Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfacen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfacen 13797
 Description: The number of bijections between two sets is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfacen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓

Proof of Theorem hashfacen
Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8496 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 8496 . 2 (𝐶𝐷 ↔ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷)
3 exdistrv 1956 . . 3 (∃𝑔(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷))
4 f1of 6591 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑓:𝐴𝐶)
5 f1odm 6595 . . . . . . . . . 10 (:𝐶1-1-onto𝐷 → dom = 𝐶)
6 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
76dmex 7594 . . . . . . . . . 10 dom ∈ V
85, 7eqeltrrdi 2920 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷𝐶 ∈ V)
9 f1odm 6595 . . . . . . . . . 10 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑔 = 𝐴)
10 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1110dmex 7594 . . . . . . . . . 10 dom 𝑔 ∈ V
129, 11eqeltrrdi 2920 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
13 elmapg 8397 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐶m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
148, 12, 13syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓 ∈ (𝐶m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
154, 14syl5ibr 248 . . . . . . 7 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑓 ∈ (𝐶m 𝐴)))
1615abssdv 4024 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ⊆ (𝐶m 𝐴))
17 ovex 7166 . . . . . . 7 (𝐶m 𝐴) ∈ V
1817ssex 5201 . . . . . 6 ({𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ⊆ (𝐶m 𝐴) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∈ V)
1916, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∈ V)
20 f1of 6591 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑓:𝐵𝐷)
21 f1ofo 6598 . . . . . . . . . . 11 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐶onto𝐷)
22 forn 6569 . . . . . . . . . . 11 (:𝐶onto𝐷 → ran = 𝐷)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (:𝐶1-1-onto𝐷 → ran = 𝐷)
246rnex 7595 . . . . . . . . . 10 ran ∈ V
2523, 24eqeltrrdi 2920 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷𝐷 ∈ V)
26 f1ofo 6598 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐴onto𝐵)
27 forn 6569 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐴onto𝐵 → ran 𝑔 = 𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑔 = 𝐵)
2910rnex 7595 . . . . . . . . . 10 ran 𝑔 ∈ V
3028, 29eqeltrrdi 2920 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
31 elmapg 8397 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐷m 𝐵) ↔ 𝑓:𝐵𝐷))
3225, 30, 31syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓 ∈ (𝐷m 𝐵) ↔ 𝑓:𝐵𝐷))
3320, 32syl5ibr 248 . . . . . . 7 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑓 ∈ (𝐷m 𝐵)))
3433abssdv 4024 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ⊆ (𝐷m 𝐵))
35 ovex 7166 . . . . . . 7 (𝐷m 𝐵) ∈ V
3635ssex 5201 . . . . . 6 ({𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ⊆ (𝐷m 𝐵) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ∈ V)
3734, 36syl 17 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ∈ V)
38 f1oco 6613 . . . . . . . . 9 ((:𝐶1-1-onto𝐷𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
3938adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
40 f1ocnv 6603 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
42 f1oco 6613 . . . . . . . 8 (((𝑥):𝐴1-1-onto𝐷𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
4339, 41, 42syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
4443ex 415 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷))
45 vex 3476 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
46 f1oeq1 6580 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑥 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑥:𝐴1-1-onto𝐶))
4745, 46elab 3647 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶)
486, 45coex 7613 . . . . . . . 8 (𝑥) ∈ V
4910cnvex 7608 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
5048, 49coex 7613 . . . . . . 7 ((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ V
51 f1oeq1 6580 . . . . . . 7 (𝑓 = ((𝑥) ∘ 𝑔) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷 ↔ ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷))
5250, 51elab 3647 . . . . . 6 (((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ↔ ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
5344, 47, 523imtr4g 298 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} → ((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}))
54 f1ocnv 6603 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐷1-1-onto𝐶)
5554ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → :𝐷1-1-onto𝐶)
56 f1oco 6613 . . . . . . . . . 10 ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷𝑔:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
5756ancoms 461 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
5857adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
59 f1oco 6613 . . . . . . . 8 ((:𝐷1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
6055, 58, 59syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
6160ex 415 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶))
62 vex 3476 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
63 f1oeq1 6580 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑦 → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑦:𝐵1-1-onto𝐷))
