MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcinv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem setcinv 18086
Description: An inverse in the category of sets is the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
setcmon.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
setcmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
setcmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
setcinv.n 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
setcinv (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
Proof of Theorem setcinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 setcinv.n . . 3 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
3 setcmon.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 setcmon.c . . . . 5 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
54setccat 18081 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
84, 3setcbas 18074 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
97, 8eleqtrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
10 setcmon.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
1110, 8eleqtrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
12 eqid 2728 . . 3 (Sectβ€˜πΆ) = (Sectβ€˜πΆ)
131, 2, 6, 9, 11, 12isinv 17750 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹)))
144, 3, 7, 10, 12setcsect 18085 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
15 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)))
1614, 15bitrdi 286 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
174, 3, 10, 7, 12setcsect 18085 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹 ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
18 3ancoma 1095 . . . . . 6 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
19 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
2018, 19bitri 274 . . . . 5 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
2117, 20bitrdi 286 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
2216, 21anbi12d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))))
23 anandi 674 . . 3 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) ↔ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
2422, 23bitr4di 288 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))))
25 fcof1o 7311 . . . . . 6 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = 𝐺))
26 eqcom 2735 . . . . . . 7 (◑𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐺 = ◑𝐹)
2726anbi2i 621 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = 𝐺) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
2825, 27sylib 217 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
2928ancom2s 648 . . . 4 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
3029adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
31 f1of 6844 . . . . 5 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3231ad2antrl 726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
33 f1ocnv 6856 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
3433ad2antrl 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
35 f1oeq1 6832 . . . . . . 7 (𝐺 = ◑𝐹 β†’ (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ↔ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋))
3635ad2antll 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ↔ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋))
3734, 36mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
38 f1of 6844 . . . . 5 (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
3937, 38syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
40 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺 = ◑𝐹)
4140coeq1d 5868 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) = (◑𝐹 ∘ 𝐹))
42 f1ococnv1 6873 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4342ad2antrl 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4441, 43eqtrd 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4540coeq2d 5869 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ◑𝐹))
46 f1ococnv2 6871 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4746ad2antrl 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4845, 47eqtrd 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4944, 48jca 510 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
5032, 39, 49jca31 513 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
5130, 50impbida 799 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
5213, 24, 513bitrd 304 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152   I cid 5579  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  Catccat 17651  Sectcsect 17734  Invcinv 17735  SetCatcsetc 18071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-hom 17264  df-cco 17265  df-cat 17655  df-cid 17656  df-sect 17737  df-inv 17738  df-setc 18072
This theorem is referenced by:  setciso  18087  yonedainv  18280
  Copyright terms: Public domain W3C validator