Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgfcoeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfcoeu 32850
Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
symgfcoeu.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
Assertion
Ref Expression
symgfcoeu ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑉,𝑝

Proof of Theorem symgfcoeu
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . 6 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2 symgfcoeu.g . . . . . 6 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
3 eqid 2725 . . . . . 6 (invg‘(SymGrp‘𝐷)) = (invg‘(SymGrp‘𝐷))
41, 2, 3symginv 19361 . . . . 5 (𝑃𝐺 → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = 𝑃)
543ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = 𝑃)
61symggrp 19359 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
763ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
8 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑃𝐺)
92, 3grpinvcl 18948 . . . . 5 (((SymGrp‘𝐷) ∈ Grp ∧ 𝑃𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
107, 8, 9syl2anc 582 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
115, 10eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑃𝐺)
12 simp3 1135 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄𝐺)
13 eqid 2725 . . . . 5 (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
141, 2, 13symgov 19342 . . . 4 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) = (𝑃𝑄))
151, 2, 13symgcl 19343 . . . 4 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) ∈ 𝐺)
1614, 15eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑄) ∈ 𝐺)
1711, 12, 16syl2anc 582 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑄) ∈ 𝐺)
18 coass 6264 . . . 4 ((𝑃𝑃) ∘ 𝑄) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄))
191, 2symgbasf1o 19333 . . . . . 6 (𝑃𝐺𝑃:𝐷1-1-onto𝐷)
20 f1ococnv2 6861 . . . . . 6 (𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
218, 19, 203syl 18 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
2221coeq1d 5858 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑄) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
2318, 22eqtr3id 2779 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
241, 2symgbasf1o 19333 . . . . 5 (𝑄𝐺𝑄:𝐷1-1-onto𝐷)
25 f1of 6834 . . . . 5 (𝑄:𝐷1-1-onto𝐷𝑄:𝐷𝐷)
2612, 24, 253syl 18 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄:𝐷𝐷)
27 fcoi2 6767 . . . 4 (𝑄:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
2826, 27syl 17 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
2923, 28eqtr2d 2766 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)))
30 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑄 = (𝑃𝑝))
3130coeq2d 5859 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (𝑃𝑄) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)))
32 coass 6264 . . . . . 6 ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝))
33 f1ococnv1 6863 . . . . . . . . 9 (𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
348, 19, 333syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
3534coeq1d 5858 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
3635ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
3732, 36eqtr3id 2779 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
38 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝𝐺)
391, 2symgbasf1o 19333 . . . . . . 7 (𝑝𝐺𝑝:𝐷1-1-onto𝐷)
40 f1of 6834 . . . . . . 7 (𝑝:𝐷1-1-onto𝐷𝑝:𝐷𝐷)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝:𝐷𝐷)
42 fcoi2 6767 . . . . . 6 (𝑝:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
4431, 37, 433eqtrrd 2770 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝 = (𝑃𝑄))
4544ex 411 . . 3 (((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄)))
4645ralrimiva 3136 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∀𝑝𝐺 (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄)))
47 coeq2 5855 . . . 4 (𝑝 = (𝑃𝑄) → (𝑃𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)))
4847eqeq2d 2736 . . 3 (𝑝 = (𝑃𝑄) → (𝑄 = (𝑃𝑝) ↔ 𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄))))
4948eqreu 3716 . 2 (((𝑃𝑄) ∈ 𝐺𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)) ∧ ∀𝑝𝐺 (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄))) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
5017, 29, 46, 49syl3anc 1368 1 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  ∃!wreu 3362   I cid 5569  ccnv 5671  cres 5674  ccom 5676  wf 6539  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Grpcgrp 18894  invgcminusg 18895  SymGrpcsymg 19325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-efmnd 18825  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-symg 19326
This theorem is referenced by:  mdetpmtr1  33481
  Copyright terms: Public domain W3C validator