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Theorem isercolllem2 15616
Description: Lemma for isercoll 15618. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isercoll.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isercoll.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
isercoll.i ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...(β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))) = (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑍(π‘˜)
Proof of Theorem isercolllem2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 13534 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
21a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) β†’ π‘₯ ∈ β„•))
3 cnvimass 6079 . . . . . . . . 9 (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† dom 𝐺
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
54adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
63, 5fssdm 6736 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† β„•)
76sseld 3980 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ β„•))
8 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„•)
9 nnuz 12869 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
108, 9eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
11 ltso 11298 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ < Or ℝ)
13 fzfid 13942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
14 ffun 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:β„•βŸΆπ‘ β†’ Fun 𝐺)
15 funimacnv 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐺 β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
165, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
17 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺) βŠ† (𝑀...𝑁)
1816, 17eqsstrdi 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) βŠ† (𝑀...𝑁))
1913, 18ssfid 9269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin)
20 ssid 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„• βŠ† β„•
21 isercoll.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
22 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
23 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
2421, 22, 4, 23isercolllem1 15615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ β„• βŠ† β„•) β†’ (𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
2520, 24mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
26 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺:β„•βŸΆπ‘ β†’ 𝐺 Fn β„•)
27 fnresdm 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 Fn β„• β†’ (𝐺 β†Ύ β„•) = 𝐺)
28 isoeq1 7316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 β†Ύ β„•) = 𝐺 β†’ ((𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) ↔ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•))))
294, 26, 27, 284syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) ↔ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•))))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
31 isof1o 7322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) β†’ 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(𝐺 β€œ β„•))
32 f1ocnv 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(𝐺 β€œ β„•) β†’ ◑𝐺:(𝐺 β€œ β„•)–1-1-ontoβ†’β„•)
33 f1ofun 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑𝐺:(𝐺 β€œ β„•)–1-1-ontoβ†’β„• β†’ Fun ◑𝐺)
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Fun ◑𝐺)
35 df-f1 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:ℕ–1-1→𝑍 ↔ (𝐺:β„•βŸΆπ‘ ∧ Fun ◑𝐺))
364, 34, 35sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺:ℕ–1-1→𝑍)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝐺:ℕ–1-1→𝑍)
38 nnex 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• ∈ V
39 ssexg 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† β„• ∧ β„• ∈ V) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
406, 38, 39sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
41 f1imaeng 9012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ–1-1→𝑍 ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† β„• ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ V) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) β‰ˆ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
4237, 6, 40, 41syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) β‰ˆ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
4342ensymd 9003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
44 enfii 9191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
4519, 43, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
46 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„•
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 1 ∈ β„•)
48 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:β„•βŸΆπ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜1) ∈ 𝑍)
494, 46, 48sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) ∈ 𝑍)
5049, 21eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
52 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1)))
53 elfzuzb 13499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((πΊβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))))
5451, 52, 53sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁))
555ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝐺 Fn β„•)
56 elpreima 7058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn β„• β†’ (1 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5847, 54, 57mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 1 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
5958ne0d 4334 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ…)
60 nnssre 12220 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• βŠ† ℝ
616, 60sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ)
62 fisupcl 9466 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ ((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ… ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ)) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
6312, 45, 59, 61, 62syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
646, 63sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•)
6564nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„€)
66 elfz5 13497 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
6710, 65, 66syl2anr 595 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
68 elpreima 7058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn β„• β†’ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
6955, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
7063, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁)))
71 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁)
7270, 71simpl2im 502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁)
7372adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁)
74 uzssz 12847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
7521, 74eqsstri 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 βŠ† β„€
76 zssre 12569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„€ βŠ† ℝ
7775, 76sstri 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 βŠ† ℝ
785ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑍)
7977, 78sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
805, 64ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8180adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8277, 81sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
83 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8483ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8576, 84sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
86 letr 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
8779, 82, 85, 86syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
8873, 87mpan2d 690 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
8930ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
9060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ β„• βŠ† ℝ)
91 ressxr 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† ℝ*
9290, 91sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ β„• βŠ† ℝ*)
93 imassrn 6069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ran 𝐺
944ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
9594frnd 6724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝑍)
9693, 95sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† 𝑍)
9796, 77sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ℝ)
9897, 91sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ℝ*)
99 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
10064adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•)
101 leisorel 14425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) ∧ (β„• βŠ† ℝ* ∧ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10289, 92, 98, 99, 100, 101syl122anc 1377 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10378, 21eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
104 elfz5 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
105103, 84, 104syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
10688, 102, 1053imtr4d 293 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁)))
107 elpreima 7058 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn β„• β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁))))
108107baibd 538 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁)))
10955, 108sylan 578 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁)))
110106, 109sylibrd 258 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
111 fimaxre2 12163 . . . . . . . . . . . . 13 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯)
11261, 45, 111syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯)
113 suprub 12179 . . . . . . . . . . . . 13 ((((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
114113ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
11561, 59, 112, 114syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
116115adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
117110, 116impbid 211 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
11867, 117bitrd 278 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
119118ex 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
1202, 7, 119pm5.21ndd 378 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
121120eqrdv 2728 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
122121fveq2d 6894 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (β™―β€˜(1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = (β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
12364nnnn0d 12536 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•0)
124 hashfz1 14310 . . . . 5 (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
125123, 124syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (β™―β€˜(1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
126 hashen 14311 . . . . . 6 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))) ↔ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
12745, 19, 126syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ ((β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))) ↔ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
12843, 127mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
129122, 125, 1283eqtr3d 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
130129oveq2d 7427 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (1...(β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))))
131130, 121eqtr3d 2772 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...(β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))) = (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   Or wor 5586  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7411   β‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  supcsup 9437  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  β™―chash 14294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295
This theorem is referenced by:  isercolllem3  15617
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