Theorem setcinv 18294

Description: An inverse in the category of sets is the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcmon.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setcmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
setcinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setcinv	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))

Proof of Theorem setcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		setcinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		setcmon.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		setcmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
5	4	setccat 18289	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		setcmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
8	4, 3	setcbas 18282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
9	7, 8	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
10		setcmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11	10, 8	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
13	1, 2, 6, 9, 11, 12	isinv 17964	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹)))
14	4, 3, 7, 10, 12	setcsect 18293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
15		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
16	14, 15	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
17	4, 3, 10, 7, 12	setcsect 18293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ (𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
18		3ancoma 1115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
19		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
20	18, 19	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
21	17, 20	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
22	16, 21	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
23		anandi 689	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
24	22, 23	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
25		fcof1o 7327	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ ◡𝐹 = 𝐺))
26		eqcom 2770	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐺 = ◡𝐹)
27	26	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ ◡𝐹 = 𝐺) ↔ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
28	25, 27	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
29	28	ancom2s 663	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) → (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
30	29	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))) → (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹))
31		f1of 6846	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
32	31	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
33		f1ocnv 6859	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 → ◡𝐹:𝑌⟶1-1onto𝑋)
34	33	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ◡𝐹:𝑌⟶1-1onto𝑋)
35		f1oeq1 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ◡𝐹 → (𝐺:𝑌⟶1-1onto𝑋 ↔ ◡𝐹:𝑌⟶1-1onto𝑋))
36	35	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺:𝑌⟶1-1onto𝑋 ↔ ◡𝐹:𝑌⟶1-1onto𝑋))
37	34, 36	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺:𝑌⟶1-1onto𝑋)
38		f1of 6846	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑌⟶1-1onto𝑋 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
40		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → 𝐺 = ◡𝐹)
41	40	coeq1d 5845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ 𝐹))
42		f1ococnv1 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
43	42	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
44	41, 43	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
45	40	coeq2d 5846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
46		f1ococnv2 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
47	46	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
48	45, 47	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))
49	44, 48	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
50	32, 39, 49	jca31 524	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)) → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
51	30, 50	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))
52	13, 24, 51	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑌 ∧ 𝐺 = ◡𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   I cid 5549  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6554  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  Catccat 17867  Sectcsect 17948  Invcinv 17949  SetCatcsetc 18279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-hom 17481  df-cco 17482  df-cat 17871  df-cid 17872  df-sect 17951  df-inv 17952  df-setc 18280

This theorem is used by:  setciso  18295  yonedainv  18484