Theorem symgfcoeu 33143

Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgfcoeu.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
symgfcoeu	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑉,𝑝

Proof of Theorem symgfcoeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2		symgfcoeu.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝐷)) = (invg‘(SymGrp‘𝐷))
4	1, 2, 3	symginv 19377	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐺 → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = ◡𝑃)
5	4	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = ◡𝑃)
6	1	symggrp 19375	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
8		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
9	2, 3	grpinvcl 18963	. . . . 5 ⊢ (((SymGrp‘𝐷) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
11	5, 10	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ◡𝑃 ∈ 𝐺)
12		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄 ∈ 𝐺)
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
14	1, 2, 13	symgov 19359	. . . 4 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) = (◡𝑃 ∘ 𝑄))
15	1, 2, 13	symgcl 19360	. . . 4 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) ∈ 𝐺)
16	14, 15	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺)
17	11, 12, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺)
18		coass 6230	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∘ ◡𝑃) ∘ 𝑄) = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄))
19	1, 2	symgbasf1o 19350	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐺 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
20		f1ococnv2 6807	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 → (𝑃 ∘ ◡𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
21	8, 19, 20	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ ◡𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
22	21	coeq1d 5816	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑃 ∘ ◡𝑃) ∘ 𝑄) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
23	18, 22	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
24	1, 2	symgbasf1o 19350	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐺 → 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
25		f1of 6780	. . . 4 ⊢ (𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝑄:𝐷⟶𝐷)
26		fcoi2 6715	. . . 4 ⊢ (𝑄:𝐷⟶𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
27	12, 24, 25, 26	4syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
28	23, 27	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))
30	29	coeq2d 5817	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)))
31		coass 6230	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝))
32		f1ococnv1 6809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 → (◡𝑃 ∘ 𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
33	8, 19, 32	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
34	33	coeq1d 5816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
35	34	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
36	31, 35	eqtr3id 2785	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
37		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝐺)
38	1, 2	symgbasf1o 19350	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 → 𝑝:𝐷–1-1-onto→𝐷)
39		f1of 6780	. . . . . 6 ⊢ (𝑝:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝑝:𝐷⟶𝐷)
40		fcoi2 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝑝:𝐷⟶𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
41	37, 38, 39, 40	4syl 19	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
42	30, 36, 41	3eqtrrd 2776	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄))
43	42	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
44	43	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∀𝑝 ∈ 𝐺 (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
45		coeq2 5813	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → (𝑃 ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
46	45	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) ↔ 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄))))
47	46	eqreu 3675	. 2 ⊢ (((◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐺 (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄))) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))
48	17, 28, 44, 47	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃!wreu 3340   I cid 5525  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  SymGrpcsymg 19344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-efmnd 18837  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-symg 19345

This theorem is referenced by:  mdetpmtr1  33967