514fveqeq2d 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
1615ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
1713, 16bitrid 283 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
188, 9, 173anbi123d 1432 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
19 eleq1 2815 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp))
20 foeq1 6794 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹))
21 fveq1 6883 . . . . . . . . 9 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ))
2221fveqeq2d 6892 . . . . . . . 8 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
2322ralbidv 3171 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
2419, 20, 233anbi123d 1432 . . . . . 6 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
25 idlnop 31750 . . . . . . 7 ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp
26 f1oi 6864 . . . . . . . 8 ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹
27 f1ofo 6833 . . . . . . . 8 (( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹
29 fvresi 7166 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
3029fveq2d 6888 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
3130rgen 3057 . . . . . . 7 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)
3225, 28, 313pm3.2i 1336 . . . . . 6 (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
3318, 24, 32elimhyp 4588 . . . . 5 (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
3433simp1i 1136 . . . 4 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp
3533simp2i 1137 . . . 4 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹
3633simp3i 1138 . . . 4 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)
3734, 35, 36lnopunii 31770 . . 3 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ UniOp
387, 37dedth 4581 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ UniOp)
396, 38impbii 208 1 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  ifcif 4523   I cid 5566   โ†พ cres 5671  โ€“ontoโ†’wfo 6534  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6535  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โ„‹chba 30677   ยทih csp 30680  normโ„Žcno 30681  LinOpclo 30705  UniOpcuo 30707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-hilex 30757  ax-hfvadd 30758  ax-hvcom 30759  ax-hvass 30760  ax-hv0cl 30761  ax-hvaddid 30762  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764  ax-hvdistr2 30767  ax-hvmul0 30768  ax-hfi 30837  ax-his1 30840  ax-his2 30841  ax-his3 30842  ax-his4 30843
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-hnorm 30726  df-hvsub 30729  df-lnop 31599  df-unop 31601
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator