Theorem f1domfi2 9235

Description: If the domain of a one-to-one function is finite, then the function's domain is dominated by its codomain when the latter is a set. This theorem is proved without using the Axiom of Power Sets (unlike f1dom2g 9034). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1domfi2	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem f1domfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6809	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnfi 9231	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
3	1, 2	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
4	3	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
5	4	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
6		f1dom3g 9032	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
7	5, 6	syld3an1 1438	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   Fn wfn 6561  ⟶1-1wf1 6563   ≼ cdom 9009  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-fin 9015

This theorem is used by:  domtrfil  9245  ssdomfi2  9250