MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfacen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfacen 13444
Description: The number of bijections between two sets is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfacen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓

Proof of Theorem hashfacen
Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8173 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 8173 . 2 (𝐶𝐷 ↔ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷)
3 eeanv 2346 . . 3 (∃𝑔(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷))
4 f1of 6324 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑓:𝐴𝐶)
5 f1odm 6328 . . . . . . . . . 10 (:𝐶1-1-onto𝐷 → dom = 𝐶)
6 vex 3353 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
76dmex 7301 . . . . . . . . . 10 dom ∈ V
85, 7syl6eqelr 2853 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷𝐶 ∈ V)
9 f1odm 6328 . . . . . . . . . 10 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑔 = 𝐴)
10 vex 3353 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1110dmex 7301 . . . . . . . . . 10 dom 𝑔 ∈ V
129, 11syl6eqelr 2853 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
13 elmapg 8077 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐶𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
148, 12, 13syl2anr 590 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓 ∈ (𝐶𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
154, 14syl5ibr 237 . . . . . . 7 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑓 ∈ (𝐶𝑚 𝐴)))
1615abssdv 3838 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ⊆ (𝐶𝑚 𝐴))
17 ovex 6878 . . . . . . 7 (𝐶𝑚 𝐴) ∈ V
1817ssex 4965 . . . . . 6 ({𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ⊆ (𝐶𝑚 𝐴) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∈ V)
1916, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∈ V)
20 f1of 6324 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑓:𝐵𝐷)
21 f1ofo 6331 . . . . . . . . . . 11 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐶onto𝐷)
22 forn 6303 . . . . . . . . . . 11 (:𝐶onto𝐷 → ran = 𝐷)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (:𝐶1-1-onto𝐷 → ran = 𝐷)
246rnex 7302 . . . . . . . . . 10 ran ∈ V
2523, 24syl6eqelr 2853 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷𝐷 ∈ V)
26 f1ofo 6331 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐴onto𝐵)
27 forn 6303 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐴onto𝐵 → ran 𝑔 = 𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑔 = 𝐵)
2910rnex 7302 . . . . . . . . . 10 ran 𝑔 ∈ V
3028, 29syl6eqelr 2853 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
31 elmapg 8077 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐷𝑚 𝐵) ↔ 𝑓:𝐵𝐷))
3225, 30, 31syl2anr 590 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓 ∈ (𝐷𝑚 𝐵) ↔ 𝑓:𝐵𝐷))
3320, 32syl5ibr 237 . . . . . . 7 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑓 ∈ (𝐷𝑚 𝐵)))
3433abssdv 3838 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ⊆ (𝐷𝑚 𝐵))
35 ovex 6878 . . . . . . 7 (𝐷𝑚 𝐵) ∈ V
3635ssex 4965 . . . . . 6 ({𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ⊆ (𝐷𝑚 𝐵) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ∈ V)
3734, 36syl 17 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ∈ V)
38 f1oco 6346 . . . . . . . . 9 ((:𝐶1-1-onto𝐷𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
3938adantll 705 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
40 f1ocnv 6336 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
4140ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
42 f1oco 6346 . . . . . . . 8 (((𝑥):𝐴1-1-onto𝐷𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
4339, 41, 42syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
4443ex 401 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷))
45 vex 3353 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
46 f1oeq1 6314 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑥 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑥:𝐴1-1-onto𝐶))
4745, 46elab 3507 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶)
486, 45coex 7320 . . . . . . . 8 (𝑥) ∈ V
4910cnvex 7315 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
5048, 49coex 7320 . . . . . . 7 ((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ V
51 f1oeq1 6314 . . . . . . 7 (𝑓 = ((𝑥) ∘ 𝑔) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷 ↔ ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷))
5250, 51elab 3507 . . . . . 6 (((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ↔ ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
5344, 47, 523imtr4g 287 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} → ((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}))
54 f1ocnv 6336 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐷1-1-onto𝐶)
5554ad2antlr 718 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → :𝐷1-1-onto𝐶)
56 f1oco 6346 . . . . . . . . . 10 ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷𝑔:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
5756ancoms 450 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
5857adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
59 f1oco 6346 . . . . . . . 8 ((:𝐷1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
6055, 58, 59syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
6160ex 401 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶))
62 vex 3353 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
