Theorem enreffi 9186

Description: Equinumerosity is reflexive for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike enrefg 8980). (Contributed by BTernaryTau, 8-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
enreffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem enreffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6872	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1oenfi 9182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149   I cid 5574   ↾ cres 5679  –1-1-onto→wf1o 6543   ≈ cen 8936  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943

This theorem is referenced by: (None)