Theorem f1oeng 8968

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		focdmex 7954	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
2		f1ofo 6830	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
3	1, 2	impel 514	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
4		f1oen2g 8966	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	3com23 1144	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝐵)
6	3, 5	mpd3an3 1491	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5110  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537   ≈ cen 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-en 8945

This theorem is referenced by:  f1oen  8970  f1imaeng  9012  f1dmvrnfibi  9299  onadju  10178  fictb  10228  canthp1lem2  10639  unbenlem  16969  conjsubgen  19322  dis2ndc  23598  ovoliunlem1  25642  rabfodom  32832  hashimaf1  33136  eulerpartlemgs2  34751  matunitlindflem2  38249