MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oeng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oeng 8792
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oeng ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oeng
StepHypRef Expression
1 focdmex 7830 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
2 f1ofo 6753 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
31, 2impel 507 . 2 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
4 f1oen2g 8789 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
543com23 1126 . 2 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴𝐵)
63, 5mpd3an3 1462 1 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2104  Vcvv 3437   class class class wbr 5081  ontowfo 6456  1-1-ontowf1o 6457  cen 8761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-en 8765
This theorem is referenced by:  f1oen  8794  f1imaeng  8835  f1dmvrnfibi  9151  onadju  9999  fictb  10051  canthp1lem2  10459  unbenlem  16658  conjsubgen  18916  dis2ndc  22660  ovoliunlem1  24715  rabfodom  30900  eulerpartlemgs2  32396  matunitlindflem2  35822
  Copyright terms: Public domain W3C validator