Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgfcoeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfcoeu 32714
Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
symgfcoeu.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
Assertion
Ref Expression
symgfcoeu ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑉,𝑝

Proof of Theorem symgfcoeu
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . 6 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2 symgfcoeu.g . . . . . 6 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
3 eqid 2724 . . . . . 6 (invg‘(SymGrp‘𝐷)) = (invg‘(SymGrp‘𝐷))
41, 2, 3symginv 19314 . . . . 5 (𝑃𝐺 → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = 𝑃)
543ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = 𝑃)
61symggrp 19312 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
763ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
8 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑃𝐺)
92, 3grpinvcl 18909 . . . . 5 (((SymGrp‘𝐷) ∈ Grp ∧ 𝑃𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
107, 8, 9syl2anc 583 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
115, 10eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑃𝐺)
12 simp3 1135 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄𝐺)
13 eqid 2724 . . . . 5 (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
141, 2, 13symgov 19295 . . . 4 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) = (𝑃𝑄))
151, 2, 13symgcl 19296 . . . 4 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) ∈ 𝐺)
1614, 15eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑄) ∈ 𝐺)
1711, 12, 16syl2anc 583 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑄) ∈ 𝐺)
18 coass 6255 . . . 4 ((𝑃𝑃) ∘ 𝑄) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄))
191, 2symgbasf1o 19286 . . . . . 6 (𝑃𝐺𝑃:𝐷1-1-onto𝐷)
20 f1ococnv2 6851 . . . . . 6 (𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
218, 19, 203syl 18 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
2221coeq1d 5852 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑄) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
2318, 22eqtr3id 2778 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
241, 2symgbasf1o 19286 . . . . 5 (𝑄𝐺𝑄:𝐷1-1-onto𝐷)
25 f1of 6824 . . . . 5 (𝑄:𝐷1-1-onto𝐷𝑄:𝐷𝐷)
2612, 24, 253syl 18 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄:𝐷𝐷)
27 fcoi2 6757 . . . 4 (𝑄:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
2826, 27syl 17 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
2923, 28eqtr2d 2765 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)))
30 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑄 = (𝑃𝑝))
3130coeq2d 5853 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (𝑃𝑄) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)))
32 coass 6255 . . . . . 6 ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝))
33 f1ococnv1 6853 . . . . . . . . 9 (𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
348, 19, 333syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
3534coeq1d 5852 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
3635ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
3732, 36eqtr3id 2778 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
38 simplr 766 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝𝐺)
391, 2symgbasf1o 19286 . . . . . . 7 (𝑝𝐺𝑝:𝐷1-1-onto𝐷)
40 f1of 6824 . . . . . . 7 (𝑝:𝐷1-1-onto𝐷𝑝:𝐷𝐷)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝:𝐷𝐷)
42 fcoi2 6757 . . . . . 6 (𝑝:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
4431, 37, 433eqtrrd 2769 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝 = (𝑃𝑄))
4544ex 412 . . 3 (((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄)))
4645ralrimiva 3138 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∀𝑝𝐺 (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄)))
47 coeq2 5849 . . . 4 (𝑝 = (𝑃𝑄) → (𝑃𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)))
4847eqeq2d 2735 . . 3 (𝑝 = (𝑃𝑄) → (𝑄 = (𝑃𝑝) ↔ 𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄))))
4948eqreu 3718 . 2 (((𝑃𝑄) ∈ 𝐺𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)) ∧ ∀𝑝𝐺 (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄))) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
5017, 29, 46, 49syl3anc 1368 1 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  ∃!wreu 3366   I cid 5564  ccnv 5666  cres 5669  ccom 5671  wf 6530  1-1-ontowf1o 6533  cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  +gcplusg 17198  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  SymGrpcsymg 19278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-tset 17217  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-efmnd 18786  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-symg 19279
This theorem is referenced by:  mdetpmtr1  33295
  Copyright terms: Public domain W3C validator