Theorem symgfcoeu 30447

Description: Uniqueness property of permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgfcoeu.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
symgfcoeu	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑝   𝐺,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑉,𝑝

Proof of Theorem symgfcoeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2		symgfcoeu.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
3		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝐷)) = (invg‘(SymGrp‘𝐷))
4	1, 2, 3	symginv 18209	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐺 → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = ◡𝑃)
5	4	3ad2ant2 1125	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) = ◡𝑃)
6	1	symggrp 18207	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (SymGrp‘𝐷) ∈ Grp)
8		simp2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑃 ∈ 𝐺)
9	2, 3	grpinvcl 17858	. . . . 5 ⊢ (((SymGrp‘𝐷) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
10	7, 8, 9	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((invg‘(SymGrp‘𝐷))‘𝑃) ∈ 𝐺)
11	5, 10	eqeltrrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ◡𝑃 ∈ 𝐺)
12		simp3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄 ∈ 𝐺)
13		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
14	1, 2, 13	symgov 18197	. . . 4 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) = (◡𝑃 ∘ 𝑄))
15	1, 2, 13	symgcl 18198	. . . 4 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃(+g‘(SymGrp‘𝐷))𝑄) ∈ 𝐺)
16	14, 15	eqeltrrd 2860	. . 3 ⊢ ((◡𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺)
17	11, 12, 16	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺)
18		coass 5910	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∘ ◡𝑃) ∘ 𝑄) = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄))
19	1, 2	symgbasf1o 18190	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐺 → 𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷)
20		f1ococnv2 6419	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 → (𝑃 ∘ ◡𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
21	8, 19, 20	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ ◡𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
22	21	coeq1d 5531	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑃 ∘ ◡𝑃) ∘ 𝑄) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
23	18, 22	syl5eqr 2828	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄))
24	1, 2	symgbasf1o 18190	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐺 → 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
25		f1of 6393	. . . . 5 ⊢ (𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝑄:𝐷⟶𝐷)
26	12, 24, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄:𝐷⟶𝐷)
27		fcoi2 6331	. . . 4 ⊢ (𝑄:𝐷⟶𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
29	23, 28	eqtr2d 2815	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
30		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))
31	30	coeq2d 5532	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (◡𝑃 ∘ 𝑄) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)))
32		coass 5910	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)))
34		f1ococnv1 6421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃:𝐷–1-1-onto→𝐷 → (◡𝑃 ∘ 𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
35	8, 19, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (◡𝑃 ∘ 𝑃) = ( I ↾ 𝐷))
36	35	coeq1d 5531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
37	36	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → ((◡𝑃 ∘ 𝑃) ∘ 𝑝) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
38	33, 37	eqtr3d 2816	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (◡𝑃 ∘ (𝑃 ∘ 𝑝)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝))
39		simplr 759	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝐺)
40	1, 2	symgbasf1o 18190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐺 → 𝑝:𝐷–1-1-onto→𝐷)
41		f1of 6393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝑝:𝐷⟶𝐷)
42	39, 40, 41	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝:𝐷⟶𝐷)
43		fcoi2 6331	. . . . . 6 ⊢ (𝑝:𝐷⟶𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑝) = 𝑝)
45	31, 38, 44	3eqtrrd 2819	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝)) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄))
46	45	ex 403	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) ∧ 𝑝 ∈ 𝐺) → (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
47	46	ralrimiva 3148	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∀𝑝 ∈ 𝐺 (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
48		eqidd 2779	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → 𝑄 = 𝑄)
49		coeq2 5528	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → (𝑃 ∘ 𝑝) = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)))
50	48, 49	eqeq12d 2793	. . 3 ⊢ (𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄) → (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) ↔ 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄))))
51	50	eqreu 3610	. 2 ⊢ (((◡𝑃 ∘ 𝑄) ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 = (𝑃 ∘ (◡𝑃 ∘ 𝑄)) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐺 (𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝) → 𝑝 = (◡𝑃 ∘ 𝑄))) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))
52	17, 29, 47, 51	syl3anc 1439	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ∃!𝑝 ∈ 𝐺 𝑄 = (𝑃 ∘ 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃!wreu 3092   I cid 5262  ^◡ccnv 5356   ↾ cres 5359   ∘ ccom 5361  ⟶wf 6133  –1-1-onto→wf1o 6136  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  +_gcplusg 16342  Grpcgrp 17813  inv_gcminusg 17814  SymGrpcsymg 18184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-plusg 16355  df-tset 16361  df-0g 16492  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-symg 18185

This theorem is referenced by:  mdetpmtr1  30491