Theorem setcinv 18270

Description: An inverse in the category of sets is the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcmon.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setcmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
setcinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setcinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))

Proof of Theorem setcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		setcinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		setcmon.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		setcmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
5	4	setccat 18265	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		setcmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
8	4, 3	setcbas 18258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
9	7, 8	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
10		setcmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11	10, 8	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
13	1, 2, 6, 9, 11, 12	isinv 17940	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹)))
14	4, 3, 7, 10, 12	setcsect 18269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
15		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
16	14, 15	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
17	4, 3, 10, 7, 12	setcsect 18269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ (𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
18		3ancoma 1115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
19		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
20	18, 19	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
21	17, 20	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
22	16, 21	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
23		anandi 689	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
24	22, 23	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
25		fcof1o 7304	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ◡𝐹 = 𝐺))
26		eqcom 2767	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐺 = ◡𝐹)
27	26	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ◡𝐹 = 𝐺) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
28	25, 27	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
29	28	ancom2s 663	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
30	29	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
31		f1of 6824	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
32	31	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
33		f1ocnv 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
34	33	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
35		f1oeq1 6812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ◡𝐹 → (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 ↔ ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋))
36	35	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 ↔ ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋))
37	34, 36	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋)
38		f1of 6824	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
40		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺 = ◡𝐹)
41	40	coeq1d 5838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ 𝐹))
42		f1ococnv1 6854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
43	42	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
44	41, 43	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
45	40	coeq2d 5839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
46		f1ococnv2 6852	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
47	46	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
48	45, 47	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))
49	44, 48	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
50	32, 39, 49	jca31 524	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
51	30, 50	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))
52	13, 24, 51	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   I cid 5544  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  Catccat 17843  Sectcsect 17924  Invcinv 17925  SetCatcsetc 18255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-hom 17457  df-cco 17458  df-cat 17847  df-cid 17848  df-sect 17927  df-inv 17928  df-setc 18256

This theorem is used by:  setciso  18271  yonedainv  18460