MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercolllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercolllem2 15377
Description: Lemma for isercoll 15379. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 13285 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → 𝑥 ∈ ℕ)
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → 𝑥 ∈ ℕ))
3 cnvimass 5989 . . . . . . . . 9 (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ dom 𝐺
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
54adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
63, 5fssdm 6620 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ)
76sseld 3920 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ))
8 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ)
9 nnuz 12621 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
11 ltso 11055 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → < Or ℝ)
13 fzfid 13693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
14 ffun 6603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:ℕ⟶𝑍 → Fun 𝐺)
15 funimacnv 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐺 → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
165, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
17 inss1 4162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺) ⊆ (𝑀...𝑁)
1816, 17eqsstrdi 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ⊆ (𝑀...𝑁))
1913, 18ssfid 9042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin)
20 ssid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ ⊆ ℕ
21 isercoll.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑍 = (ℤ𝑀)
22 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
2421, 22, 4, 23isercolllem1 15376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ℕ ⊆ ℕ) → (𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
2520, 24mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
26 ffn 6600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺:ℕ⟶𝑍𝐺 Fn ℕ)
27 fnresdm 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 Fn ℕ → (𝐺 ↾ ℕ) = 𝐺)
28 isoeq1 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ↾ ℕ) = 𝐺 → ((𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ↔ 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ))))
294, 26, 27, 284syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ↔ 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ))))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
31 isof1o 7194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) → 𝐺:ℕ–1-1-onto→(𝐺 “ ℕ))
32 f1ocnv 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:ℕ–1-1-onto→(𝐺 “ ℕ) → 𝐺:(𝐺 “ ℕ)–1-1-onto→ℕ)
33 f1ofun 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:(𝐺 “ ℕ)–1-1-onto→ℕ → Fun 𝐺)
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Fun 𝐺)
35 df-f1 6438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:ℕ–1-1𝑍 ↔ (𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ Fun 𝐺))
364, 34, 35sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺:ℕ–1-1𝑍)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺:ℕ–1-1𝑍)
38 nnex 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ∈ V
39 ssexg 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ ∧ ℕ ∈ V) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
406, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
41 f1imaeng 8800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ–1-1𝑍 ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
4237, 6, 40, 41syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
4342ensymd 8791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
44 enfii 8972 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
4519, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
46 1nn 11984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ ℕ)
48 ffvelrn 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
494, 46, 48sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
5049, 21eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
52 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1)))
53 elfzuzb 13250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))))
5451, 52, 53sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))
555ffnd 6601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺 Fn ℕ)
56 elpreima 6935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn ℕ → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5847, 54, 57mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
5958ne0d 4269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅)
60 nnssre 11977 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ⊆ ℝ
616, 60sstrdi 3933 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ)
62 fisupcl 9228 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ)) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
6312, 45, 59, 61, 62syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
646, 63sseldd 3922 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)
6564nnzd 12425 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℤ)
66 elfz5 13248 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
6710, 65, 66syl2anr 597 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
68 elpreima 6935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn ℕ → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
6955, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
7063, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁)))
71 elfzle2 13260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
7270, 71simpl2im 504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
74 uzssz 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
7521, 74eqsstri 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 ⊆ ℤ
76 zssre 12326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ ⊆ ℝ
7775, 76sstri 3930 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ⊆ ℝ
785ffvelrnda 6961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑍)
7977, 78sselid 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
805, 64ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8277, 81sselid 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
83 eluzelz 12592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8483ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
8576, 84sselid 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
86 letr 11069 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
8779, 82, 85, 86syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
8873, 87mpan2d 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
8930ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
9060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℝ)
91 ressxr 11019 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
9290, 91sstrdi 3933 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℝ*)
93 imassrn 5980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 “ ℕ) ⊆ ran 𝐺
944ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
9594frnd 6608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ran 𝐺𝑍)
9693, 95sstrid 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ 𝑍)
9796, 77sstrdi 3933 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ)
9897, 91sstrdi 3933 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ*)
99 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
10064adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)
101 leisorel 14174 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ∧ (ℕ ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10289, 92, 98, 99, 100, 101syl122anc 1378 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10378, 21eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
104 elfz5 13248 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺𝑥) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
105103, 84, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
10688, 102, 1053imtr4d 294 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) → (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
107 elpreima 6935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn ℕ → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))))
108107baibd 540 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
10955, 108sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
110106, 109sylibrd 258 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
111 fimaxre2 11920 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥)
11261, 45, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥)
113 suprub 11936 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
114113ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
11561, 59, 112, 114syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
116115adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
117110, 116impbid 211 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
11867, 117bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
119118ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
1202, 7, 119pm5.21ndd 381 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
121120eqrdv 2736 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
122121fveq2d 6778 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = (♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
12364nnnn0d 12293 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ0)
124 hashfz1 14060 . . . . 5 (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
125123, 124syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
126 hashen 14061 . . . . . 6 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
12745, 19, 126syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
12843, 127mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
129122, 125, 1283eqtr3d 2786 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
130129oveq2d 7291 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
131130, 121eqtr3d 2780 1 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3432  cin 3886  wss 3887  c0 4256   class class class wbr 5074   Or wor 5502  ccnv 5588  ran crn 5590  cres 5591  cima 5592  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  wf 6429  1-1wf1 6430  1-1-ontowf1o 6432  cfv 6433   Isom wiso 6434  (class class class)co 7275  cen 8730  Fincfn 8733  supcsup 9199  cr 10870  1c1 10872   + caddc 10874  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  chash 14044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045
This theorem is referenced by:  isercolllem3  15378
  Copyright terms: Public domain W3C validator