MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pf1ind 22225
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1ind.cb 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
pf1ind.cp + = (+gβ€˜π‘…)
pf1ind.ct Β· = (.rβ€˜π‘…)
pf1ind.cq 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
pf1ind.ad ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜁)
pf1ind.mu ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜎)
pf1ind.wa (π‘₯ = (𝐡 Γ— {𝑓}) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
pf1ind.wb (π‘₯ = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
pf1ind.wc (π‘₯ = 𝑓 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
pf1ind.wd (π‘₯ = 𝑔 β†’ (πœ“ ↔ πœ‚))
pf1ind.we (π‘₯ = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜁))
pf1ind.wf (π‘₯ = (𝑓 ∘f Β· 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜎))
pf1ind.wg (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πœ“ ↔ 𝜌))
pf1ind.co ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ πœ’)
pf1ind.pr (πœ‘ β†’ πœƒ)
pf1ind.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
pf1ind (πœ‘ β†’ 𝜌)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘₯, +   𝐡,𝑓,𝑔,π‘₯   πœ‚,𝑓,π‘₯   πœ‘,𝑓,𝑔   π‘₯,𝐴   πœ’,π‘₯   πœ“,𝑓,𝑔   𝑄,𝑓,𝑔   𝜌,π‘₯   𝜎,π‘₯   𝜏,π‘₯   πœƒ,π‘₯   Β· ,𝑓,𝑔,π‘₯   𝜁,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   πœ“(π‘₯)   πœ’(𝑓,𝑔)   πœƒ(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   πœ‚(𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)   𝑄(π‘₯)   𝑅(π‘₯,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pf1ind
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑦 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 6257 . . . . 5 ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (𝐴 ∘ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
2 df1o2 8471 . . . . . . . . 9 1o = {βˆ…}
3 pf1ind.cb . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43fvexi 6898 . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ V
5 0ex 5300 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
6 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))
72, 4, 5, 6mapsncnv 8886 . . . . . . . 8 β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) = (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))
87coeq2i 5853 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))
92, 4, 5, 6mapsnf1o2 8887 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)):(𝐡 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐡
10 f1ococnv2 6853 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)):(𝐡 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐡 β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = ( I β†Ύ 𝐡))
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = ( I β†Ύ 𝐡))
128, 11eqtr3id 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ( I β†Ύ 𝐡))
1312coeq2d 5855 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) = (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
141, 13eqtrid 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
15 pf1ind.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑄)
16 pf1ind.cq . . . . . 6 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
1716, 3pf1f 22220 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ 𝐴:𝐡⟢𝐡)
18 fcoi1 6758 . . . . 5 (𝐴:𝐡⟢𝐡 β†’ (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝐴)
1915, 17, 183syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝐴)
2014, 19eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = 𝐴)
21 pf1ind.cp . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
22 pf1ind.ct . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
23 eqid 2726 . . . . . 6 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
2423, 3evlval 21996 . . . . 5 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
2524rneqi 5929 . . . 4 ran (1o eval 𝑅) = ran ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
26 an4 653 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) ↔ ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) ∧ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 ran (1o eval 𝑅) = ran (1o eval 𝑅)
2816, 3, 27mpfpf1 22221 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄)
2916, 3, 27mpfpf1 22221 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄)
30 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑓 ∈ V
31 pf1ind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑓 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
3230, 31elab 3663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜏)
33 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑓 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
3432, 33bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝜏 ↔ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
3534anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((𝜏 ∧ πœ‚) ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚)))
3635anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) ↔ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘)))
37 ovex 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ V
38 pf1ind.we . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜁))
3937, 38elab 3663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜁)
40 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔))
4140eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4239, 41bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝜁 ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4336, 42imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜁) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
44 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑔 ∈ V
45 pf1ind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑔 β†’ (πœ“ ↔ πœ‚))
4644, 45elab 3663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ πœ‚)
47 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑔 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4846, 47bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (πœ‚ ↔ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4948anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
5049anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) ↔ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘)))
51 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
5251eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
5350, 52imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
54 pf1ind.ad . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜁)
5554expcom 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜁))
5655an4s 657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) ∧ (𝜏 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜁))
5756expimpd 453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ (((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜁))
5843, 53, 57vtocl2ga 3561 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄 ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
