Theorem ensymfib 9230

Description: Symmetry of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ensymb 9060). (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ensymfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Proof of Theorem ensymfib

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 9014	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵)
2		19.42v 1988	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵))
3		f1ocnv 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵 → ◡𝑓:𝐵⟶1-1onto𝐴)
4		f1oenfirn 9226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑓:𝐵⟶1-1onto𝐴) → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
6	5	exlimiv 1965	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
7	2, 6	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
8	1, 7	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		bren 9014	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵⟶1-1onto𝐴)
10		19.42v 1988	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵⟶1-1onto𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵⟶1-1onto𝐴))
11		f1ocnv 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐵⟶1-1onto𝐴 → ◡𝑔:𝐴⟶1-1onto𝐵)
12		f1oenfi 9225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑔:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
13	11, 12	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵⟶1-1onto𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
14	13	exlimiv 1965	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵⟶1-1onto𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
15	10, 14	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵⟶1-1onto𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
16	9, 15	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	8, 16	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5655  ⟶1-1ontowf1o 6560   ≈ cen 9001  Fincfn 9004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7905  df-1o 8507  df-en 9005  df-fin 9008

This theorem is used by:  enfii  9232  enfi  9233  f1imaenfi  9241  domnsymfi  9246  sdomdomtrfi  9247  domsdomtrfi  9248  phplem1  9250  phplem2  9251  nneneq  9252  php  9253  php2  9254  php3  9255  phpeqd  9258  onomeneq  9260  ominf  9286  findcard3  9305  nnsdomg  9322  fiint  9349