Theorem ensymfib 9156

Description: Symmetry of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ensymb 8987). (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ensymfib	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Proof of Theorem ensymfib

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 8941	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		19.42v 1976	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
3		f1ocnv 6823	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴)
4		f1oenfirn 9152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
6	5	exlimiv 1953	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
7	2, 6	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
8	1, 7	sylan2b 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		bren 8941	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴)
10		19.42v 1976	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴))
11		f1ocnv 6823	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		f1oenfi 9151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
13	11, 12	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
14	13	exlimiv 1953	. . . 4 ⊢ (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
15	10, 14	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
16	9, 15	sylan2b 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
17	8, 16	impbida 812	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ^◡ccnv 5651  –1-1-onto→wf1o 6524   ≈ cen 8928  Fincfn 8931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1o 8441  df-en 8932  df-fin 8935

This theorem is referenced by:  enfii  9158  enfi  9159  f1imaenfi  9167  domnsymfi  9172  sdomdomtrfi  9173  domsdomtrfi  9174  phplem1  9176  phplem2  9177  nneneq  9178  php  9179  php2  9180  php3  9181  phpeqd  9184  onomeneq  9186  ominf  9212  findcard3  9231  nnsdomg  9247  fiint  9274