Theorem setcinv 17805

Description: An inverse in the category of sets is the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcmon.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setcmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
setcinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setcinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))

Proof of Theorem setcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		setcinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		setcmon.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		setcmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
5	4	setccat 17800	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		setcmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
8	4, 3	setcbas 17793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
9	7, 8	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
10		setcmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11	10, 8	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
13	1, 2, 6, 9, 11, 12	isinv 17472	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹)))
14	4, 3, 7, 10, 12	setcsect 17804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
15		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
16	14, 15	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
17	4, 3, 10, 7, 12	setcsect 17804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ (𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
18		3ancoma 1097	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
19		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
20	18, 19	bitri 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
21	17, 20	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
22	16, 21	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
23		anandi 673	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
24	22, 23	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
25		fcof1o 7168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ◡𝐹 = 𝐺))
26		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐺 = ◡𝐹)
27	26	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ ◡𝐹 = 𝐺) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
28	25, 27	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
29	28	ancom2s 647	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
30	29	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))) → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
31		f1of 6716	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
32	31	ad2antrl 725	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
33		f1ocnv 6728	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
34	33	ad2antrl 725	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
35		f1oeq1 6704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ◡𝐹 → (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 ↔ ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋))
36	35	ad2antll 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 ↔ ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋))
37	34, 36	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋)
38		f1of 6716	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑌–1-1-onto→𝑋 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
40		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺 = ◡𝐹)
41	40	coeq1d 5770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ 𝐹))
42		f1ococnv1 6745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
43	42	ad2antrl 725	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
44	41, 43	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
45	40	coeq2d 5771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
46		f1ococnv2 6743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
47	46	ad2antrl 725	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
48	45, 47	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))
49	44, 48	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
50	32, 39, 49	jca31 515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
51	30, 50	impbida 798	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))
52	13, 24, 51	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   I cid 5488  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Catccat 17373  Sectcsect 17456  Invcinv 17457  SetCatcsetc 17790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-hom 16986  df-cco 16987  df-cat 17377  df-cid 17378  df-sect 17459  df-inv 17460  df-setc 17791

This theorem is referenced by:  setciso  17806  yonedainv  17999