Theorem cdlemk55a 41419

Description: Lemma for cdlemk55 41421. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk55a	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧   𝑗,𝑏,𝑔,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐼(𝑗)   ∨ (𝑗)   𝐾(𝑗)   ≤ (𝑗)   ∧ (𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑧,𝑔,𝑗,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑗,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑗,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk55a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp211 1313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simp212 1314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4	2, 3	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
5		simp32 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → 𝑗 ∈ 𝑇)
6		simp213 1315	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
7		simp23 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
8		simp1r 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
9	7, 8	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
10		cdlemk5.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11		cdlemk5.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		cdlemk5.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13		cdlemk5.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14		cdlemk5.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15		cdlemk5.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16		cdlemk5.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17		cdlemk5.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18		cdlemk5.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
19		cdlemk5.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
20		cdlemk5.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
21	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk35s-id 41398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
22	1, 4, 5, 6, 9, 21	syl131anc 1386	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
23	10, 15, 16	ltrn1o 40584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇) → ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋:𝐵–1-1-onto→𝐵)
24	1, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋:𝐵–1-1-onto→𝐵)
25		f1ococnv2 6801	. . . . . 6 ⊢ (⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
27	26	coeq2d 5811	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ (⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋)) = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
28		simp22 1209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
29		simp31l 1298	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → 𝐼 ∈ 𝑇)
30	15, 16	ltrnco 41179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
31	1, 28, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
32	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk35s-id 41398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
33	1, 4, 31, 6, 9, 32	syl131anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
34	10, 15, 16	ltrn1o 40584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋:𝐵–1-1-onto→𝐵)
35	1, 33, 34	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋:𝐵–1-1-onto→𝐵)
36		f1of 6774	. . . . 5 ⊢ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋:𝐵⟶𝐵)
37		fcoi1 6708	. . . . 5 ⊢ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋:𝐵⟶𝐵 → (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋)
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋)
39	27, 38	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ (⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋)))
40		coass 6224	. . 3 ⊢ ((⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ (⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
41	39, 40	eqtr4di 2790	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 = ((⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
42	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk54 41418	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
43	42	coeq1d 5810	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ((⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = (((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
44		coass 6224	. . . 4 ⊢ (((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ (⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
45	26	coeq2d 5811	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ (⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋)) = ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
46	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk35s-id 41398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
47	1, 4, 28, 6, 9, 46	syl131anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
48	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk35s-id 41398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
49	1, 4, 29, 6, 9, 48	syl131anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
50	15, 16	ltrnco 41179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∈ 𝑇)
51	1, 47, 49, 50	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∈ 𝑇)
52	10, 15, 16	ltrn1o 40584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∈ 𝑇) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋):𝐵–1-1-onto→𝐵)
53	1, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋):𝐵–1-1-onto→𝐵)
54		f1of 6774	. . . . . 6 ⊢ ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋):𝐵⟶𝐵)
55		fcoi1 6708	. . . . . 6 ⊢ ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋):𝐵⟶𝐵 → ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))
56	53, 54, 55	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))
57	45, 56	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ (⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋)) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))
58	44, 57	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))
59	43, 58	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ((⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ◡⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))
60	41, 59	eqtrd 2772	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ⦋csb 3838   class class class wbr 5086   I cid 5518  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  ℩crio 7316  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  lecple 17218  joincjn 18268  meetcmee 18269  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  LHypclh 40444  LTrncltrn 40561  trLctrl 40618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-riotaBAD 39413

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-undef 8216  df-map 8768  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-llines 39958  df-lplanes 39959  df-lvols 39960  df-lines 39961  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-lhyp 40448  df-laut 40449  df-ldil 40564  df-ltrn 40565  df-trl 40619

This theorem is referenced by:  cdlemk55b  41420