Theorem symgfcoeu 33049

Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgfcoeu.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
symgfcoeu	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑉,𝑝

Proof of Theorem symgfcoeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2		symgfcoeu.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝐷)) = (invg‘(SymGrp‘𝐷))
4	1, 2, 3	symginv 19315	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐺 → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = ◡𝑃)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = ◡𝑃)
6	1	symggrp 19313	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
8		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
9	2, 3	grpinvcl 18900	. . . . 5 ⊢ (((SymGrp‘𝐷) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
11	5, 10	eqeltrrd 2832	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ◡𝑃 ∈ 𝐺)
12		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄 ∈ 𝐺)
13		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
14	1, 2, 13	symgov 19297	. . . 4 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) = (◡𝑃 ∘ 𝑄))
15	1, 2, 13	symgcl 19298	. . . 4 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) ∈ 𝐺)
16	14, 15	eqeltrrd 2832	. . 3 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺)
17	11, 12, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺)
18		coass 6213	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∘ ◡𝑃) ∘ 𝑄) = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄))
19	1, 2	symgbasf1o 19288	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐺 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
20		f1ococnv2 6790	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 → (𝑃 ∘ ◡𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
21	8, 19, 20	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ ◡𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
22	21	coeq1d 5801	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑃 ∘ ◡𝑃) ∘ 𝑄) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
23	18, 22	eqtr3id 2780	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
24	1, 2	symgbasf1o 19288	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐺 → 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
25		f1of 6763	. . . 4 ⊢ (𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝑄:𝐷⟶𝐷)
26		fcoi2 6698	. . . 4 ⊢ (𝑄:𝐷⟶𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
27	12, 24, 25, 26	4syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
28	23, 27	eqtr2d 2767	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))
30	29	coeq2d 5802	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)))
31		coass 6213	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝))
32		f1ococnv1 6792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 → (◡𝑃 ∘ 𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
33	8, 19, 32	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
34	33	coeq1d 5801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
35	34	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
36	31, 35	eqtr3id 2780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
37		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝐺)
38	1, 2	symgbasf1o 19288	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 → 𝑝:𝐷–1-1-onto→𝐷)
39		f1of 6763	. . . . . 6 ⊢ (𝑝:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝑝:𝐷⟶𝐷)
40		fcoi2 6698	. . . . . 6 ⊢ (𝑝:𝐷⟶𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
41	37, 38, 39, 40	4syl 19	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
42	30, 36, 41	3eqtrrd 2771	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄))
43	42	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
44	43	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∀𝑝 ∈ 𝐺 (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
45		coeq2 5798	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → (𝑃 ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
46	45	eqeq2d 2742	. . 3 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) ↔ 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄))))
47	46	eqreu 3688	. 2 ⊢ (((◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐺 (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄))) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))
48	17, 28, 44, 47	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃!wreu 3344   I cid 5510  ^◡ccnv 5615   ↾ cres 5618   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Grpcgrp 18846  inv_gcminusg 18847  SymGrpcsymg 19282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-efmnd 18777  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-symg 19283

This theorem is referenced by:  mdetpmtr1  33834