Theorem f1oeng 9028

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		focdmex 7995	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ∈ V))
2		f1ofo 6857	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → 𝐹:𝐴⟶onto𝐵)
3	1, 2	impel 515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
4		f1oen2g 9026	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	3com23 1144	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝐵)
6	3, 5	mpd3an3 1492	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5106  ⟶ontowfo 6559  ⟶1-1ontowf1o 6560   ≈ cen 9001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-en 9005

This theorem is used by:  f1oen  9030  f1imaeng  9072  f1dmvrnfibi  9361  onadju  10302  fictb  10352  canthp1lem2  10768  unbenlem  17118  conjsubgen  19497  matunitlindflem2  23028  dis2ndc  23812  ovoliunlem1  25856  rabfodom  33176  hashimaf1  33475  eulerpartlemgs2  35095  j0ltalephlem  36020