Theorem setcinv 18048

Description: An inverse in the category of sets is the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcmon.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setcmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
setcinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setcinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))

Proof of Theorem setcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		setcinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		setcmon.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		setcmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
5	4	setccat 18043	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		setcmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
8	4, 3	setcbas 18036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
9	7, 8	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
10		setcmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11	10, 8	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
13	1, 2, 6, 9, 11, 12	isinv 17718	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹)))
14	4, 3, 7, 10, 12	setcsect 18047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
15		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
16	14, 15	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
17	4, 3, 10, 7, 12	setcsect 18047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ (𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
18		3ancoma 1098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
19		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
20	18, 19	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
21	17, 20	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
22	16, 21	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
23		anandi 677	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
24	22, 23	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
25		fcof1o 7244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ◡𝐹 = 𝐺))
26		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐺 = ◡𝐹)
27	26	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ◡𝐹 = 𝐺) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
28	25, 27	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
29	28	ancom2s 651	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
30	29	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
31		f1of 6774	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
32	31	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
33		f1ocnv 6786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
34	33	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
35		f1oeq1 6762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ◡𝐹 → (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 ↔ ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋))
36	35	ad2antll 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 ↔ ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋))
37	34, 36	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋)
38		f1of 6774	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
40		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺 = ◡𝐹)
41	40	coeq1d 5810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ 𝐹))
42		f1ococnv1 6803	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
43	42	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
44	41, 43	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
45	40	coeq2d 5811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
46		f1ococnv2 6801	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
47	46	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
48	45, 47	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))
49	44, 48	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
50	32, 39, 49	jca31 514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
51	30, 50	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))
52	13, 24, 51	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   I cid 5518  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Catccat 17621  Sectcsect 17702  Invcinv 17703  SetCatcsetc 18033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-sect 17705  df-inv 17706  df-setc 18034

This theorem is referenced by:  setciso  18049  yonedainv  18238