MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pf1ind 22281
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1ind.cb 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
pf1ind.cp + = (+gβ€˜π‘…)
pf1ind.ct Β· = (.rβ€˜π‘…)
pf1ind.cq 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
pf1ind.ad ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜁)
pf1ind.mu ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜎)
pf1ind.wa (π‘₯ = (𝐡 Γ— {𝑓}) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
pf1ind.wb (π‘₯ = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
pf1ind.wc (π‘₯ = 𝑓 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
pf1ind.wd (π‘₯ = 𝑔 β†’ (πœ“ ↔ πœ‚))
pf1ind.we (π‘₯ = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜁))
pf1ind.wf (π‘₯ = (𝑓 ∘f Β· 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜎))
pf1ind.wg (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πœ“ ↔ 𝜌))
pf1ind.co ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ πœ’)
pf1ind.pr (πœ‘ β†’ πœƒ)
pf1ind.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
pf1ind (πœ‘ β†’ 𝜌)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘₯, +   𝐡,𝑓,𝑔,π‘₯   πœ‚,𝑓,π‘₯   πœ‘,𝑓,𝑔   π‘₯,𝐴   πœ’,π‘₯   πœ“,𝑓,𝑔   𝑄,𝑓,𝑔   𝜌,π‘₯   𝜎,π‘₯   𝜏,π‘₯   πœƒ,π‘₯   Β· ,𝑓,𝑔,π‘₯   𝜁,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   πœ“(π‘₯)   πœ’(𝑓,𝑔)   πœƒ(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   πœ‚(𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)   𝑄(π‘₯)   𝑅(π‘₯,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pf1ind
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑦 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 6274 . . . . 5 ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (𝐴 ∘ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
2 df1o2 8500 . . . . . . . . 9 1o = {βˆ…}
3 pf1ind.cb . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43fvexi 6916 . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ V
5 0ex 5311 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
6 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))
72, 4, 5, 6mapsncnv 8918 . . . . . . . 8 β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) = (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))
87coeq2i 5867 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))
92, 4, 5, 6mapsnf1o2 8919 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)):(𝐡 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐡
10 f1ococnv2 6871 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)):(𝐡 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐡 β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = ( I β†Ύ 𝐡))
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ β—‘(𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = ( I β†Ύ 𝐡))
128, 11eqtr3id 2782 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ( I β†Ύ 𝐡))
1312coeq2d 5869 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) = (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
141, 13eqtrid 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
15 pf1ind.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑄)
16 pf1ind.cq . . . . . 6 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
1716, 3pf1f 22276 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ 𝐴:𝐡⟢𝐡)
18 fcoi1 6776 . . . . 5 (𝐴:𝐡⟢𝐡 β†’ (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝐴)
1915, 17, 183syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝐴)
2014, 19eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = 𝐴)
21 pf1ind.cp . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
22 pf1ind.ct . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
23 eqid 2728 . . . . . 6 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
2423, 3evlval 22048 . . . . 5 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
2524rneqi 5943 . . . 4 ran (1o eval 𝑅) = ran ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
26 an4 654 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) ↔ ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) ∧ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
27 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ran (1o eval 𝑅) = ran (1o eval 𝑅)
2816, 3, 27mpfpf1 22277 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄)
2916, 3, 27mpfpf1 22277 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄)
30 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑓 ∈ V
31 pf1ind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑓 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
3230, 31elab 3669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜏)
33 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑓 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
3432, 33bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝜏 ↔ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
3534anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((𝜏 ∧ πœ‚) ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚)))
3635anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) ↔ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘)))
37 ovex 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ V
38 pf1ind.we . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑓 ∘f + 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜁))
3937, 38elab 3669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜁)
40 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔))
4140eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4239, 41bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝜁 ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4336, 42imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜁) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
44 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑔 ∈ V
45 pf1ind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑔 β†’ (πœ“ ↔ πœ‚))
4644, 45elab 3669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ πœ‚)
47 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑔 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4846, 47bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (πœ‚ ↔ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
4948anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
5049anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) ↔ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘)))
51 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
5251eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
5350, 52imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
54 pf1ind.ad . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜁)
5554expcom 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜁))
5655an4s 658 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) ∧ (𝜏 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜁))
5756expimpd 452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ (((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜁))
5843, 53, 57vtocl2ga 3566 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄 ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
5928, 29, 58syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
6059expcomd 415 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
6160impcom 406 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
6225, 3mpff 22057 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ π‘Ž:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6362ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ π‘Ž:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6463ffnd 6728 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ π‘Ž Fn (𝐡 ↑m 1o))