63 f1oeq1 6314 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑦 → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑦:𝐵1-1-onto𝐷))
6462, 63elab 3507 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ↔ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)
656cnvex 7315 . . . . . . . 8 ∈ V
6662, 10coex 7320 . . . . . . . 8 (𝑦𝑔) ∈ V
6765, 66coex 7320 . . . . . . 7 ( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ V
68 f1oeq1 6314 . . . . . . 7 (𝑓 = ( ∘ (𝑦𝑔)) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶 ↔ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶))
6967, 68elab 3507 . . . . . 6 (( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ↔ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
7061, 64, 693imtr4g 287 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} → ( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶}))
7147, 64anbi12i 620 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∧ 𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}) ↔ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷))
72 coass 5842 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔))
73 f1ococnv1 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐴))
7473ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐴))
7574coeq2d 5455 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
7639adantrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
77 f1of 6324 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥):𝐴1-1-onto𝐷 → (𝑥):𝐴𝐷)
78 fcoi1 6262 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥):𝐴𝐷 → ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑥))
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑥))
8075, 79eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = (𝑥))
8172, 80syl5req 2812 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔))
82 coass 5842 . . . . . . . . . . 11 (() ∘ (𝑦𝑔)) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔)))
83 f1ococnv2 6350 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐶1-1-onto𝐷 → () = ( I ↾ 𝐷))
8483ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → () = ( I ↾ 𝐷))
8584coeq1d 5454 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (() ∘ (𝑦𝑔)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)))
8658adantrl 707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
87 f1of 6324 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷 → (𝑦𝑔):𝐴𝐷)
88 fcoi2 6263 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐴𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
9085, 89eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (() ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
9182, 90syl5eqr 2813 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) = (𝑦𝑔))
9281, 91eqeq12d 2780 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑦𝑔)))
93 eqcom 2772 . . . . . . . . 9 ((((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑦𝑔) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔))
9492, 93syl6bb 278 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔)))
95 f1of1 6323 . . . . . . . . . 10 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐶1-1𝐷)
9695ad2antlr 718 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → :𝐶1-1𝐷)
97 f1of 6324 . . . . . . . . . 10 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑥:𝐴𝐶)
9897ad2antrl 719 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑥:𝐴𝐶)
9960adantrl 707 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
100 f1of 6324 . . . . . . . . . 10 (( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶 → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶)
102 cocan1 6742 . . . . . . . . 9 ((:𝐶1-1𝐷𝑥:𝐴𝐶 ∧ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔))))
10396, 98, 101, 102syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔))))
10426ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑔:𝐴onto𝐵)
105 f1ofn 6325 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷𝑦 Fn 𝐵)
106105ad2antll 720 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑦 Fn 𝐵)
10743adantrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
108 f1ofn 6325 . . . . . . . . . 10 (((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷 → ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵)
110 cocan2 6743 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴onto𝐵𝑦 Fn 𝐵 ∧ ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵) → ((𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
111104, 106, 109, 110syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
11294, 103, 1113bitr3d 300 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
113112ex 401 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔))))
11471, 113syl5bi 233 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∧ 𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔))))
11519, 37, 53, 70, 114en3d 8201 . . . 4 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
116115exlimivv 2027 . . 3 (∃𝑔(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
1173, 116sylbir 226 . 2 ((∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
1181, 2, 117syl2anb 591 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  {cab 2751  Vcvv 3350  wss 3734   class class class wbr 4811   I cid 5186  ccnv 5278  dom cdm 5279  ran crn 5280  cres 5281  ccom 5283   Fn wfn 6065  wf 6066  1-1wf1 6067  ontowfo 6068  1-1-ontowf1o 6069  (class class class)co 6846  𝑚 cmap 8064  cen 8161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-map 8066  df-en 8165
This theorem is referenced by:  poimirlem9  33863
  Copyright terms: Public domain W3C validator