Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk55a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk55a 39819
Description: Lemma for cdlemk55 39821. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cdlemk55a ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≀ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≀   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐡,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,π‘Œ   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧   𝑗,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐡(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐼(𝑗)   ∨ (𝑗)   𝐾(𝑗)   ≀ (𝑗)   ∧ (𝑗)   𝑁(𝑗)   π‘Š(𝑗)   𝑋(𝑧,𝑔,𝑗,𝑏)   π‘Œ(𝑔,𝑗,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑗,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk55a
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp211 1312 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3 simp212 1313 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
42, 3jca 513 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
5 simp32 1211 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑇)
6 simp213 1314 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
7 simp23 1209 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
8 simp1r 1199 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
97, 8jca 513 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)))
10 cdlemk5.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
11 cdlemk5.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 cdlemk5.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
13 cdlemk5.m . . . . . . . . 9 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
14 cdlemk5.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
15 cdlemk5.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
16 cdlemk5.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 cdlemk5.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 cdlemk5.z . . . . . . . . 9 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
19 cdlemk5.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
20 cdlemk5.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
2110, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 39798 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
221, 4, 5, 6, 9, 21syl131anc 1384 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
2310, 15, 16ltrn1o 38984 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇) β†’ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
241, 22, 23syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
25 f1ococnv2 6858 . . . . . 6 (⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = ( I β†Ύ 𝐡))
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = ( I β†Ύ 𝐡))
2726coeq2d 5861 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ (⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹)) = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
28 simp22 1208 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
29 simp31l 1297 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑇)
3015, 16ltrnco 39579 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
311, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
3210, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 39798 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
331, 4, 31, 6, 9, 32syl131anc 1384 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
3410, 15, 16ltrn1o 38984 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
351, 33, 34syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
36 f1of 6831 . . . . 5 (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹:𝐡⟢𝐡)
37 fcoi1 6763 . . . . 5 (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹:𝐡⟢𝐡 β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹)
3835, 36, 373syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹)
3927, 38eqtr2d 2774 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ (⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹)))
40 coass 6262 . . 3 ((⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ (⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
4139, 40eqtr4di 2791 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ = ((⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
4210, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk54 39818 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
4342coeq1d 5860 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ((⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
44 coass 6262 . . . 4 (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ (⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
4526coeq2d 5861 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ (⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹)) = ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
4610, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 39798 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
471, 4, 28, 6, 9, 46syl131anc 1384 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
4810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 39798 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
491, 4, 29, 6, 9, 48syl131anc 1384 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
5015, 16ltrnco 39579 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇 ∧ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝑇)
511, 47, 49, 50syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝑇)
5210, 15, 16ltrn1o 38984 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝑇) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹):𝐡–1-1-onto→𝐡)
531, 51, 52syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹):𝐡–1-1-onto→𝐡)
54 f1of 6831 . . . . . 6 ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹):𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹):𝐡⟢𝐡)
55 fcoi1 6763 . . . . . 6 ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹):𝐡⟢𝐡 β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
5653, 54, 553syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
5745, 56eqtrd 2773 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ (⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹)) = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
5844, 57eqtrid 2785 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
5943, 58eqtrd 2773 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ((⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ◑⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
6041, 59eqtrd 2773 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  β¦‹csb 3893   class class class wbr 5148   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  β„©crio 7361  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  lecple 17201  joincjn 18261  meetcmee 18262  Atomscatm 38122  HLchlt 38209  LHypclh 38844  LTrncltrn 38961  trLctrl 39018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-riotaBAD 37812
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-undef 8255  df-map 8819  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358  df-lplanes 38359  df-lvols 38360  df-lines 38361  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019
This theorem is referenced by:  cdlemk55b  39820
  Copyright terms: Public domain W3C validator