5928, 29, 58syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
6059expcomd 416 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
6160impcom 407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
6225, 3mpff 22005 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ π‘Ž:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6362ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ π‘Ž:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6463ffnd 6711 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ π‘Ž Fn (𝐡 ↑m 1o))
6525, 3mpff 22005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ 𝑏:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6665ad2antll 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ 𝑏:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6766ffnd 6711 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 ↑m 1o))
68 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})) = (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))
692, 4, 5, 68mapsnf1o3 8888 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐡 ↑m 1o)
70 f1of 6826 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐡 ↑m 1o) β†’ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
7169, 70mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
72 ovexd 7439 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (𝐡 ↑m 1o) ∈ V)
734a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ 𝐡 ∈ V)
74 inidm 4213 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ↑m 1o) ∩ (𝐡 ↑m 1o)) = (𝐡 ↑m 1o)
7564, 67, 71, 72, 72, 73, 74ofco 7689 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
7675eleq1d 2812 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
7761, 76sylibrd 259 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
7877expimpd 453 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) ∧ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
7926, 78biimtrid 241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
8079imp 406 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
81 ovex 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ V
82 pf1ind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑓 ∘f Β· 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜎))
8381, 82elab 3663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜎)
84 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔))
8584eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
8683, 85bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝜎 ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
8736, 86imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜎) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
88 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
8988eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9050, 89imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
91 pf1ind.mu . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜎)
9291expcom 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜎))
9392an4s 657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) ∧ (𝜏 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜎))
9493expimpd 453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ (((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜎))
9587, 90, 94vtocl2ga 3561 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄 ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9628, 29, 95syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9796expcomd 416 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
9897impcom 407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9964, 67, 71, 72, 72, 73, 74ofco 7689 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
10099eleq1d 2812 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
10198, 100sylibrd 259 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
102101expimpd 453 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) ∧ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
10326, 102biimtrid 241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
104103imp 406 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
105 coeq1 5850 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
106105eleq1d 2812 . . . 4 (𝑦 = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
107 coeq1 5850 . . . . 5 (𝑦 = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
108107eleq1d 2812 . . . 4 (𝑦 = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
109 coeq1 5850 . . . . 5 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
110109eleq1d 2812 . . . 4 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
111 coeq1 5850 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
112111eleq1d 2812 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
113 coeq1 5850 . . . . 5 (𝑦 = (π‘Ž ∘f + 𝑏) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
114113eleq1d 2812 . . . 4 (𝑦 = (π‘Ž ∘f + 𝑏) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
115 coeq1 5850 . . . . 5 (𝑦 = (π‘Ž ∘f Β· 𝑏) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
116115eleq1d 2812 . . . 4 (𝑦 = (π‘Ž ∘f Β· 𝑏) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
117 coeq1 5850 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
118117eleq1d 2812 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
11916pf1rcl 22219 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ 𝑅 ∈ CRing)
12015, 119syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
121120adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
122 1on 8476 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ On
123 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
124123mplassa 21919 . . . . . . . . . . . 12 ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (1o mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
125122, 120, 124sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1o mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
126 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
127 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
128126, 127ply1ascl 22128 . . . . . . . . . . . 12 (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅))
129 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) = (Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅))
130128, 129asclrhm 21780 . . . . . . . . . . 11 ((1o mPoly 𝑅) ∈ AssAlg β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ ((Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) RingHom (1o mPoly 𝑅)))
131125, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ ((Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) RingHom (1o mPoly 𝑅)))
132122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1o ∈ On)
133123, 132, 120mplsca 21910 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
134133oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 RingHom (1o mPoly 𝑅)) = ((Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) RingHom (1o mPoly 𝑅)))
