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Theorem isercolllem2 15556
Description: Lemma for isercoll 15558. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isercoll.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isercoll.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
isercoll.i ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...(β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))) = (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem isercolllem2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 13476 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
21a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) β†’ π‘₯ ∈ β„•))
3 cnvimass 6034 . . . . . . . . 9 (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† dom 𝐺
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
54adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
63, 5fssdm 6689 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† β„•)
76sseld 3944 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ β„•))
8 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„•)
9 nnuz 12811 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
108, 9eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
11 ltso 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ < Or ℝ)
13 fzfid 13884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
14 ffun 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:β„•βŸΆπ‘ β†’ Fun 𝐺)
15 funimacnv 6583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐺 β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
165, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
17 inss1 4189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺) βŠ† (𝑀...𝑁)
1816, 17eqsstrdi 3999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) βŠ† (𝑀...𝑁))
1913, 18ssfid 9214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin)
20 ssid 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„• βŠ† β„•
21 isercoll.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
22 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
23 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
2421, 22, 4, 23isercolllem1 15555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ β„• βŠ† β„•) β†’ (𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
2520, 24mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
26 ffn 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺:β„•βŸΆπ‘ β†’ 𝐺 Fn β„•)
27 fnresdm 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 Fn β„• β†’ (𝐺 β†Ύ β„•) = 𝐺)
28 isoeq1 7263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 β†Ύ β„•) = 𝐺 β†’ ((𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) ↔ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•))))
294, 26, 27, 284syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ β„•) Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) ↔ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•))))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
31 isof1o 7269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) β†’ 𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(𝐺 β€œ β„•))
32 f1ocnv 6797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’(𝐺 β€œ β„•) β†’ ◑𝐺:(𝐺 β€œ β„•)–1-1-ontoβ†’β„•)
33 f1ofun 6787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑𝐺:(𝐺 β€œ β„•)–1-1-ontoβ†’β„• β†’ Fun ◑𝐺)
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Fun ◑𝐺)
35 df-f1 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:ℕ–1-1→𝑍 ↔ (𝐺:β„•βŸΆπ‘ ∧ Fun ◑𝐺))
364, 34, 35sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺:ℕ–1-1→𝑍)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝐺:ℕ–1-1→𝑍)
38 nnex 12164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• ∈ V
39 ssexg 5281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† β„• ∧ β„• ∈ V) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
406, 38, 39sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ V)
41 f1imaeng 8957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ–1-1→𝑍 ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† β„• ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ V) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) β‰ˆ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
4237, 6, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) β‰ˆ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
4342ensymd 8948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
44 enfii 9136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
4519, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin)
46 1nn 12169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„•
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 1 ∈ β„•)
48 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:β„•βŸΆπ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜1) ∈ 𝑍)
494, 46, 48sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) ∈ 𝑍)
5049, 21eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
52 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1)))
53 elfzuzb 13441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((πΊβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))))
5451, 52, 53sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁))
555ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 𝐺 Fn β„•)
56 elpreima 7009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn β„• β†’ (1 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜1) ∈ (𝑀...𝑁))))
5847, 54, 57mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ 1 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
5958ne0d 4296 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ…)
60 nnssre 12162 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• βŠ† ℝ
616, 60sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ)
62 fisupcl 9410 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ ((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ… ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ)) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
6312, 45, 59, 61, 62syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
646, 63sseldd 3946 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•)
6564nnzd 12531 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„€)
66 elfz5 13439 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
6710, 65, 66syl2anr 598 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
68 elpreima 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn β„• β†’ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
6955, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁))))
7063, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁)))
71 elfzle2 13451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁)
7270, 71simpl2im 505 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁)
7372adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁)
74 uzssz 12789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
7521, 74eqsstri 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 βŠ† β„€
76 zssre 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„€ βŠ† ℝ
7775, 76sstri 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 βŠ† ℝ
785ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑍)
7977, 78sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
805, 64ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ 𝑍)
8277, 81sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
83 eluzelz 12778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8483ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8576, 84sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
86 letr 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
8779, 82, 85, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ∧ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ≀ 𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
8873, 87mpan2d 693 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
8930ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)))
9060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ β„• βŠ† ℝ)
91 ressxr 11204 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† ℝ*
9290, 91sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ β„• βŠ† ℝ*)
93 imassrn 6025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ran 𝐺
944ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘)
9594frnd 6677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝑍)
9693, 95sstrid 3956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† 𝑍)
9796, 77sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ℝ)
9897, 91sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ℝ*)
99 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
10064adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•)
101 leisorel 14365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 Isom < , < (β„•, (𝐺 β€œ β„•)) ∧ (β„• βŠ† ℝ* ∧ (𝐺 β€œ β„•) βŠ† ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10289, 92, 98, 99, 100, 101syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))))
10378, 21eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
104 elfz5 13439 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
105103, 84, 104syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝑁))
10688, 102, 1053imtr4d 294 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁)))
107 elpreima 7009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn β„• β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁))))
108107baibd 541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁)))
10955, 108sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀...𝑁)))
110106, 109sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
111 fimaxre2 12105 . . . . . . . . . . . . 13 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯)
11261, 45, 111syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯)
113 suprub 12121 . . . . . . . . . . . . 13 ((((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
114113ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) βŠ† ℝ ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
11561, 59, 112, 114syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
116115adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )))
117110, 116impbid 211 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ≀ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
11867, 117bitrd 279 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
119118ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
1202, 7, 119pm5.21ndd 381 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (π‘₯ ∈ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
121120eqrdv 2731 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
122121fveq2d 6847 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (β™―β€˜(1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = (β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))
12364nnnn0d 12478 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•0)
124 hashfz1 14252 . . . . 5 (sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
125123, 124syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (β™―β€˜(1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))) = sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ))
126 hashen 14253 . . . . . 6 (((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) ∈ Fin ∧ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))) ↔ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
12745, 19, 126syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ ((β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))) ↔ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)) β‰ˆ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
12843, 127mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (β™―β€˜(◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
129122, 125, 1283eqtr3d 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < ) = (β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))))
130129oveq2d 7374 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...sup((◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)), ℝ, < )) = (1...(β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))))
131130, 121eqtr3d 2775 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(πΊβ€˜1))) β†’ (1...(β™―β€˜(𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁))))) = (◑𝐺 β€œ (𝑀...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   Or wor 5545  β—‘ccnv 5633  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497   Isom wiso 6498  (class class class)co 7358   β‰ˆ cen 8883  Fincfn 8886  supcsup 9381  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  β™―chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  isercolllem3  15557
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