MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pf1ind 21737
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1ind.cb 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
pf1ind.cp + = (+gβ€˜π‘…)
pf1ind.ct Β· = (.rβ€˜π‘…)
pf1ind.cq 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
pf1ind.ad ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜁)
pf1ind.mu ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜎)
pf1ind.wa (π‘₯ = (𝐡 Γ— {𝑓}) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
pf1ind.wb (π‘₯ = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
pf1ind.wc (π‘₯ = 𝑓 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
pf1ind.wd (π‘₯ = 𝑔 β†’ (πœ“ ↔ πœ‚))
pf1ind.we (π‘₯ = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜁))
pf1ind.wf (π‘₯ = (𝑓 ∘f Β· 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜎))
pf1ind.wg (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πœ“ ↔ 𝜌))
pf1ind.co ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ πœ’)
pf1ind.pr (πœ‘ β†’ πœƒ)
pf1ind.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
pf1ind (πœ‘ β†’ 𝜌)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘₯, +   𝐡,𝑓,𝑔,π‘₯   πœ‚,𝑓,π‘₯   πœ‘,𝑓,𝑔   π‘₯,𝐴   πœ’,π‘₯   πœ“,𝑓,𝑔   𝑄,𝑓,𝑔   𝜌,π‘₯   𝜎,π‘₯   𝜏,π‘₯   πœƒ,π‘₯   Β· ,𝑓,𝑔,π‘₯   𝜁,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   πœ“(π‘₯)   πœ’(𝑓,𝑔)   πœƒ(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   πœ‚(𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)   𝑄(π‘₯)   𝑅(π‘₯,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pf1ind
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑦 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 6222 . . . . 5 ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (𝐴 ∘ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
2 df1o2 8424 . . . . . . . . 9 1o = {βˆ…}
3 pf1ind.cb . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43fvexi 6861 . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ V
5 0ex 5269 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
6 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))
72, 4, 5, 6mapsncnv 8838 . . . . . . . 8 β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) = (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))
87coeq2i 5821 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))
92, 4, 5, 6mapsnf1o2 8839 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)):(𝐡 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐡
10 f1ococnv2 6816 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)):(𝐡 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐡 β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = ( I β†Ύ 𝐡))
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = ( I β†Ύ 𝐡))
128, 11eqtr3id 2791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ( I β†Ύ 𝐡))
1312coeq2d 5823 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) = (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
141, 13eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
15 pf1ind.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑄)
16 pf1ind.cq . . . . . 6 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
1716, 3pf1f 21732 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ 𝐴:𝐡⟢𝐡)
18 fcoi1 6721 . . . . 5 (𝐴:𝐡⟢𝐡 β†’ (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝐴)
1915, 17, 183syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝐴)
2014, 19eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = 𝐴)
21 pf1ind.cp . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
22 pf1ind.ct . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
23 eqid 2737 . . . . . 6 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
2423, 3evlval 21521 . . . . 5 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
2524rneqi 5897 . . . 4 ran (1o eval 𝑅) = ran ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
26 an4 655 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) ↔ ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) ∧ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ran (1o eval 𝑅) = ran (1o eval 𝑅)
2816, 3, 27mpfpf1 21733 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄)
2916, 3, 27mpfpf1 21733 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄)
30 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑓 ∈ V
31 pf1ind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑓 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
3230, 31elab 3635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜏)
33 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑓 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
3432, 33bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝜏 ↔ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
3534anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((𝜏 ∧ πœ‚) ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚)))
3635anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) ↔ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘)))
37 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ V
38 pf1ind.we . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜁))
3937, 38elab 3635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜁)
40 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔))
4140eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4239, 41bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝜁 ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4336, 42imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜁) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
44 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑔 ∈ V
45 pf1ind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑔 β†’ (πœ“ ↔ πœ‚))
4644, 45elab 3635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ πœ‚)
47 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑔 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4846, 47bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (πœ‚ ↔ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4948anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
5049anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) ↔ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘)))
51 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
5251eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
5350, 52imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
54 pf1ind.ad . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜁)
5554expcom 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜁))
5655an4s 659 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) ∧ (𝜏 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜁))
5756expimpd 455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ (((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜁))
