MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1domfi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1domfi2 9220
Description: If the domain of a one-to-one function is finite, then the function's domain is dominated by its codomain when the latter is a set. This theorem is proved without using the Axiom of Power Sets (unlike f1dom2g 9009). (Contributed by BTernaryTau, 24-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1domfi2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1domfi2
StepHypRef Expression
1 f1fn 6806 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 fnfi 9216 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
31, 2sylan 580 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
43ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
543adant2 1130 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
6 f1dom3g 9007 . 2 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
75, 6syld3an1 1409 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148   Fn wfn 6558  1-1wf1 6560  cdom 8982  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  domtrfil  9230  ssdomfi2  9235
  Copyright terms: Public domain W3C validator