Theorem symgfcoeu 33411

Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgfcoeu.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
symgfcoeu	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑉,𝑝

Proof of Theorem symgfcoeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2		symgfcoeu.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝐷)) = (invg‘(SymGrp‘𝐷))
4	1, 2, 3	symginv 19478	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐺 → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = ◡𝑃)
5	4	3ad2ant2 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = ◡𝑃)
6	1	symggrp 19476	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
8		simp2 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
9	2, 3	grpinvcl 19060	. . . . 5 ⊢ (((SymGrp‘𝐷) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
10	7, 8, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
11	5, 10	eqeltrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ◡𝑃 ∈ 𝐺)
12		simp3 1155	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄 ∈ 𝐺)
13		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
14	1, 2, 13	symgov 19460	. . . 4 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) = (◡𝑃 ∘ 𝑄))
15	1, 2, 13	symgcl 19461	. . . 4 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) ∈ 𝐺)
16	14, 15	eqeltrrd 2863	. . 3 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺)
17	11, 12, 16	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺)
18		coass 6266	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∘ ◡𝑃) ∘ 𝑄) = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄))
19	1, 2	symgbasf1o 19451	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐺 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
20		f1ococnv2 6848	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 → (𝑃 ∘ ◡𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
21	8, 19, 20	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ ◡𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
22	21	coeq1d 5846	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑃 ∘ ◡𝑃) ∘ 𝑄) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
23	18, 22	eqtr3id 2811	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
24	1, 2	symgbasf1o 19451	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐺 → 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
25		f1of 6820	. . . 4 ⊢ (𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝑄:𝐷⟶𝐷)
26		fcoi2 6753	. . . 4 ⊢ (𝑄:𝐷⟶𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
27	12, 24, 25, 26	4syl 20	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
28	23, 27	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
29		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))
30	29	coeq2d 5847	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)))
31		coass 6266	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝))
32		f1ococnv1 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 → (◡𝑃 ∘ 𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
33	8, 19, 32	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
34	33	coeq1d 5846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
35	34	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
36	31, 35	eqtr3id 2811	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
37		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝐺)
38	1, 2	symgbasf1o 19451	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 → 𝑝:𝐷–1-1-onto→𝐷)
39		f1of 6820	. . . . . 6 ⊢ (𝑝:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝑝:𝐷⟶𝐷)
40		fcoi2 6753	. . . . . 6 ⊢ (𝑝:𝐷⟶𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
41	37, 38, 39, 40	4syl 20	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
42	30, 36, 41	3eqtrrd 2802	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄))
43	42	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
44	43	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∀𝑝 ∈ 𝐺 (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
45		coeq2 5843	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → (𝑃 ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
46	45	eqeq2d 2773	. . 3 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) ↔ 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄))))
47	46	eqreu 3691	. 2 ⊢ (((◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐺 (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄))) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))
48	17, 28, 44, 47	syl3anc 1397	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃!wreu 3366   I cid 5554  ^◡ccnv 5659   ↾ cres 5662   ∘ ccom 5664  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  Grpcgrp 19006  inv_gcminusg 19007  SymGrpcsymg 19445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-tset 17335  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-efmnd 18934  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-symg 19446

This theorem is used by:  mdetpmtr1  34222