6462, 63elab 3647 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ↔ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)
656cnvex 7608 . . . . . . . 8 ∈ V
6662, 10coex 7613 . . . . . . . 8 (𝑦𝑔) ∈ V
6765, 66coex 7613 . . . . . . 7 ( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ V
68 f1oeq1 6580 . . . . . . 7 (𝑓 = ( ∘ (𝑦𝑔)) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶 ↔ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶))
6967, 68elab 3647 . . . . . 6 (( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ↔ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
7061, 64, 693imtr4g 298 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} → ( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶}))
7147, 64anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∧ 𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}) ↔ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷))
72 coass 6094 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔))
73 f1ococnv1 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐴))
7473ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐴))
7574coeq2d 5709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
7639adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
77 f1of 6591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥):𝐴1-1-onto𝐷 → (𝑥):𝐴𝐷)
78 fcoi1 6528 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥):𝐴𝐷 → ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑥))
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑥))
8075, 79eqtrd 2855 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = (𝑥))
8172, 80syl5req 2868 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔))
82 coass 6094 . . . . . . . . . . 11 (() ∘ (𝑦𝑔)) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔)))
83 f1ococnv2 6617 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐶1-1-onto𝐷 → () = ( I ↾ 𝐷))
8483ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → () = ( I ↾ 𝐷))
8584coeq1d 5708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (() ∘ (𝑦𝑔)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)))
8658adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
87 f1of 6591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷 → (𝑦𝑔):𝐴𝐷)
88 fcoi2 6529 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐴𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
9085, 89eqtrd 2855 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (() ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
9182, 90syl5eqr 2869 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) = (𝑦𝑔))
9281, 91eqeq12d 2836 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑦𝑔)))
93 eqcom 2827 . . . . . . . . 9 ((((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑦𝑔) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔))
9492, 93syl6bb 289 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔)))
95 f1of1 6590 . . . . . . . . . 10 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐶1-1𝐷)
9695ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → :𝐶1-1𝐷)
97 f1of 6591 . . . . . . . . . 10 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑥:𝐴𝐶)
9897ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑥:𝐴𝐶)
9960adantrl 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
100 f1of 6591 . . . . . . . . . 10 (( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶 → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶)
102 cocan1 7024 . . . . . . . . 9 ((:𝐶1-1𝐷𝑥:𝐴𝐶 ∧ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔))))
10396, 98, 101, 102syl3anc 1367 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔))))
10426ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑔:𝐴onto𝐵)
105 f1ofn 6592 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷𝑦 Fn 𝐵)
106105ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑦 Fn 𝐵)
10743adantrr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
108 f1ofn 6592 . . . . . . . . . 10 (((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷 → ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵)
110 cocan2 7025 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴onto𝐵𝑦 Fn 𝐵 ∧ ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵) → ((𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
111104, 106, 109, 110syl3anc 1367 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
11294, 103, 1113bitr3d 311 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
113112ex 415 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔))))
11471, 113syl5bi 244 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∧ 𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔))))
11519, 37, 53, 70, 114en3d 8524 . . . 4 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
116115exlimivv 1933 . . 3 (∃𝑔(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
1173, 116sylbir 237 . 2 ((∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
1181, 2, 117syl2anb 599 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  {cab 2798  Vcvv 3473   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5042   I cid 5435  ◡ccnv 5530  dom cdm 5531  ran crn 5532   ↾ cres 5533   ∘ ccom 5535   Fn wfn 6326  ⟶wf 6327  –1-1→wf1 6328  –onto→wfo 6329  –1-1-onto→wf1o 6330  (class class class)co 7133   ↑m cmap 8384   ≈ cen 8484 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-map 8386  df-en 8488 This theorem is referenced by:  poimirlem9  34942
 Copyright terms: Public domain W3C validator