MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensymfib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ensymfib 9184
Description: Symmetry of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ensymb 8995). (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
ensymfib (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem ensymfib
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8946 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 19.42v 1949 . . . 4 (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
3 f1ocnv 6836 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
4 f1oenfirn 9180 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐵𝐴)
53, 4sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵𝐴)
65exlimiv 1925 . . . 4 (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵𝐴)
72, 6sylbir 234 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵𝐴)
81, 7sylan2b 593 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
9 bren 8946 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
10 19.42v 1949 . . . 4 (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
11 f1ocnv 6836 . . . . . 6 (𝑔:𝐵1-1-onto𝐴𝑔:𝐴1-1-onto𝐵)
12 f1oenfi 9179 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1311, 12sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐵)
1413exlimiv 1925 . . . 4 (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐵)
1510, 14sylbir 234 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐵)
169, 15sylan2b 593 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
178, 16impbida 798 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wex 1773  wcel 2098   class class class wbr 5139  ccnv 5666  1-1-ontowf1o 6533  cen 8933  Fincfn 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-1o 8462  df-en 8937  df-fin 8940
This theorem is referenced by:  enfii  9186  enfi  9187  f1imaenfi  9195  domnsymfi  9200  sdomdomtrfi  9201  domsdomtrfi  9202  phplem1  9204  phplem2  9205  nneneq  9206  php  9207  php2  9208  php3  9209  phpeqd  9212  onomeneq  9225  ominf  9255  findcard3  9282  nnsdomg  9299
  Copyright terms: Public domain W3C validator