5843, 53, 57vtocl2ga 3538 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄 ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
5928, 29, 58syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
6059expcomd 418 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
6160impcom 409 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
6225, 3mpff 21530 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ π‘Ž:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6362ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ π‘Ž:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6463ffnd 6674 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ π‘Ž Fn (𝐡 ↑m 1o))
6525, 3mpff 21530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ 𝑏:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6665ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ 𝑏:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6766ffnd 6674 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 ↑m 1o))
68 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})) = (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))
692, 4, 5, 68mapsnf1o3 8840 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐡 ↑m 1o)
70 f1of 6789 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐡 ↑m 1o) β†’ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
7169, 70mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
72 ovexd 7397 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (𝐡 ↑m 1o) ∈ V)
734a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ 𝐡 ∈ V)
74 inidm 4183 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ↑m 1o) ∩ (𝐡 ↑m 1o)) = (𝐡 ↑m 1o)
7564, 67, 71, 72, 72, 73, 74ofco 7645 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
7675eleq1d 2823 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
7761, 76sylibrd 259 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
7877expimpd 455 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) ∧ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
7926, 78biimtrid 241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
8079imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
81 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ V
82 pf1ind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑓 ∘f Β· 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜎))
8381, 82elab 3635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜎)
84 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔))
8584eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
8683, 85bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝜎 ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
8736, 86imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜎) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
88 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
8988eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9050, 89imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
91 pf1ind.mu . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜎)
9291expcom 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜎))
9392an4s 659 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) ∧ (𝜏 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜎))
9493expimpd 455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ (((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜎))
9587, 90, 94vtocl2ga 3538 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄 ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9628, 29, 95syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9796expcomd 418 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
9897impcom 409 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9964, 67, 71, 72, 72, 73, 74ofco 7645 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
10099eleq1d 2823 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
10198, 100sylibrd 259 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
102101expimpd 455 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) ∧ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
10326, 102biimtrid 241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
104103imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
105 coeq1 5818 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
106105eleq1d 2823 . . . 4 (𝑦 = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
107 coeq1 5818 . . . . 5 (𝑦 = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
108107eleq1d 2823 . . . 4 (𝑦 = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
109 coeq1 5818 . . . . 5 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
110109eleq1d 2823 . . . 4 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
111 coeq1 5818 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
112111eleq1d 2823 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
113 coeq1 5818 . . . . 5 (𝑦 = (π‘Ž ∘f + 𝑏) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
114113eleq1d 2823 . . . 4 (𝑦 = (π‘Ž ∘f + 𝑏) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
115 coeq1 5818 . . . . 5 (𝑦 = (π‘Ž ∘f Β· 𝑏) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
116115eleq1d 2823 . . . 4 (𝑦 = (π‘Ž ∘f Β· 𝑏) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
117 coeq1 5818 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
118117eleq1d 2823 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
11916pf1rcl 21731 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ 𝑅 ∈ CRing)
12015, 119syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
121120adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
122 1on 8429 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ On
123 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
124123mplassa 21443 . . . . . . . . . . . 12 ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (1o mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
125122, 120, 124sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1o mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
126 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
127 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
128126, 127ply1ascl 21645 . . . . . . . . . . . 12 (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅))
129 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) = (Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅))
130128, 129asclrhm 21309 . . . . . . . . . . 11 ((1o mPoly 𝑅) ∈ AssAlg β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ ((Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) RingHom (1o mPoly 𝑅)))
131125, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ ((Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) RingHom (1o mPoly 𝑅)))
132122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1o ∈ On)
133123, 132, 120mplsca 21433 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
