MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcinv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem setcinv 18039
Description: An inverse in the category of sets is the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
setcmon.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
setcmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
setcmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
setcinv.n 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
setcinv (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
Proof of Theorem setcinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 setcinv.n . . 3 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
3 setcmon.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 setcmon.c . . . . 5 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
54setccat 18034 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
84, 3setcbas 18027 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
97, 8eleqtrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
10 setcmon.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
1110, 8eleqtrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
12 eqid 2732 . . 3 (Sectβ€˜πΆ) = (Sectβ€˜πΆ)
131, 2, 6, 9, 11, 12isinv 17706 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹)))
144, 3, 7, 10, 12setcsect 18038 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
15 df-3an 1089 . . . . 5 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)))
1614, 15bitrdi 286 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
174, 3, 10, 7, 12setcsect 18038 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹 ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
18 3ancoma 1098 . . . . . 6 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
19 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
2018, 19bitri 274 . . . . 5 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
2117, 20bitrdi 286 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
2216, 21anbi12d 631 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))))
23 anandi 674 . . 3 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) ↔ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
2422, 23bitr4di 288 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))))
25 fcof1o 7293 . . . . . 6 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = 𝐺))
26 eqcom 2739 . . . . . . 7 (◑𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐺 = ◑𝐹)
2726anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = 𝐺) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
2825, 27sylib 217 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
2928ancom2s 648 . . . 4 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
3029adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
31 f1of 6833 . . . . 5 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3231ad2antrl 726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
33 f1ocnv 6845 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
3433ad2antrl 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
35 f1oeq1 6821 . . . . . . 7 (𝐺 = ◑𝐹 β†’ (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ↔ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋))
3635ad2antll 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ↔ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋))
3734, 36mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
38 f1of 6833 . . . . 5 (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
3937, 38syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
40 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺 = ◑𝐹)
4140coeq1d 5861 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) = (◑𝐹 ∘ 𝐹))
42 f1ococnv1 6862 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4342ad2antrl 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4441, 43eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4540coeq2d 5862 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ◑𝐹))
46 f1ococnv2 6860 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4746ad2antrl 726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4845, 47eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4944, 48jca 512 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
5032, 39, 49jca31 515 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
5130, 50impbida 799 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
5213, 24, 513bitrd 304 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  Catccat 17607  Sectcsect 17690  Invcinv 17691  SetCatcsetc 18024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17611  df-cid 17612  df-sect 17693  df-inv 17694  df-setc 18025
This theorem is referenced by:  setciso  18040  yonedainv  18233
  Copyright terms: Public domain W3C validator