6525, 3mpff 22057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) β†’ 𝑏:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6665ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ 𝑏:(𝐡 ↑m 1o)⟢𝐡)
6766ffnd 6728 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 ↑m 1o))
68 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})) = (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))
692, 4, 5, 68mapsnf1o3 8920 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐡 ↑m 1o)
70 f1of 6844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐡 ↑m 1o) β†’ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
7169, 70mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
72 ovexd 7461 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (𝐡 ↑m 1o) ∈ V)
734a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ 𝐡 ∈ V)
74 inidm 4221 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ↑m 1o) ∩ (𝐡 ↑m 1o)) = (𝐡 ↑m 1o)
7564, 67, 71, 72, 72, 73, 74ofco 7714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
7675eleq1d 2814 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f + (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
7761, 76sylibrd 258 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
7877expimpd 452 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) ∧ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
7926, 78biimtrid 241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
8079imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))) β†’ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
81 ovex 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ V
82 pf1ind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑓 ∘f Β· 𝑔) β†’ (πœ“ ↔ 𝜎))
8381, 82elab 3669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜎)
84 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔))
8584eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
8683, 85bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (𝜎 ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
8736, 86imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜎) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
88 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
8988eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9050, 89imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) β†’ (((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· 𝑔) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ↔ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
91 pf1ind.mu . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚))) β†’ 𝜎)
9291expcom 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜎))
9392an4s 658 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) ∧ (𝜏 ∧ πœ‚)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝜎))
9493expimpd 452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ (((𝜏 ∧ πœ‚) ∧ πœ‘) β†’ 𝜎))
9587, 90, 94vtocl2ga 3566 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄 ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ 𝑄) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9628, 29, 95syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ ((((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9796expcomd 415 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})))
9897impcom 406 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
9964, 67, 71, 72, 72, 73, 74ofco 7714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))))
10099eleq1d 2814 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∘f Β· (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀})))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
10198, 100sylibrd 258 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅))) β†’ (((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
102101expimpd 452 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ 𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅)) ∧ ((π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
10326, 102biimtrid 241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
104103imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}) ∧ (𝑏 ∈ ran (1o eval 𝑅) ∧ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))) β†’ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
105 coeq1 5864 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
106105eleq1d 2814 . . . 4 (𝑦 = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
107 coeq1 5864 . . . . 5 (𝑦 = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
108107eleq1d 2814 . . . 4 (𝑦 = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
109 coeq1 5864 . . . . 5 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
110109eleq1d 2814 . . . 4 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (π‘Ž ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
111 coeq1 5864 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
112111eleq1d 2814 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (𝑏 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
113 coeq1 5864 . . . . 5 (𝑦 = (π‘Ž ∘f + 𝑏) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
114113eleq1d 2814 . . . 4 (𝑦 = (π‘Ž ∘f + 𝑏) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘f + 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
115 coeq1 5864 . . . . 5 (𝑦 = (π‘Ž ∘f Β· 𝑏) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
116115eleq1d 2814 . . . 4 (𝑦 = (π‘Ž ∘f Β· 𝑏) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((π‘Ž ∘f Β· 𝑏) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
117 coeq1 5864 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) β†’ (𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
118117eleq1d 2814 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) β†’ ((𝑦 ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
11916pf1rcl 22275 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ 𝑅 ∈ CRing)
12015, 119syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
121120adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
122 1on 8505 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ On
123 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
124123mplassa 21971 . . . . . . . . . . . 12 ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (1o mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
125122, 120, 124sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1o mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
126 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
127 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
128126, 127ply1ascl 22184 . . . . . . . . . . . 12 (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅))
129 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) = (Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅))
130128, 129asclrhm 21830 . . . . . . . . . . 11 ((1o mPoly 𝑅) ∈ AssAlg β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ ((Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) RingHom (1o mPoly 𝑅)))
131125, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ ((Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) RingHom (1o mPoly 𝑅)))
132122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1o ∈ On)
133123, 132, 120mplsca 21962 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
134133oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 RingHom (1o mPoly 𝑅)) = ((Scalarβ€˜(1o mPoly 𝑅)) RingHom (1o mPoly 𝑅)))
135131, 134eleqtrrd 2832 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ (𝑅 RingHom (1o mPoly 𝑅)))
136 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)) = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
1373, 136rhmf 20431 . . . . . . . . 9 ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∈ (𝑅 RingHom (1o mPoly 𝑅)) β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)):𝐡⟢(Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
138135, 137syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)):𝐡⟢(Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
139138ffvelcdmda 7099 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
140 eqid 2728 . . . . . . . 8 (eval1β€˜π‘…) = (eval1β€˜π‘…)
141140, 23, 3, 123, 136evl1val 22255 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
142121, 139, 141syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
143140, 126, 3, 127evl1sca 22260 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (𝐡 Γ— {π‘Ž}))
144120, 143sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = (𝐡 Γ— {π‘Ž}))
1453ressid 17232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
146121, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
147146oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (1o mPoly 𝑅))
148147fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
149148, 128eqtr4di 2786 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
150149fveq1d 6904 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘Ž) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž))
151150fveq2d 6906 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘Ž)) = ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)))
152 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))
153 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑅 β†Ύs 𝐡) = (𝑅 β†Ύs 𝐡)
154 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))
155122a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 1o ∈ On)
156 crngring 20192 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1573subrgid 20519 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
158120, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
159158adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
160 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
16124, 152, 153, 3, 154, 155, 121, 159, 160evlssca 22042 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘Ž)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}))
162151, 161eqtr3d 2770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}))
163162coeq1d 5868 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
164142, 144, 1633eqtr3d 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
165 pf1ind.co . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ πœ’)
166 vsnex 5435 . . . . . . . . . 10 {𝑓} ∈ V
1674, 166xpex 7761 . . . . . . . . 9 (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ V
168 pf1ind.wa . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐡 Γ— {𝑓}) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
169167, 168elab 3669 . . . . . . . 8 ((𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ πœ’)
170165, 169sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
171170ralrimiva 3143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
172 sneq 4642 . . . . . . . . 9 (𝑓 = π‘Ž β†’ {𝑓} = {π‘Ž})
173172xpeq2d 5712 . . . . . . . 8 (𝑓 = π‘Ž β†’ (𝐡 Γ— {𝑓}) = (𝐡 Γ— {π‘Ž}))
174173eleq1d 2814 . . . . . . 7 (𝑓 = π‘Ž β†’ ((𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
175174rspccva 3610 . . . . . 6 ((βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑓}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
176171, 175sylan 578 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 Γ— {π‘Ž}) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
177164, 176eqeltrrd 2830 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {π‘Ž}) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
178 pf1ind.pr . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ πœƒ)
179 resiexg 7926 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ V β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ V)
1804, 179ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I β†Ύ 𝐡) ∈ V
181 pf1ind.wb . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
182180, 181elab 3669 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ 𝐡) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ πœƒ)
183178, 182sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
18412, 183eqeltrd 2829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
185 el1o 8522 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ 1o ↔ π‘Ž = βˆ…)
186 fveq2 6902 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜βˆ…))
187185, 186sylbi 216 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 1o β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = (π‘β€˜βˆ…))
188187mpteq2dv 5254 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 1o β†’ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) = (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)))
189188coeq1d 5868 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 1o β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) = ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))))
190189eleq1d 2814 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 1o β†’ (((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
191184, 190syl5ibrcom 246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 1o β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“}))
192191imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 1o) β†’ ((𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜π‘Ž)) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
19316, 3, 27pf1mpf 22278 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∈ ran (1o eval 𝑅))
19415, 193syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∈ ran (1o eval 𝑅))
1953, 21, 22, 25, 80, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 177, 192, 194mpfind 22060 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘ (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ (π‘β€˜βˆ…))) ∘ (𝑀 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑀}))) ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
19620, 195eqeltrrd 2830 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“})
197 pf1ind.wg . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πœ“ ↔ 𝜌))
198197elabg 3667 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑄 β†’ (𝐴 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜌))
19915, 198syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ {π‘₯ ∣ πœ“} ↔ 𝜌))
200196, 199mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝜌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2705  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   I cid 5579   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  Oncon0 6374  βŸΆwf 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689  1oc1o 8486   ↑m cmap 8851  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  Scalarcsca 17243  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   RingHom crh 20415  SubRingcsubrg 20513  AssAlgcasa 21791  algSccascl 21793   mPoly cmpl 21846   evalSub ces 22023   eval cevl 22024  Poly1cpl1 22103  eval1ce1 22240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-assa 21794  df-asp 21795  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-evls 22025  df-evl 22026  df-psr1 22106  df-ply1 22108  df-evl1 22242
This theorem is referenced by:  pl1cn  33589
  Copyright terms: Public domain W3C validator