Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp211 1312 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β πΉ β π) |
3 | | simp212 1313 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
4 | 2, 3 | jca 513 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) |
5 | | simp32 1211 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β π β π) |
6 | | simp213 1314 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β π β π) |
7 | | simp23 1209 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | | simp1r 1199 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
9 | 7, 8 | jca 513 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) |
10 | | cdlemk5.b |
. . . . . . . . 9
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
11 | | cdlemk5.l |
. . . . . . . . 9
β’ β€ =
(leβπΎ) |
12 | | cdlemk5.j |
. . . . . . . . 9
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
13 | | cdlemk5.m |
. . . . . . . . 9
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
14 | | cdlemk5.a |
. . . . . . . . 9
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
15 | | cdlemk5.h |
. . . . . . . . 9
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdlemk5.t |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
17 | | cdlemk5.r |
. . . . . . . . 9
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
18 | | cdlemk5.z |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
19 | | cdlemk5.y |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
20 | | cdlemk5.x |
. . . . . . . . 9
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
21 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | cdlemk35s-id 39798 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β β¦π / πβ¦π β π) |
22 | 1, 4, 5, 6, 9, 21 | syl131anc 1384 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β β¦π / πβ¦π β π) |
23 | 10, 15, 16 | ltrn1o 38984 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ β¦π / πβ¦π β π) β β¦π / πβ¦π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
24 | 1, 22, 23 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β β¦π / πβ¦π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
25 | | f1ococnv2 6858 |
. . . . . 6
β’
(β¦π /
πβ¦π:π΅β1-1-ontoβπ΅ β (β¦π / πβ¦π β β‘β¦π / πβ¦π) = ( I βΎ π΅)) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (β¦π / πβ¦π β β‘β¦π / πβ¦π) = ( I βΎ π΅)) |
27 | 26 | coeq2d 5861 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β (β¦π / πβ¦π β β‘β¦π / πβ¦π)) = (β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β ( I βΎ π΅))) |
28 | | simp22 1208 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β πΊ β π) |
29 | | simp31l 1297 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β πΌ β π) |
30 | 15, 16 | ltrnco 39579 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β (πΊ β πΌ) β π) |
31 | 1, 28, 29, 30 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (πΊ β πΌ) β π) |
32 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | cdlemk35s-id 39798 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β πΌ) β π β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β π) |
33 | 1, 4, 31, 6, 9, 32 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β π) |
34 | 10, 15, 16 | ltrn1o 38984 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β π) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
35 | 1, 33, 34 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
36 | | f1of 6831 |
. . . . 5
β’
(β¦(πΊ
β πΌ) / πβ¦π:π΅β1-1-ontoβπ΅ β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π:π΅βΆπ΅) |
37 | | fcoi1 6763 |
. . . . 5
β’
(β¦(πΊ
β πΌ) / πβ¦π:π΅βΆπ΅ β (β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β ( I βΎ π΅)) = β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π) |
38 | 35, 36, 37 | 3syl 18 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β ( I βΎ π΅)) = β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π) |
39 | 27, 38 | eqtr2d 2774 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π = (β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β (β¦π / πβ¦π β β‘β¦π / πβ¦π))) |
40 | | coass 6262 |
. . 3
β’
((β¦(πΊ
β πΌ) / πβ¦π β β¦π / πβ¦π) β β‘β¦π / πβ¦π) = (β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β (β¦π / πβ¦π β β‘β¦π / πβ¦π)) |
41 | 39, 40 | eqtr4di 2791 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π = ((β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β β¦π / πβ¦π) β β‘β¦π / πβ¦π)) |
42 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | cdlemk54 39818 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β β¦π / πβ¦π) = ((β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β β¦π / πβ¦π)) |
43 | 42 | coeq1d 5860 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β ((β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β β¦π / πβ¦π) β β‘β¦π / πβ¦π) = (((β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β β¦π / πβ¦π) β β‘β¦π / πβ¦π)) |
44 | | coass 6262 |
. . . 4
β’
(((β¦πΊ
/ πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β β¦π / πβ¦π) β β‘β¦π / πβ¦π) = ((β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β (β¦π / πβ¦π β β‘β¦π / πβ¦π)) |
45 | 26 | coeq2d 5861 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β ((β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β (β¦π / πβ¦π β β‘β¦π / πβ¦π)) = ((β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β ( I βΎ π΅))) |
46 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | cdlemk35s-id 39798 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β β¦πΊ / πβ¦π β π) |
47 | 1, 4, 28, 6, 9, 46 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β β¦πΊ / πβ¦π β π) |
48 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | cdlemk35s-id 39798 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ πΌ β π β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β β¦πΌ / πβ¦π β π) |
49 | 1, 4, 29, 6, 9, 48 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β β¦πΌ / πβ¦π β π) |
50 | 15, 16 | ltrnco 39579 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ β¦πΊ / πβ¦π β π β§ β¦πΌ / πβ¦π β π) β (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β π) |
51 | 1, 47, 49, 50 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β π) |
52 | 10, 15, 16 | ltrn1o 38984 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β π) β (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π):π΅β1-1-ontoβπ΅) |
53 | 1, 51, 52 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π):π΅β1-1-ontoβπ΅) |
54 | | f1of 6831 |
. . . . . 6
β’
((β¦πΊ /
πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π):π΅β1-1-ontoβπ΅ β (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π):π΅βΆπ΅) |
55 | | fcoi1 6763 |
. . . . . 6
β’
((β¦πΊ /
πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π):π΅βΆπ΅ β ((β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β ( I βΎ π΅)) = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |
56 | 53, 54, 55 | 3syl 18 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β ((β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β ( I βΎ π΅)) = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |
57 | 45, 56 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β ((β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β (β¦π / πβ¦π β β‘β¦π / πβ¦π)) = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |
58 | 44, 57 | eqtrid 2785 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β (((β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π) β β¦π / πβ¦π) β β‘β¦π / πβ¦π) = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |
59 | 43, 58 | eqtrd 2773 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β ((β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π β β¦π / πβ¦π) β β‘β¦π / πβ¦π) = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |
60 | 41, 59 | eqtrd 2773 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β§ π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ) β§ (π
βπ) β (π
β(πΊ β πΌ))))) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |