MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensymfib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ensymfib 9224
Description: Symmetry of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ensymb 9042). (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
ensymfib (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem ensymfib
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8995 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 19.42v 1953 . . . 4 (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
3 f1ocnv 6860 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
4 f1oenfirn 9220 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐵𝐴)
53, 4sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵𝐴)
65exlimiv 1930 . . . 4 (∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵𝐴)
72, 6sylbir 235 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵𝐴)
81, 7sylan2b 594 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
9 bren 8995 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
10 19.42v 1953 . . . 4 (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
11 f1ocnv 6860 . . . . . 6 (𝑔:𝐵1-1-onto𝐴𝑔:𝐴1-1-onto𝐵)
12 f1oenfi 9219 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1311, 12sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐵)
1413exlimiv 1930 . . . 4 (∃𝑔(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐵)
1510, 14sylbir 235 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐵)
169, 15sylan2b 594 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
178, 16impbida 801 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wex 1779  wcel 2108   class class class wbr 5143  ccnv 5684  1-1-ontowf1o 6560  cen 8982  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  enfii  9226  enfi  9227  f1imaenfi  9235  domnsymfi  9240  sdomdomtrfi  9241  domsdomtrfi  9242  phplem1  9244  phplem2  9245  nneneq  9246  php  9247  php2  9248  php3  9249  phpeqd  9252  onomeneq  9265  ominf  9294  findcard3  9318  nnsdomg  9335  fiint  9366
  Copyright terms: Public domain W3C validator