Theorem setcinv 18057

Description: An inverse in the category of sets is the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcmon.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setcmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
setcinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setcinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))

Proof of Theorem setcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		setcinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		setcmon.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		setcmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
5	4	setccat 18052	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		setcmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
8	4, 3	setcbas 18045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
9	7, 8	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
10		setcmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11	10, 8	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
13	1, 2, 6, 9, 11, 12	isinv 17727	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹)))
14	4, 3, 7, 10, 12	setcsect 18056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
15		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
16	14, 15	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
17	4, 3, 10, 7, 12	setcsect 18056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ (𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
18		3ancoma 1098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
19		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
20	18, 19	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
21	17, 20	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
22	16, 21	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
23		anandi 677	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
24	22, 23	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
25		fcof1o 7251	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ◡𝐹 = 𝐺))
26		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐺 = ◡𝐹)
27	26	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ◡𝐹 = 𝐺) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
28	25, 27	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
29	28	ancom2s 651	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
30	29	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
31		f1of 6780	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
32	31	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
33		f1ocnv 6792	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
34	33	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
35		f1oeq1 6768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ◡𝐹 → (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 ↔ ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋))
36	35	ad2antll 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 ↔ ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋))
37	34, 36	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋)
38		f1of 6780	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
40		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺 = ◡𝐹)
41	40	coeq1d 5816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ 𝐹))
42		f1ococnv1 6809	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
43	42	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
44	41, 43	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
45	40	coeq2d 5817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
46		f1ococnv2 6807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
47	46	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
48	45, 47	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))
49	44, 48	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
50	32, 39, 49	jca31 514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
51	30, 50	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))
52	13, 24, 51	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   I cid 5525  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Catccat 17630  Sectcsect 17711  Invcinv 17712  SetCatcsetc 18042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17634  df-cid 17635  df-sect 17714  df-inv 17715  df-setc 18043

This theorem is referenced by:  setciso  18058  yonedainv  18247