MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcinv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem setcinv 18049
Description: An inverse in the category of sets is the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
setcmon.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
setcmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
setcmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
setcinv.n 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
setcinv (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
Proof of Theorem setcinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 setcinv.n . . 3 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
3 setcmon.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 setcmon.c . . . . 5 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
54setccat 18044 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
84, 3setcbas 18037 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
97, 8eleqtrd 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
10 setcmon.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
1110, 8eleqtrd 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
12 eqid 2726 . . 3 (Sectβ€˜πΆ) = (Sectβ€˜πΆ)
131, 2, 6, 9, 11, 12isinv 17713 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹)))
144, 3, 7, 10, 12setcsect 18048 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
15 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)))
1614, 15bitrdi 287 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
174, 3, 10, 7, 12setcsect 18048 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹 ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
18 3ancoma 1095 . . . . . 6 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
19 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
2018, 19bitri 275 . . . . 5 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
2117, 20bitrdi 287 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
2216, 21anbi12d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))))
23 anandi 673 . . 3 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) ↔ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
2422, 23bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))))
25 fcof1o 7289 . . . . . 6 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = 𝐺))
26 eqcom 2733 . . . . . . 7 (◑𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐺 = ◑𝐹)
2726anbi2i 622 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = 𝐺) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
2825, 27sylib 217 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
2928ancom2s 647 . . . 4 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
3029adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
31 f1of 6826 . . . . 5 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3231ad2antrl 725 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
33 f1ocnv 6838 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
3433ad2antrl 725 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
35 f1oeq1 6814 . . . . . . 7 (𝐺 = ◑𝐹 β†’ (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ↔ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋))
3635ad2antll 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ↔ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋))
3734, 36mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
38 f1of 6826 . . . . 5 (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
3937, 38syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
40 simprr 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺 = ◑𝐹)
4140coeq1d 5854 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) = (◑𝐹 ∘ 𝐹))
42 f1ococnv1 6855 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4342ad2antrl 725 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4441, 43eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4540coeq2d 5855 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ◑𝐹))
46 f1ococnv2 6853 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4746ad2antrl 725 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4845, 47eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4944, 48jca 511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
5032, 39, 49jca31 514 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
5130, 50impbida 798 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
5213, 24, 513bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   I cid 5566  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  Catccat 17614  Sectcsect 17697  Invcinv 17698  SetCatcsetc 18034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-hom 17227  df-cco 17228  df-cat 17618  df-cid 17619  df-sect 17700  df-inv 17701  df-setc 18035
This theorem is referenced by:  setciso  18050  yonedainv  18243
  Copyright terms: Public domain W3C validator