MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setcinv 17983
Description: An inverse in the category of sets is the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
setcmon.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
setcmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
setcmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
setcinv.n 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
setcinv (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))

Proof of Theorem setcinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 setcinv.n . . 3 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
3 setcmon.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 setcmon.c . . . . 5 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
54setccat 17978 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
84, 3setcbas 17971 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
97, 8eleqtrd 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
10 setcmon.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
1110, 8eleqtrd 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
12 eqid 2737 . . 3 (Sectβ€˜πΆ) = (Sectβ€˜πΆ)
131, 2, 6, 9, 11, 12isinv 17650 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹)))
144, 3, 7, 10, 12setcsect 17982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
15 df-3an 1090 . . . . 5 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)))
1614, 15bitrdi 287 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
174, 3, 10, 7, 12setcsect 17982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹 ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
18 3ancoma 1099 . . . . . 6 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
19 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
2018, 19bitri 275 . . . . 5 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
2117, 20bitrdi 287 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
2216, 21anbi12d 632 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))))
23 anandi 675 . . 3 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) ↔ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
2422, 23bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)𝐺 ∧ 𝐺(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))))
25 fcof1o 7247 . . . . . 6 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = 𝐺))
26 eqcom 2744 . . . . . . 7 (◑𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐺 = ◑𝐹)
2726anbi2i 624 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ ◑𝐹 = 𝐺) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
2825, 27sylib 217 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
2928ancom2s 649 . . . 4 (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
3029adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))) β†’ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹))
31 f1of 6789 . . . . 5 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3231ad2antrl 727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
33 f1ocnv 6801 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
3433ad2antrl 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
35 f1oeq1 6777 . . . . . . 7 (𝐺 = ◑𝐹 β†’ (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ↔ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋))
3635ad2antll 728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ↔ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋))
3734, 36mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
38 f1of 6789 . . . . 5 (𝐺:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
3937, 38syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
40 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ 𝐺 = ◑𝐹)
4140coeq1d 5822 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) = (◑𝐹 ∘ 𝐹))
42 f1ococnv1 6818 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4342ad2antrl 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4441, 43eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))
4540coeq2d 5823 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ◑𝐹))
46 f1ococnv2 6816 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4746ad2antrl 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4845, 47eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))
4944, 48jca 513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ)))
5032, 39, 49jca31 516 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))))
5130, 50impbida 800 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ π‘Œ))) ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
5213, 24, 513bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺 = ◑𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110   I cid 5535  β—‘ccnv 5637   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  Catccat 17551  Sectcsect 17634  Invcinv 17635  SetCatcsetc 17968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-hom 17164  df-cco 17165  df-cat 17555  df-cid 17556  df-sect 17637  df-inv 17638  df-setc 17969
This theorem is referenced by:  setciso  17984  yonedainv  18177
  Copyright terms: Public domain W3C validator