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Theorem isercolllem2 15612
Description: Lemma for isercoll 15614. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isercoll.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isercoll.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
isercoll.i ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...(β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))) = (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑍(π‘˜)
Proof of Theorem isercolllem2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 13530 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
21a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) β†’ π‘₯ ∈ β„•))
3 cnvimass 6081 . . . . . . . . 9 (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† dom 𝐺
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
54adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
63, 5fssdm 6738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† β„•)
76sseld 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ β„•))
8 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„•)
9 nnuz 12865 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
108, 9eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
11 ltso 11294 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ < Or ℝ)
13 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
14 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:β„•βŸΆπ‘ β†’ Fun 𝐺)
15 funimacnv 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐺 β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
165, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
17 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺) βŠ† (𝑀...𝑁)
1816, 17eqsstrdi 4037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) βŠ† (𝑀...𝑁))
1913, 18ssfid 9267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin)
20 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„• βŠ† β„•
21 isercoll.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
22 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
23 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
2421, 22, 4, 23isercolllem1 15611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ β„• βŠ† β„•) β†’ (𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
2520, 24mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
26 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺:β„•βŸΆπ‘ β†’ 𝐺 Fn β„•)
27 fnresdm 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 Fn β„• β†’ (𝐺 β†Ύ β„•) = 𝐺)
28 isoeq1 7314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 β†Ύ β„•) = 𝐺 β†’ ((𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) ↔ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•))))
294, 26, 27, 284syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) ↔ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•))))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
31 isof1o 7320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) β†’ 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(𝐺 β€œ β„•))
32 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(𝐺 β€œ β„•) β†’ ◑𝐺:(𝐺 β€œ β„•)–1-1-ontoβ†’β„•)
33 f1ofun 6836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑𝐺:(𝐺 β€œ β„•)–1-1-ontoβ†’β„• β†’ Fun ◑𝐺)
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Fun ◑𝐺)
35 df-f1 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:ℕ–1-1→𝑍 ↔ (𝐺:β„•βŸΆπ‘ ∧ Fun ◑𝐺))
364, 34, 35sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺:ℕ–1-1→𝑍)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝐺:ℕ–1-1→𝑍)
38 nnex 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• ∈ V
39 ssexg 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† β„• ∧ β„• ∈ V) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
406, 38, 39sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
41 f1imaeng 9010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ–1-1→𝑍 ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† β„• ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ V) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) β‰ˆ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
4237, 6, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) β‰ˆ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
4342ensymd 9001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
44 enfii 9189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
4519, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
46 1nn 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„•
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 1 ∈ β„•)
48 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:β„•βŸΆπ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜1) ∈ 𝑍)
494, 46, 48sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) ∈ 𝑍)
5049, 21eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
52 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1)))
53 elfzuzb 13495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((πΊβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))))
5451, 52, 53sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁))
555ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝐺 Fn β„•)
56 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn β„• β†’ (1 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5847, 54, 57mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 1 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
5958ne0d 4336 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ…)
60 nnssre 12216 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• βŠ† ℝ
616, 60sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ)
62 fisupcl 9464 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ ((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ… ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ)) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
6312, 45, 59, 61, 62syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
646, 63sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•)
6564nnzd 12585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„€)
66 elfz5 13493 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
6710, 65, 66syl2anr 598 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
68 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn β„• β†’ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
6955, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
7063, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁)))
71 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁)
7270, 71simpl2im 505 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁)
7372adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁)
74 uzssz 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
7521, 74eqsstri 4017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 βŠ† β„€
76 zssre 12565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„€ βŠ† ℝ
7775, 76sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 βŠ† ℝ
785ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑍)
7977, 78sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
805, 64ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8277, 81sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
83 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8483ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8576, 84sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
86 letr 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
8779, 82, 85, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
8873, 87mpan2d 693 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
8930ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
9060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ β„• βŠ† ℝ)
91 ressxr 11258 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† ℝ*
9290, 91sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ β„• βŠ† ℝ*)
93 imassrn 6071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ran 𝐺
944ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
9594frnd 6726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝑍)
9693, 95sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† 𝑍)
9796, 77sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ℝ)
9897, 91sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ℝ*)
99 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
10064adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•)
101 leisorel 14421 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) ∧ (β„• βŠ† ℝ* ∧ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10289, 92, 98, 99, 100, 101syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10378, 21eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
104 elfz5 13493 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
105103, 84, 104syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
10688, 102, 1053imtr4d 294 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁)))
107 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn β„• β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁))))
108107baibd 541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁)))
10955, 108sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁)))
110106, 109sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
111 fimaxre2 12159 . . . . . . . . . . . . 13 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯)
11261, 45, 111syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯)
113 suprub 12175 . . . . . . . . . . . . 13 ((((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
114113ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
11561, 59, 112, 114syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
116115adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
117110, 116impbid 211 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
11867, 117bitrd 279 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
119118ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
1202, 7, 119pm5.21ndd 381 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
121120eqrdv 2731 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
122121fveq2d 6896 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (β™―β€˜(1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = (β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
12364nnnn0d 12532 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•0)
124 hashfz1 14306 . . . . 5 (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
125123, 124syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (β™―β€˜(1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
126 hashen 14307 . . . . . 6 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))) ↔ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
12745, 19, 126syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ ((β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))) ↔ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
12843, 127mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
129122, 125, 1283eqtr3d 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
130129oveq2d 7425 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (1...(β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))))
131130, 121eqtr3d 2775 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...(β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))) = (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   Or wor 5588  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7409   β‰ˆ cen 8936  Fincfn 8939  supcsup 9435  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β™―chash 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291
This theorem is referenced by:  isercolllem3  15613
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