HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elunop2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elunop2 31261
Description: An operator is unitary iff it is linear, onto, and idempotent in the norm. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73, and its converse. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elunop2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Proof of Theorem elunop2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 31168 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
2 elunop 31120 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
32simplbi 498 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
4 unopnorm 31165 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))
54ralrimiva 3146 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))
61, 3, 53jca 1128 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
7 eleq1 2821 . . 3 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ UniOp))
8 eleq1 2821 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp))
9 foeq1 6801 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹))
10 2fveq3 6896 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
11 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
1210, 11eqeq12d 2748 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
1312cbvralvw 3234 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
14 fveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ))
1514fveqeq2d 6899 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
1615ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
1713, 16bitrid 282 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
188, 9, 173anbi123d 1436 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
19 eleq1 2821 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp))
20 foeq1 6801 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹))
21 fveq1 6890 . . . . . . . . 9 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ))
2221fveqeq2d 6899 . . . . . . . 8 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
2322ralbidv 3177 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
2419, 20, 233anbi123d 1436 . . . . . 6 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
25 idlnop 31240 . . . . . . 7 ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp
26 f1oi 6871 . . . . . . . 8 ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹
27 f1ofo 6840 . . . . . . . 8 (( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹
29 fvresi 7170 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
3029fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
3130rgen 3063 . . . . . . 7 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)
3225, 28, 313pm3.2i 1339 . . . . . 6 (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
3318, 24, 32elimhyp 4593 . . . . 5 (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ))
3433simp1i 1139 . . . 4 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp
3533simp2i 1140 . . . 4 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹
3633simp3i 1141 . . . 4 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)
3734, 35, 36lnopunii 31260 . . 3 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ UniOp
387, 37dedth 4586 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ UniOp)
396, 38impbii 208 1 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  ifcif 4528   I cid 5573   โ†พ cres 5678  โ€“ontoโ†’wfo 6541  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โ„‹chba 30167   ยทih csp 30170  normโ„Žcno 30171  LinOpclo 30195  UniOpcuo 30197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-hnorm 30216  df-hvsub 30219  df-lnop 31089  df-unop 31091
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator