Theorem f1oeng 8910

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		focdmex 7902	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
2		f1ofo 6781	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
3	1, 2	impel 505	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)
4		f1oen2g 8908	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	4	3com23 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≈ 𝐵)
6	3, 5	mpd3an3 1465	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491   ≈ cen 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-en 8887

This theorem is referenced by:  f1oen  8912  f1imaeng  8954  f1dmvrnfibi  9244  onadju  10107  fictb  10157  canthp1lem2  10567  unbenlem  16870  conjsubgen  19217  dis2ndc  23435  ovoliunlem1  25479  rabfodom  32590  hashimaf1  32899  eulerpartlemgs2  34540  matunitlindflem2  37952