MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensymfib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ensymfib 9134
Description: Symmetry of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ensymb 8945). (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
ensymfib (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem ensymfib
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8896 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 19.42v 1958 . . . 4 (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
3 f1ocnv 6797 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
4 f1oenfirn 9130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐵𝐴)
53, 4sylan2 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵𝐴)
65exlimiv 1934 . . . 4 (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵𝐴)
72, 6sylbir 234 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵𝐴)
81, 7sylan2b 595 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
9 bren 8896 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
10 19.42v 1958 . . . 4 (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
11 f1ocnv 6797 . . . . . 6 (𝑔:𝐵1-1-onto𝐴𝑔:𝐴1-1-onto𝐵)
12 f1oenfi 9129 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1311, 12sylan2 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐵)
1413exlimiv 1934 . . . 4 (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐵)
1510, 14sylbir 234 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐵)
169, 15sylan2b 595 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
178, 16impbida 800 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wex 1782  wcel 2107   class class class wbr 5106  ccnv 5633  1-1-ontowf1o 6496  cen 8883  Fincfn 8886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-en 8887  df-fin 8890
This theorem is referenced by:  enfii  9136  enfi  9137  f1imaenfi  9145  domnsymfi  9150  sdomdomtrfi  9151  domsdomtrfi  9152  phplem1  9154  phplem2  9155  nneneq  9156  php  9157  php2  9158  php3  9159  phpeqd  9162  onomeneq  9175  ominf  9205  findcard3  9232  nnsdomg  9249
  Copyright terms: Public domain W3C validator