MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercolllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercolllem2 15550
Description: Lemma for isercoll 15552. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 13470 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → 𝑥 ∈ ℕ)
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → 𝑥 ∈ ℕ))
3 cnvimass 6033 . . . . . . . . 9 (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ dom 𝐺
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
54adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
63, 5fssdm 6688 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ)
76sseld 3943 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ))
8 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ)
9 nnuz 12806 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
11 ltso 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → < Or ℝ)
13 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
14 ffun 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:ℕ⟶𝑍 → Fun 𝐺)
15 funimacnv 6582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐺 → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
165, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
17 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺) ⊆ (𝑀...𝑁)
1816, 17eqsstrdi 3998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ⊆ (𝑀...𝑁))
1913, 18ssfid 9211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin)
20 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ ⊆ ℕ
21 isercoll.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑍 = (ℤ𝑀)
22 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
2421, 22, 4, 23isercolllem1 15549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ℕ ⊆ ℕ) → (𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
2520, 24mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
26 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺:ℕ⟶𝑍𝐺 Fn ℕ)
27 fnresdm 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 Fn ℕ → (𝐺 ↾ ℕ) = 𝐺)
28 isoeq1 7262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ↾ ℕ) = 𝐺 → ((𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ↔ 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ))))
294, 26, 27, 284syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ↔ 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ))))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
31 isof1o 7268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) → 𝐺:ℕ–1-1-onto→(𝐺 “ ℕ))
32 f1ocnv 6796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:ℕ–1-1-onto→(𝐺 “ ℕ) → 𝐺:(𝐺 “ ℕ)–1-1-onto→ℕ)
33 f1ofun 6786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:(𝐺 “ ℕ)–1-1-onto→ℕ → Fun 𝐺)
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Fun 𝐺)
35 df-f1 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:ℕ–1-1𝑍 ↔ (𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ Fun 𝐺))
364, 34, 35sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺:ℕ–1-1𝑍)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺:ℕ–1-1𝑍)
38 nnex 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ∈ V
39 ssexg 5280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ ∧ ℕ ∈ V) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
406, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
41 f1imaeng 8954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ–1-1𝑍 ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
4237, 6, 40, 41syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
4342ensymd 8945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
44 enfii 9133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
4519, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
46 1nn 12164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ ℕ)
48 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
494, 46, 48sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
5049, 21eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
52 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1)))
53 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))))
5451, 52, 53sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))
555ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺 Fn ℕ)
56 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn ℕ → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5847, 54, 57mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
5958ne0d 4295 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅)
60 nnssre 12157 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ⊆ ℝ
616, 60sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ)
62 fisupcl 9405 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ)) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
6312, 45, 59, 61, 62syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
646, 63sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)
6564nnzd 12526 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℤ)
66 elfz5 13433 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
6710, 65, 66syl2anr 597 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
68 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn ℕ → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
6955, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
7063, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁)))
71 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
7270, 71simpl2im 504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
74 uzssz 12784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
7521, 74eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 ⊆ ℤ
76 zssre 12506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ ⊆ ℝ
7775, 76sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ⊆ ℝ
785ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑍)
7977, 78sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
805, 64ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8277, 81sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
83 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8483ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
8576, 84sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
86 letr 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
8779, 82, 85, 86syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
8873, 87mpan2d 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
8930ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
9060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℝ)
91 ressxr 11199 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
9290, 91sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℝ*)
93 imassrn 6024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 “ ℕ) ⊆ ran 𝐺
944ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
9594frnd 6676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ran 𝐺𝑍)
9693, 95sstrid 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ 𝑍)
9796, 77sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ)
9897, 91sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ*)
99 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
10064adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)
101 leisorel 14359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ∧ (ℕ ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10289, 92, 98, 99, 100, 101syl122anc 1379 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10378, 21eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
104 elfz5 13433 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺𝑥) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
105103, 84, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
10688, 102, 1053imtr4d 293 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) → (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
107 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn ℕ → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))))
108107baibd 540 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
10955, 108sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
110106, 109sylibrd 258 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
111 fimaxre2 12100 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥)
11261, 45, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥)
113 suprub 12116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
114113ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
11561, 59, 112, 114syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
116115adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
117110, 116impbid 211 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
11867, 117bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
119118ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
1202, 7, 119pm5.21ndd 380 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
121120eqrdv 2734 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
122121fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = (♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
12364nnnn0d 12473 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ0)
124 hashfz1 14246 . . . . 5 (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
125123, 124syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
126 hashen 14247 . . . . . 6 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
12745, 19, 126syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
12843, 127mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
129122, 125, 1283eqtr3d 2784 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
130129oveq2d 7373 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
131130, 121eqtr3d 2778 1 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105   Or wor 5544  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1wf1 6493  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cen 8880  Fincfn 8883  supcsup 9376  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  chash 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  isercolllem3  15551
  Copyright terms: Public domain W3C validator