Theorem ensymfib 8930

Description: Symmetry of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ensymb 8743). (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ensymfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Proof of Theorem ensymfib

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 8701	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		19.42v 1958	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
3		f1ocnv 6712	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴)
4		f1oenfirn 8927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
6	5	exlimiv 1934	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
7	2, 6	sylbir 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
8	1, 7	sylan2b 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		bren 8701	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴)
10		19.42v 1958	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴))
11		f1ocnv 6712	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		f1oenfi 8926	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
13	11, 12	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
14	13	exlimiv 1934	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
15	10, 14	sylbir 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
16	9, 15	sylan2b 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	8, 16	impbida 797	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  –1-1-onto→wf1o 6417   ≈ cen 8688  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-1o 8267  df-en 8692  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  enfii  8932  enfi  8933  f1imaenfi  8939