Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2737 |
. . 3
β’
(BaseβπΆ) =
(BaseβπΆ) |
2 | | setcinv.n |
. . 3
β’ π = (InvβπΆ) |
3 | | setcmon.u |
. . . 4
β’ (π β π β π) |
4 | | setcmon.c |
. . . . 5
β’ πΆ = (SetCatβπ) |
5 | 4 | setccat 17978 |
. . . 4
β’ (π β π β πΆ β Cat) |
6 | 3, 5 | syl 17 |
. . 3
β’ (π β πΆ β Cat) |
7 | | setcmon.x |
. . . 4
β’ (π β π β π) |
8 | 4, 3 | setcbas 17971 |
. . . 4
β’ (π β π = (BaseβπΆ)) |
9 | 7, 8 | eleqtrd 2840 |
. . 3
β’ (π β π β (BaseβπΆ)) |
10 | | setcmon.y |
. . . 4
β’ (π β π β π) |
11 | 10, 8 | eleqtrd 2840 |
. . 3
β’ (π β π β (BaseβπΆ)) |
12 | | eqid 2737 |
. . 3
β’
(SectβπΆ) =
(SectβπΆ) |
13 | 1, 2, 6, 9, 11, 12 | isinv 17650 |
. 2
β’ (π β (πΉ(πππ)πΊ β (πΉ(π(SectβπΆ)π)πΊ β§ πΊ(π(SectβπΆ)π)πΉ))) |
14 | 4, 3, 7, 10, 12 | setcsect 17982 |
. . . . 5
β’ (π β (πΉ(π(SectβπΆ)π)πΊ β (πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ β§ (πΊ β πΉ) = ( I βΎ π)))) |
15 | | df-3an 1090 |
. . . . 5
β’ ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ β§ (πΊ β πΉ) = ( I βΎ π)) β ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ (πΊ β πΉ) = ( I βΎ π))) |
16 | 14, 15 | bitrdi 287 |
. . . 4
β’ (π β (πΉ(π(SectβπΆ)π)πΊ β ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ (πΊ β πΉ) = ( I βΎ π)))) |
17 | 4, 3, 10, 7, 12 | setcsect 17982 |
. . . . 5
β’ (π β (πΊ(π(SectβπΆ)π)πΉ β (πΊ:πβΆπ β§ πΉ:πβΆπ β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π)))) |
18 | | 3ancoma 1099 |
. . . . . 6
β’ ((πΊ:πβΆπ β§ πΉ:πβΆπ β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π)) β (πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π))) |
19 | | df-3an 1090 |
. . . . . 6
β’ ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π)) β ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π))) |
20 | 18, 19 | bitri 275 |
. . . . 5
β’ ((πΊ:πβΆπ β§ πΉ:πβΆπ β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π)) β ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π))) |
21 | 17, 20 | bitrdi 287 |
. . . 4
β’ (π β (πΊ(π(SectβπΆ)π)πΉ β ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π)))) |
22 | 16, 21 | anbi12d 632 |
. . 3
β’ (π β ((πΉ(π(SectβπΆ)π)πΊ β§ πΊ(π(SectβπΆ)π)πΉ) β (((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ (πΊ β πΉ) = ( I βΎ π)) β§ ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π))))) |
23 | | anandi 675 |
. . 3
β’ (((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ ((πΊ β πΉ) = ( I βΎ π) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π))) β (((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ (πΊ β πΉ) = ( I βΎ π)) β§ ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π)))) |
24 | 22, 23 | bitr4di 289 |
. 2
β’ (π β ((πΉ(π(SectβπΆ)π)πΊ β§ πΊ(π(SectβπΆ)π)πΉ) β ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ ((πΊ β πΉ) = ( I βΎ π) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π))))) |
25 | | fcof1o 7247 |
. . . . . 6
β’ (((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ ((πΉ β πΊ) = ( I βΎ π) β§ (πΊ β πΉ) = ( I βΎ π))) β (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ β‘πΉ = πΊ)) |
26 | | eqcom 2744 |
. . . . . . 7
β’ (β‘πΉ = πΊ β πΊ = β‘πΉ) |
27 | 26 | anbi2i 624 |
. . . . . 6
β’ ((πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ β‘πΉ = πΊ) β (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) |
28 | 25, 27 | sylib 217 |
. . . . 5
β’ (((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ ((πΉ β πΊ) = ( I βΎ π) β§ (πΊ β πΉ) = ( I βΎ π))) β (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) |
29 | 28 | ancom2s 649 |
. . . 4
β’ (((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ ((πΊ β πΉ) = ( I βΎ π) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π))) β (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) |
30 | 29 | adantl 483 |
. . 3
β’ ((π β§ ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ ((πΊ β πΉ) = ( I βΎ π) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π)))) β (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) |
31 | | f1of 6789 |
. . . . 5
β’ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β πΉ:πβΆπ) |
32 | 31 | ad2antrl 727 |
. . . 4
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β πΉ:πβΆπ) |
33 | | f1ocnv 6801 |
. . . . . . 7
β’ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β β‘πΉ:πβ1-1-ontoβπ) |
34 | 33 | ad2antrl 727 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β β‘πΉ:πβ1-1-ontoβπ) |
35 | | f1oeq1 6777 |
. . . . . . 7
β’ (πΊ = β‘πΉ β (πΊ:πβ1-1-ontoβπ β β‘πΉ:πβ1-1-ontoβπ)) |
36 | 35 | ad2antll 728 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β (πΊ:πβ1-1-ontoβπ β β‘πΉ:πβ1-1-ontoβπ)) |
37 | 34, 36 | mpbird 257 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β πΊ:πβ1-1-ontoβπ) |
38 | | f1of 6789 |
. . . . 5
β’ (πΊ:πβ1-1-ontoβπ β πΊ:πβΆπ) |
39 | 37, 38 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β πΊ:πβΆπ) |
40 | | simprr 772 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β πΊ = β‘πΉ) |
41 | 40 | coeq1d 5822 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β (πΊ β πΉ) = (β‘πΉ β πΉ)) |
42 | | f1ococnv1 6818 |
. . . . . . 7
β’ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β (β‘πΉ β πΉ) = ( I βΎ π)) |
43 | 42 | ad2antrl 727 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β (β‘πΉ β πΉ) = ( I βΎ π)) |
44 | 41, 43 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β (πΊ β πΉ) = ( I βΎ π)) |
45 | 40 | coeq2d 5823 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β (πΉ β πΊ) = (πΉ β β‘πΉ)) |
46 | | f1ococnv2 6816 |
. . . . . . 7
β’ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β (πΉ β β‘πΉ) = ( I βΎ π)) |
47 | 46 | ad2antrl 727 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β (πΉ β β‘πΉ) = ( I βΎ π)) |
48 | 45, 47 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π)) |
49 | 44, 48 | jca 513 |
. . . 4
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β ((πΊ β πΉ) = ( I βΎ π) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π))) |
50 | 32, 39, 49 | jca31 516 |
. . 3
β’ ((π β§ (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ)) β ((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ ((πΊ β πΉ) = ( I βΎ π) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π)))) |
51 | 30, 50 | impbida 800 |
. 2
β’ (π β (((πΉ:πβΆπ β§ πΊ:πβΆπ) β§ ((πΊ β πΉ) = ( I βΎ π) β§ (πΉ β πΊ) = ( I βΎ π))) β (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ))) |
52 | 13, 24, 51 | 3bitrd 305 |
1
β’ (π β (πΉ(πππ)πΊ β (πΉ:πβ1-1-ontoβπ β§ πΊ = β‘πΉ))) |