134133oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 RingHom (1o mPoly 𝑅)) = ((Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) RingHom (1o mPoly 𝑅)))
135131, 134eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ (𝑅 RingHom (1o mPoly 𝑅)))
136 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)) = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
1373, 136rhmf 20167 . . . . . . . . 9 ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ (𝑅 RingHom (1o mPoly 𝑅)) β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)):𝐡⟢(Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
138135, 137syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)):𝐡⟢(Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
139138ffvelcdmda 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
140 eqid 2737 . . . . . . . 8 (eval1β€˜π‘…) = (eval1β€˜π‘…)
141140, 23, 3, 123, 136evl1val 21711 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
142121, 139, 141syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
143140, 126, 3, 127evl1sca 21716 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (𝐡 Γ— {π‘Ž}))
144120, 143sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (𝐡 Γ— {π‘Ž}))
1453ressid 17132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
146121, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
147146oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (1o mPoly 𝑅))
148147fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
149148, 128eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
150149fveq1d 6849 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘Ž) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž))
151150fveq2d 6851 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘Ž)) = ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)))
152 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))
153 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑅 β†Ύs 𝐡) = (𝑅 β†Ύs 𝐡)
154 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))
155122a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 1o ∈ On)
156 crngring 19983 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1573subrgid 20240 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
158120, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
159158adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
160 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
16124, 152, 153, 3, 154, 155, 121, 159, 160evlssca 21515 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘Ž)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}))
162151, 161eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}))
163162coeq1d 5822 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
164142, 144, 1633eqtr3d 2785 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
165 pf1ind.co . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ πœ’)
166 vsnex 5391 . . . . . . . . . 10 {𝑓} ∈ V
1674, 166xpex 7692 . . . . . . . . 9 (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ V
168 pf1ind.wa . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐡 Γ— {𝑓}) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
169167, 168elab 3635 . . . . . . . 8 ((𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ πœ’)
170165, 169sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
171170ralrimiva 3144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
172 sneq 4601 . . . . . . . . 9 (𝑓 = π‘Ž β†’ {𝑓} = {π‘Ž})
173172xpeq2d 5668 . . . . . . . 8 (𝑓 = π‘Ž β†’ (𝐡 Γ— {𝑓}) = (𝐡 Γ— {π‘Ž}))
174173eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑓 = π‘Ž β†’ ((𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
175174rspccva 3583 . . . . . 6 ((βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
176171, 175sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
177164, 176eqeltrrd 2839 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
178 pf1ind.pr . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ πœƒ)
179 resiexg 7856 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ V β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ V)
1804, 179ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I β†Ύ 𝐡) ∈ V
181 pf1ind.wb . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
182180, 181elab 3635 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ 𝐡) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ πœƒ)
183178, 182sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
18412, 183eqeltrd 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
185 el1o 8446 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ 1o ↔ π‘Ž = βˆ…)
186 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜βˆ…))
187185, 186sylbi 216 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 1o β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜βˆ…))
188187mpteq2dv 5212 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 1o β†’ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)))
189188coeq1d 5822 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 1o β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
190189eleq1d 2823 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 1o β†’ (((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
191184, 190syl5ibrcom 247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 1o β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
192191imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 1o) β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
19316, 3, 27pf1mpf 21734 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∈ ran (1o eval 𝑅))
19415, 193syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∈ ran (1o eval 𝑅))
1953, 21, 22, 25, 80, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 177, 192, 194mpfind 21533 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
19620, 195eqeltrrd 2839 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
197 pf1ind.wg . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πœ“ ↔ 𝜌))
198197elabg 3633 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ (𝐴 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜌))
19915, 198syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜌))
200196, 199mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝜌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448  βˆ…c0 4287  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642  Oncon0 6322  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  1oc1o 8410   ↑m cmap 8772  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  Scalarcsca 17143  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972   RingHom crh 20152  SubRingcsubrg 20234  AssAlgcasa 21272  algSccascl 21274   mPoly cmpl 21324   evalSub ces 21496   eval cevl 21497  Poly1cpl1 21564  eval1ce1 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-evl1 21698
This theorem is referenced by:  pl1cn  32576
  Copyright terms: Public domain W3C validator