MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercolllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercolllem2 14774
Description: Lemma for isercoll 14776. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 12664 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → 𝑥 ∈ ℕ)
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → 𝑥 ∈ ℕ))
3 cnvimass 5727 . . . . . . . . 9 (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ dom 𝐺
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
54adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
63, 5fssdm 6295 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ)
76sseld 3827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ))
8 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ)
9 nnuz 12006 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9syl6eleq 2917 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
11 ltso 10438 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → < Or ℝ)
13 fzfid 13068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
14 ffun 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:ℕ⟶𝑍 → Fun 𝐺)
15 funimacnv 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐺 → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
165, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
17 inss1 4058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺) ⊆ (𝑀...𝑁)
1816, 17syl6eqss 3881 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ⊆ (𝑀...𝑁))
19 ssfi 8450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin)
2013, 18, 19syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin)
21 ssid 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ ⊆ ℕ
22 isercoll.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑍 = (ℤ𝑀)
23 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
24 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
2522, 23, 4, 24isercolllem1 14773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ℕ ⊆ ℕ) → (𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
2621, 25mpan2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
27 ffn 6279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺:ℕ⟶𝑍𝐺 Fn ℕ)
28 fnresdm 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 Fn ℕ → (𝐺 ↾ ℕ) = 𝐺)
29 isoeq1 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ↾ ℕ) = 𝐺 → ((𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ↔ 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ))))
304, 27, 28, 294syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ↔ 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ))))
3126, 30mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
32 isof1o 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) → 𝐺:ℕ–1-1-onto→(𝐺 “ ℕ))
33 f1ocnv 6391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:ℕ–1-1-onto→(𝐺 “ ℕ) → 𝐺:(𝐺 “ ℕ)–1-1-onto→ℕ)
34 f1ofun 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:(𝐺 “ ℕ)–1-1-onto→ℕ → Fun 𝐺)
3531, 32, 33, 344syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Fun 𝐺)
36 df-f1 6129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:ℕ–1-1𝑍 ↔ (𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ Fun 𝐺))
374, 35, 36sylanbrc 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺:ℕ–1-1𝑍)
3837adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺:ℕ–1-1𝑍)
39 nnex 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ∈ V
40 ssexg 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ ∧ ℕ ∈ V) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
416, 39, 40sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
42 f1imaeng 8283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ–1-1𝑍 ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
4338, 6, 41, 42syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
4443ensymd 8274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
45 enfii 8447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
4620, 44, 45syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
47 1nn 11364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ ℕ)
49 ffvelrn 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
504, 47, 49sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
5150, 22syl6eleq 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
5251adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
53 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1)))
54 elfzuzb 12630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))))
5552, 53, 54sylanbrc 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))
565ffnd 6280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺 Fn ℕ)
57 elpreima 6587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn ℕ → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5948, 55, 58mpbir2and 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
6059ne0d 4152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅)
61 nnssre 11355 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ⊆ ℝ
626, 61syl6ss 3840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ)
63 fisupcl 8645 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ)) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
6412, 46, 60, 62, 63syl13anc 1497 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
656, 64sseldd 3829 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)
6665nnzd 11810 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℤ)
67 elfz5 12628 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
6810, 66, 67syl2anr 592 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
69 elpreima 6587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 Fn ℕ → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
7056, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
7164, 70mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁)))
7271simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))
73 elfzle2 12639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
7574adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
76 uzssz 11989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
7722, 76eqsstri 3861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 ⊆ ℤ
78 zssre 11712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ ⊆ ℝ
7977, 78sstri 3837 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ⊆ ℝ
805ffvelrnda 6609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑍)
8179, 80sseldi 3826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
825, 65ffvelrnd 6610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8382adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8479, 83sseldi 3826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
85 eluzelz 11979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8685ad2antlr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
8778, 86sseldi 3826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
88 letr 10451 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
8981, 84, 87, 88syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
9075, 89mpan2d 687 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
9131ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
9261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℝ)
93 ressxr 10401 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
9492, 93syl6ss 3840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℝ*)
95 imassrn 5719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 “ ℕ) ⊆ ran 𝐺
964ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
9796frnd 6286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ran 𝐺𝑍)
9895, 97syl5ss 3839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ 𝑍)
9998, 79syl6ss 3840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ)
10099, 93syl6ss 3840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ*)
101 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
10265adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)
103 leisorel 13534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ∧ (ℕ ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10491, 94, 100, 101, 102, 103syl122anc 1504 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10580, 22syl6eleq 2917 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
106 elfz5 12628 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺𝑥) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
107105, 86, 106syl2anc 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
10890, 104, 1073imtr4d 286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) → (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
109 elpreima 6587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn ℕ → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))))
110109baibd 537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
11156, 110sylan 577 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
112108, 111sylibrd 251 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
113 fimaxre2 11300 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥)
11462, 46, 113syl2anc 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥)
115 suprub 11315 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
116115ex 403 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
11762, 60, 114, 116syl3anc 1496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
118117adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
119112, 118impbid 204 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
12068, 119bitrd 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
121120ex 403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
1222, 7, 121pm5.21ndd 371 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
123122eqrdv 2824 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
124123fveq2d 6438 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = (♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
12565nnnn0d 11679 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ0)
126 hashfz1 13427 . . . . 5 (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
127125, 126syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
128 hashen 13428 . . . . . 6 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
12946, 20, 128syl2anc 581 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
13044, 129mpbird 249 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
131124, 127, 1303eqtr3d 2870 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
132131oveq2d 6922 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
133132, 123eqtr3d 2864 1 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  wrex 3119  Vcvv 3415  cin 3798  wss 3799  c0 4145   class class class wbr 4874   Or wor 5263  ccnv 5342  ran crn 5344  cres 5345  cima 5346  Fun wfun 6118   Fn wfn 6119  wf 6120  1-1wf1 6121  1-1-ontowf1o 6123  cfv 6124   Isom wiso 6125  (class class class)co 6906  cen 8220  Fincfn 8223  supcsup 8616  cr 10252  1c1 10254   + caddc 10256  *cxr 10391   < clt 10392  cle 10393  cn 11351  0cn0 11619  cz 11705  cuz 11969  ...cfz 12620  chash 13411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-hash 13412
This theorem is referenced by:  isercolllem3  14775
  Copyright terms: Public domain W3C validator