Theorem ensymfib 9148

Description: Symmetry of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ensymb 8979). (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ensymfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Proof of Theorem ensymfib

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 8933	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		19.42v 1972	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
3		f1ocnv 6815	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴)
4		f1oenfirn 9144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
6	5	exlimiv 1949	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
7	2, 6	sylbir 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
8	1, 7	sylan2b 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		bren 8933	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴)
10		19.42v 1972	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴))
11		f1ocnv 6815	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		f1oenfi 9143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
13	11, 12	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
14	13	exlimiv 1949	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
15	10, 14	sylbir 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
16	9, 15	sylan2b 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	8, 16	impbida 810	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5644  –1-1-onto→wf1o 6516   ≈ cen 8920  Fincfn 8923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-om 7843  df-1o 8432  df-en 8924  df-fin 8927

This theorem is referenced by:  enfii  9150  enfi  9151  f1imaenfi  9159  domnsymfi  9164  sdomdomtrfi  9165  domsdomtrfi  9166  phplem1  9168  phplem2  9169  nneneq  9170  php  9171  php2  9172  php3  9173  phpeqd  9176  onomeneq  9178  ominf  9204  findcard3  9223  nnsdomg  9239  fiint  9267