Theorem ensymfib 9137

Description: Symmetry of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ensymb 8968). (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ensymfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Proof of Theorem ensymfib

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 8922	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		19.42v 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
3		f1ocnv 6804	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴)
4		f1oenfirn 9133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	sylan2 601	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
6	5	exlimiv 1940	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
7	2, 6	sylbir 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
8	1, 7	sylan2b 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		bren 8922	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴)
10		19.42v 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴))
11		f1ocnv 6804	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		f1oenfi 9132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
13	11, 12	sylan2 601	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
14	13	exlimiv 1940	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
15	10, 14	sylbir 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
16	9, 15	sylan2b 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	8, 16	impbida 808	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∃wex 1789   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  ^◡ccnv 5635  –1-1-onto→wf1o 6505   ≈ cen 8909  Fincfn 8912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-om 7832  df-1o 8421  df-en 8913  df-fin 8916

This theorem is referenced by:  enfii  9139  enfi  9140  f1imaenfi  9148  domnsymfi  9153  sdomdomtrfi  9154  domsdomtrfi  9155  phplem1  9157  phplem2  9158  nneneq  9159  php  9160  php2  9161  php3  9162  phpeqd  9165  onomeneq  9167  ominf  9193  findcard3  9212  nnsdomg  9228  fiint  9256