Theorem f1oeng 8955

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		focdmex 7941	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
2		f1ofo 6818	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
3	1, 2	impel 514	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
4		f1oen2g 8953	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	3com23 1142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝐵)
6	3, 5	mpd3an3 1486	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   class class class wbr 5105  –onto→wfo 6523  –1-1-onto→wf1o 6524   ≈ cen 8928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-en 8932

This theorem is referenced by:  f1oen  8957  f1imaeng  8999  f1dmvrnfibi  9286  onadju  10165  fictb  10215  canthp1lem2  10626  unbenlem  16958  conjsubgen  19312  dis2ndc  23578  ovoliunlem1  25622  rabfodom  32761  hashimaf1  33068  eulerpartlemgs2  34687  matunitlindflem2  38128