135131, 134eleqtrrd 2830 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ (𝑅 RingHom (1o mPoly 𝑅)))
136 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)) = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
1373, 136rhmf 20385 . . . . . . . . 9 ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ (𝑅 RingHom (1o mPoly 𝑅)) β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)):𝐡⟢(Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
138135, 137syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)):𝐡⟢(Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
139138ffvelcdmda 7079 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
140 eqid 2726 . . . . . . . 8 (eval1β€˜π‘…) = (eval1β€˜π‘…)
141140, 23, 3, 123, 136evl1val 22199 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
142121, 139, 141syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
143140, 126, 3, 127evl1sca 22204 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (𝐡 Γ— {π‘Ž}))
144120, 143sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (𝐡 Γ— {π‘Ž}))
1453ressid 17196 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
146121, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
147146oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (1o mPoly 𝑅))
148147fveq2d 6888 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
149148, 128eqtr4di 2784 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
150149fveq1d 6886 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘Ž) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž))
151150fveq2d 6888 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘Ž)) = ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)))
152 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))
153 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑅 β†Ύs 𝐡) = (𝑅 β†Ύs 𝐡)
154 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))
155122a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 1o ∈ On)
156 crngring 20148 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1573subrgid 20473 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
158120, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
159158adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
160 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
16124, 152, 153, 3, 154, 155, 121, 159, 160evlssca 21990 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘Ž)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}))
162151, 161eqtr3d 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}))
163162coeq1d 5854 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
164142, 144, 1633eqtr3d 2774 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
165 pf1ind.co . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ πœ’)
166 vsnex 5422 . . . . . . . . . 10 {𝑓} ∈ V
1674, 166xpex 7736 . . . . . . . . 9 (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ V
168 pf1ind.wa . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐡 Γ— {𝑓}) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
169167, 168elab 3663 . . . . . . . 8 ((𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ πœ’)
170165, 169sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
171170ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
172 sneq 4633 . . . . . . . . 9 (𝑓 = π‘Ž β†’ {𝑓} = {π‘Ž})
173172xpeq2d 5699 . . . . . . . 8 (𝑓 = π‘Ž β†’ (𝐡 Γ— {𝑓}) = (𝐡 Γ— {π‘Ž}))
174173eleq1d 2812 . . . . . . 7 (𝑓 = π‘Ž β†’ ((𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
175174rspccva 3605 . . . . . 6 ((βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
176171, 175sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
177164, 176eqeltrrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
178 pf1ind.pr . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ πœƒ)
179 resiexg 7901 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ V β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ V)
1804, 179ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I β†Ύ 𝐡) ∈ V
181 pf1ind.wb . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
182180, 181elab 3663 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ 𝐡) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ πœƒ)
183178, 182sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
18412, 183eqeltrd 2827 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
185 el1o 8493 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ 1o ↔ π‘Ž = βˆ…)
186 fveq2 6884 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜βˆ…))
187185, 186sylbi 216 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 1o β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜βˆ…))
188187mpteq2dv 5243 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 1o β†’ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)))
189188coeq1d 5854 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 1o β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
190189eleq1d 2812 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 1o β†’ (((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
191184, 190syl5ibrcom 246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 1o β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
192191imp 406 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 1o) β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
19316, 3, 27pf1mpf 22222 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∈ ran (1o eval 𝑅))
19415, 193syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∈ ran (1o eval 𝑅))
1953, 21, 22, 25, 80, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 177, 192, 194mpfind 22008 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
19620, 195eqeltrrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
197 pf1ind.wg . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πœ“ ↔ 𝜌))
198197elabg 3661 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ (𝐴 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜌))
19915, 198syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜌))
200196, 199mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝜌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  Oncon0 6357  βŸΆwf 6532  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  1oc1o 8457   ↑m cmap 8819  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137   RingHom crh 20369  SubRingcsubrg 20467  AssAlgcasa 21741  algSccascl 21743   mPoly cmpl 21796   evalSub ces 21971   eval cevl 21972  Poly1cpl1 22047  eval1ce1 22184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-assa 21744  df-asp 21745  df-ascl 21746  df-psr 21799  df-mvr 21800  df-mpl 21801  df-opsr 21803  df-evls 21973  df-evl 21974  df-psr1 22050  df-ply1 22052  df-evl1 22186
This theorem is referenced by:  pl1cn  33465
  Copyright terms: Public domain W3C validator