MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfacenOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfacenOLD 14441
Description: Obsolete version of hashfacen 14440 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hashfacenOLD ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓

Proof of Theorem hashfacenOLD
Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8967 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 8967 . 2 (𝐶𝐷 ↔ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷)
3 exdistrv 1951 . . 3 (∃𝑔(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷))
4 f1of 6832 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑓:𝐴𝐶)
5 f1odm 6836 . . . . . . . . . 10 (:𝐶1-1-onto𝐷 → dom = 𝐶)
6 vex 3467 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
76dmex 7911 . . . . . . . . . 10 dom ∈ V
85, 7eqeltrrdi 2834 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷𝐶 ∈ V)
9 f1odm 6836 . . . . . . . . . 10 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑔 = 𝐴)
10 vex 3467 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1110dmex 7911 . . . . . . . . . 10 dom 𝑔 ∈ V
129, 11eqeltrrdi 2834 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
13 elmapg 8851 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐶m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
148, 12, 13syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓 ∈ (𝐶m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
154, 14imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑓 ∈ (𝐶m 𝐴)))
1615abssdv 4058 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ⊆ (𝐶m 𝐴))
17 ovex 7446 . . . . . . 7 (𝐶m 𝐴) ∈ V
1817ssex 5317 . . . . . 6 ({𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ⊆ (𝐶m 𝐴) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∈ V)
1916, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∈ V)
20 f1of 6832 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑓:𝐵𝐷)
21 f1ofo 6839 . . . . . . . . . . 11 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐶onto𝐷)
22 forn 6807 . . . . . . . . . . 11 (:𝐶onto𝐷 → ran = 𝐷)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (:𝐶1-1-onto𝐷 → ran = 𝐷)
246rnex 7912 . . . . . . . . . 10 ran ∈ V
2523, 24eqeltrrdi 2834 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷𝐷 ∈ V)
26 f1ofo 6839 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐴onto𝐵)
27 forn 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐴onto𝐵 → ran 𝑔 = 𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑔 = 𝐵)
2910rnex 7912 . . . . . . . . . 10 ran 𝑔 ∈ V
3028, 29eqeltrrdi 2834 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
31 elmapg 8851 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐷m 𝐵) ↔ 𝑓:𝐵𝐷))
3225, 30, 31syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓 ∈ (𝐷m 𝐵) ↔ 𝑓:𝐵𝐷))
3320, 32imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑓 ∈ (𝐷m 𝐵)))
3433abssdv 4058 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ⊆ (𝐷m 𝐵))
35 ovex 7446 . . . . . . 7 (𝐷m 𝐵) ∈ V
3635ssex 5317 . . . . . 6 ({𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ⊆ (𝐷m 𝐵) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ∈ V)
3734, 36syl 17 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ∈ V)
38 f1oco 6855 . . . . . . . . 9 ((:𝐶1-1-onto𝐷𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
3938adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
40 f1ocnv 6844 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
42 f1oco 6855 . . . . . . . 8 (((𝑥):𝐴1-1-onto𝐷𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
4339, 41, 42syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
4443ex 411 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷))
45 vex 3467 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
46 f1oeq1 6820 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑥 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑥:𝐴1-1-onto𝐶))
4745, 46elab 3661 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶)
486, 45coex 7932 . . . . . . . 8 (𝑥) ∈ V
4910cnvex 7927 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
5048, 49coex 7932 . . . . . . 7 ((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ V
51 f1oeq1 6820 . . . . . . 7 (𝑓 = ((𝑥) ∘ 𝑔) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷 ↔ ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷))
5250, 51elab 3661 . . . . . 6 (((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ↔ ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
5344, 47, 523imtr4g 295 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} → ((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}))
54 f1ocnv 6844 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐷1-1-onto𝐶)
5554ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → :𝐷1-1-onto𝐶)
56 f1oco 6855 . . . . . . . . . 10 ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷𝑔:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
5756ancoms 457 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
5857adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
59 f1oco 6855 . . . . . . . 8 ((:𝐷1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
6055, 58, 59syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
6160ex 411 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶))
62 vex 3467 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
63 f1oeq1 6820 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑦 → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑦:𝐵1-1-onto𝐷))
6462, 63elab 3661 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ↔ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)
656cnvex 7927 . . . . . . . 8 ∈ V
6662, 10coex 7932 . . . . . . . 8 (𝑦𝑔) ∈ V
6765, 66coex 7932 . . . . . . 7 ( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ V
68 f1oeq1 6820 . . . . . . 7 (𝑓 = ( ∘ (𝑦𝑔)) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶 ↔ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶))
6967, 68elab 3661 . . . . . 6 (( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ↔ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
7061, 64, 693imtr4g 295 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} → ( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶}))
7147, 64anbi12i 626 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∧ 𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}) ↔ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷))
72 coass 6265 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔))
73 f1ococnv1 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐴))
7473ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐴))
7574coeq2d 5860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
7639adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
77 f1of 6832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥):𝐴1-1-onto𝐷 → (𝑥):𝐴𝐷)
78 fcoi1 6765 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥):𝐴𝐷 → ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑥))
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑥))
8075, 79eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = (𝑥))
8172, 80eqtr2id 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔))
82 coass 6265 . . . . . . . . . . 11 (() ∘ (𝑦𝑔)) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔)))
83 f1ococnv2 6859 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐶1-1-onto𝐷 → () = ( I ↾ 𝐷))
8483ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → () = ( I ↾ 𝐷))
8584coeq1d 5859 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (() ∘ (𝑦𝑔)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)))
8658adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
87 f1of 6832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷 → (𝑦𝑔):𝐴𝐷)
88 fcoi2 6766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐴𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
9085, 89eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (() ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
9182, 90eqtr3id 2779 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) = (𝑦𝑔))
9281, 91eqeq12d 2741 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑦𝑔)))
93 eqcom 2732 . . . . . . . . 9 ((((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑦𝑔) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔))
9492, 93bitrdi 286 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔)))
95 f1of1 6831 . . . . . . . . . 10 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐶1-1𝐷)
9695ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → :𝐶1-1𝐷)
97 f1of 6832 . . . . . . . . . 10 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑥:𝐴𝐶)
9897ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑥:𝐴𝐶)
9960adantrl 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
100 f1of 6832 . . . . . . . . . 10 (( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶 → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶)
102 cocan1 7294 . . . . . . . . 9 ((:𝐶1-1𝐷𝑥:𝐴𝐶 ∧ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔))))
10396, 98, 101, 102syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔))))
10426ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑔:𝐴onto𝐵)
105 f1ofn 6833 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷𝑦 Fn 𝐵)
106105ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑦 Fn 𝐵)
10743adantrr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
108 f1ofn 6833 . . . . . . . . . 10 (((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷 → ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵)
110 cocan2 7295 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴onto𝐵𝑦 Fn 𝐵 ∧ ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵) → ((𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
111104, 106, 109, 110syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
11294, 103, 1113bitr3d 308 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
113112ex 411 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔))))
11471, 113biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∧ 𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔))))
11519, 37, 53, 70, 114en3d 9003 . . . 4 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
116115exlimivv 1927 . . 3 (∃𝑔(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
1173, 116sylbir 234 . 2 ((∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
1181, 2, 117syl2anb 596 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2702  Vcvv 3463  wss 3941   class class class wbr 5144   I cid 5570  ccnv 5672  dom cdm 5673  ran crn 5674  cres 5675  ccom 5677   Fn wfn 6538  wf 6539  1-1wf1 6540  ontowfo 6541  1-1-ontowf1o 6542  (class class class)co 7413  m cmap 8838  cen 8954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8840  df-en 8958
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator