Theorem ensymfib 9154

Description: Symmetry of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ensymb 8976). (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ensymfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Proof of Theorem ensymfib

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 8931	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		19.42v 1953	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
3		f1ocnv 6815	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴)
4		f1oenfirn 9150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
6	5	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
7	2, 6	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
8	1, 7	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		bren 8931	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴)
10		19.42v 1953	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴))
11		f1ocnv 6815	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		f1oenfi 9149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
13	11, 12	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
14	13	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
15	10, 14	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
16	9, 15	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	8, 16	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5640  –1-1-onto→wf1o 6513   ≈ cen 8918  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  enfii  9156  enfi  9157  f1imaenfi  9165  domnsymfi  9170  sdomdomtrfi  9171  domsdomtrfi  9172  phplem1  9174  phplem2  9175  nneneq  9176  php  9177  php2  9178  php3  9179  phpeqd  9182  onomeneq  9184  ominf  9212  findcard3  9236  nnsdomg  9253  fiint  9284