MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercolllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercolllem2 15115
Description: Lemma for isercoll 15117. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 13027 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → 𝑥 ∈ ℕ)
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → 𝑥 ∈ ℕ))
3 cnvimass 5923 . . . . . . . . 9 (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ dom 𝐺
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
54adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
63, 5fssdm 6524 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ)
76sseld 3876 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ))
8 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ)
9 nnuz 12363 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
11 ltso 10799 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → < Or ℝ)
13 fzfid 13432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
14 ffun 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:ℕ⟶𝑍 → Fun 𝐺)
15 funimacnv 6420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐺 → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
165, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
17 inss1 4119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺) ⊆ (𝑀...𝑁)
1816, 17eqsstrdi 3931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ⊆ (𝑀...𝑁))
1913, 18ssfid 8819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin)
20 ssid 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ ⊆ ℕ
21 isercoll.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑍 = (ℤ𝑀)
22 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
2421, 22, 4, 23isercolllem1 15114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ℕ ⊆ ℕ) → (𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
2520, 24mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
26 ffn 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺:ℕ⟶𝑍𝐺 Fn ℕ)
27 fnresdm 6455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 Fn ℕ → (𝐺 ↾ ℕ) = 𝐺)
28 isoeq1 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ↾ ℕ) = 𝐺 → ((𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ↔ 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ))))
294, 26, 27, 284syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐺 ↾ ℕ) Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ↔ 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ))))
3025, 29mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
31 isof1o 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) → 𝐺:ℕ–1-1-onto→(𝐺 “ ℕ))
32 f1ocnv 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:ℕ–1-1-onto→(𝐺 “ ℕ) → 𝐺:(𝐺 “ ℕ)–1-1-onto→ℕ)
33 f1ofun 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:(𝐺 “ ℕ)–1-1-onto→ℕ → Fun 𝐺)
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Fun 𝐺)
35 df-f1 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:ℕ–1-1𝑍 ↔ (𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ Fun 𝐺))
364, 34, 35sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺:ℕ–1-1𝑍)
3736adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺:ℕ–1-1𝑍)
38 nnex 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ∈ V
39 ssexg 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ ∧ ℕ ∈ V) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
406, 38, 39sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
41 f1imaeng 8615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ–1-1𝑍 ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ V) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
4237, 6, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
4342ensymd 8606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
44 enfii 8784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
4519, 43, 44syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
46 1nn 11727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ ℕ)
48 ffvelrn 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
494, 46, 48sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
5049, 21eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
5150adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
52 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1)))
53 elfzuzb 12992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))))
5451, 52, 53sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))
555ffnd 6505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺 Fn ℕ)
56 elpreima 6835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn ℕ → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5847, 54, 57mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
5958ne0d 4224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅)
60 nnssre 11720 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ⊆ ℝ
616, 60sstrdi 3889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ)
62 fisupcl 9006 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ)) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
6312, 45, 59, 61, 62syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
646, 63sseldd 3878 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)
6564nnzd 12167 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℤ)
66 elfz5 12990 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
6710, 65, 66syl2anr 600 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
68 elpreima 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn ℕ → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
6955, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
7063, 69mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁)))
71 elfzle2 13002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
7270, 71simpl2im 507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
7372adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁)
74 uzssz 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
7521, 74eqsstri 3911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 ⊆ ℤ
76 zssre 12069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ ⊆ ℝ
7775, 76sstri 3886 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ⊆ ℝ
785ffvelrnda 6861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑍)
7977, 78sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
805, 64ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8180adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8277, 81sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
83 eluzelz 12334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8483ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
8576, 84sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
86 letr 10812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
8779, 82, 85, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≤ 𝑁) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
8873, 87mpan2d 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) → (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
8930ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)))
9060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℝ)
91 ressxr 10763 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
9290, 91sstrdi 3889 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℝ*)
93 imassrn 5914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 “ ℕ) ⊆ ran 𝐺
944ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
9594frnd 6512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ran 𝐺𝑍)
9693, 95sstrid 3888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ 𝑍)
9796, 77sstrdi 3889 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ)
9897, 91sstrdi 3889 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ*)
99 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
10064adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)
101 leisorel 13912 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Isom < , < (ℕ, (𝐺 “ ℕ)) ∧ (ℕ ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 “ ℕ) ⊆ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ)) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10289, 92, 98, 99, 100, 101syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑥) ≤ (𝐺‘sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10378, 21eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
104 elfz5 12990 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺𝑥) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
105103, 84, 104syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐺𝑥) ≤ 𝑁))
10688, 102, 1053imtr4d 297 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) → (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
107 elpreima 6835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn ℕ → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))))
108107baibd 543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
10955, 108sylan 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (𝑀...𝑁)))
110106, 109sylibrd 262 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) → 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
111 fimaxre2 11663 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥)
11261, 45, 111syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥)
113 suprub 11679 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
114113ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℝ ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))𝑦𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
11561, 59, 112, 114syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
116115adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
117110, 116impbid 215 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
11867, 117bitrd 282 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
119118ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
1202, 7, 119pm5.21ndd 384 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑥 ∈ (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
121120eqrdv 2736 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
122121fveq2d 6678 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = (♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
12364nnnn0d 12036 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ0)
124 hashfz1 13798 . . . . 5 (sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
125123, 124syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
126 hashen 13799 . . . . . 6 (((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
12745, 19, 126syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≈ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
12843, 127mpbird 260 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (♯‘(𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
129122, 125, 1283eqtr3d 2781 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) = (♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
130129oveq2d 7186 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...sup((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
131130, 121eqtr3d 2775 1 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  Vcvv 3398  cin 3842  wss 3843  c0 4211   class class class wbr 5030   Or wor 5441  ccnv 5524  ran crn 5526  cres 5527  cima 5528  Fun wfun 6333   Fn wfn 6334  wf 6335  1-1wf1 6336  1-1-ontowf1o 6338  cfv 6339   Isom wiso 6340  (class class class)co 7170  cen 8552  Fincfn 8555  supcsup 8977  cr 10614  1c1 10616   + caddc 10618  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754  cn 11716  0cn0 11976  cz 12062  cuz 12324  ...cfz 12981  chash 13782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-hash 13783
This theorem is referenced by:  isercolllem3  15116
  Copyright terms: Public domain W3C validator