Theorem symgfcoeu 32749

Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgfcoeu.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
symgfcoeu	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑉,𝑝

Proof of Theorem symgfcoeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2		symgfcoeu.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝐷)) = (invg‘(SymGrp‘𝐷))
4	1, 2, 3	symginv 19322	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐺 → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = ◡𝑃)
5	4	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = ◡𝑃)
6	1	symggrp 19320	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
8		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
9	2, 3	grpinvcl 18917	. . . . 5 ⊢ (((SymGrp‘𝐷) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
11	5, 10	eqeltrrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ◡𝑃 ∈ 𝐺)
12		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄 ∈ 𝐺)
13		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
14	1, 2, 13	symgov 19303	. . . 4 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) = (◡𝑃 ∘ 𝑄))
15	1, 2, 13	symgcl 19304	. . . 4 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) ∈ 𝐺)
16	14, 15	eqeltrrd 2828	. . 3 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺)
17	11, 12, 16	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺)
18		coass 6258	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∘ ◡𝑃) ∘ 𝑄) = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄))
19	1, 2	symgbasf1o 19294	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐺 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
20		f1ococnv2 6854	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 → (𝑃 ∘ ◡𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
21	8, 19, 20	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ ◡𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
22	21	coeq1d 5855	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑃 ∘ ◡𝑃) ∘ 𝑄) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
23	18, 22	eqtr3id 2780	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
24	1, 2	symgbasf1o 19294	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐺 → 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
25		f1of 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝑄:𝐷⟶𝐷)
26	12, 24, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄:𝐷⟶𝐷)
27		fcoi2 6760	. . . 4 ⊢ (𝑄:𝐷⟶𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
29	23, 28	eqtr2d 2767	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
30		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))
31	30	coeq2d 5856	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)))
32		coass 6258	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝))
33		f1ococnv1 6856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 → (◡𝑃 ∘ 𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
34	8, 19, 33	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
35	34	coeq1d 5855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
36	35	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
37	32, 36	eqtr3id 2780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
38		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝐺)
39	1, 2	symgbasf1o 19294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 → 𝑝:𝐷–1-1-onto→𝐷)
40		f1of 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝑝:𝐷⟶𝐷)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝:𝐷⟶𝐷)
42		fcoi2 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝑝:𝐷⟶𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
44	31, 37, 43	3eqtrrd 2771	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄))
45	44	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
46	45	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∀𝑝 ∈ 𝐺 (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
47		coeq2 5852	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → (𝑃 ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
48	47	eqeq2d 2737	. . 3 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) ↔ 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄))))
49	48	eqreu 3720	. 2 ⊢ (((◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐺 (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄))) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))
50	17, 29, 46, 49	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃!wreu 3368   I cid 5566  ^◡ccnv 5668   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  SymGrpcsymg 19286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-symg 19287

This theorem is referenced by:  mdetpmtr1  33333