MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oeng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oeng 8504
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oeng ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oeng
StepHypRef Expression
1 fornex 7633 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
2 f1ofo 6596 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
31, 2impel 508 . 2 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
4 f1oen2g 8502 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
543com23 1122 . 2 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴𝐵)
63, 5mpd3an3 1458 1 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2114  Vcvv 3473   class class class wbr 5040  ontowfo 6327  1-1-ontowf1o 6328  cen 8482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4813  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5434  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-en 8486
This theorem is referenced by:  f1oen  8506  f1imaeng  8545  f1dmvrnfibi  8784  onadju  9595  fictb  9643  canthp1lem2  10051  unbenlem  16220  conjsubgen  18367  dis2ndc  22041  ovoliunlem1  24082  rabfodom  30249  eulerpartlemgs2  31643  matunitlindflem2  34927
  Copyright terms: Public domain W3C validator