Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgfcoeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfcoeu 33085
Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
symgfcoeu.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
Assertion
Ref Expression
symgfcoeu ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑉,𝑝

Proof of Theorem symgfcoeu
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2 symgfcoeu.g . . . . . 6 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
3 eqid 2735 . . . . . 6 (invg‘(SymGrp‘𝐷)) = (invg‘(SymGrp‘𝐷))
41, 2, 3symginv 19435 . . . . 5 (𝑃𝐺 → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = 𝑃)
543ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = 𝑃)
61symggrp 19433 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
763ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
8 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑃𝐺)
92, 3grpinvcl 19018 . . . . 5 (((SymGrp‘𝐷) ∈ Grp ∧ 𝑃𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
107, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
115, 10eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑃𝐺)
12 simp3 1137 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄𝐺)
13 eqid 2735 . . . . 5 (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
141, 2, 13symgov 19416 . . . 4 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) = (𝑃𝑄))
151, 2, 13symgcl 19417 . . . 4 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) ∈ 𝐺)
1614, 15eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑄) ∈ 𝐺)
1711, 12, 16syl2anc 584 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑄) ∈ 𝐺)
18 coass 6287 . . . 4 ((𝑃𝑃) ∘ 𝑄) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄))
191, 2symgbasf1o 19407 . . . . . 6 (𝑃𝐺𝑃:𝐷1-1-onto𝐷)
20 f1ococnv2 6876 . . . . . 6 (𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
218, 19, 203syl 18 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
2221coeq1d 5875 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑄) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
2318, 22eqtr3id 2789 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
241, 2symgbasf1o 19407 . . . 4 (𝑄𝐺𝑄:𝐷1-1-onto𝐷)
25 f1of 6849 . . . 4 (𝑄:𝐷1-1-onto𝐷𝑄:𝐷𝐷)
26 fcoi2 6784 . . . 4 (𝑄:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
2712, 24, 25, 264syl 19 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
2823, 27eqtr2d 2776 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → 𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)))
29 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑄 = (𝑃𝑝))
3029coeq2d 5876 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (𝑃𝑄) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)))
31 coass 6287 . . . . . 6 ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑝))
32 f1ococnv1 6878 . . . . . . . . 9 (𝑃:𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
338, 19, 323syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → (𝑃𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
3433coeq1d 5875 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
3534ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → ((𝑃𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
3631, 35eqtr3id 2789 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (𝑃 ∘ (𝑃𝑝)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
37 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝𝐺)
381, 2symgbasf1o 19407 . . . . . 6 (𝑝𝐺𝑝:𝐷1-1-onto𝐷)
39 f1of 6849 . . . . . 6 (𝑝:𝐷1-1-onto𝐷𝑝:𝐷𝐷)
40 fcoi2 6784 . . . . . 6 (𝑝:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
4137, 38, 39, 404syl 19 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
4230, 36, 413eqtrrd 2780 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃𝑝)) → 𝑝 = (𝑃𝑄))
4342ex 412 . . 3 (((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄)))
4443ralrimiva 3144 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∀𝑝𝐺 (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄)))
45 coeq2 5872 . . . 4 (𝑝 = (𝑃𝑄) → (𝑃𝑝) = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)))
4645eqeq2d 2746 . . 3 (𝑝 = (𝑃𝑄) → (𝑄 = (𝑃𝑝) ↔ 𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄))))
4746eqreu 3738 . 2 (((𝑃𝑄) ∈ 𝐺𝑄 = (𝑃 ∘ (𝑃𝑄)) ∧ ∀𝑝𝐺 (𝑄 = (𝑃𝑝) → 𝑝 = (𝑃𝑄))) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
4817, 28, 44, 47syl3anc 1370 1 ((𝐷𝑉𝑃𝐺𝑄𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑄 = (𝑃𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ∃!wreu 3376   I cid 5582  ccnv 5688  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SymGrpcsymg 19401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-symg 19402
This theorem is referenced by:  mdetpmtr1  33784
  Copyright terms: Public domain W3C validator