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Theorem cdlemk45 39456
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 37, p. 119. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. They do not explicitly mention the requirement (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡). (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cdlemk45 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≀ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≀   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐡,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,π‘Œ   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   π‘Œ(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk45
StepHypRef Expression
1 simp11 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp12 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
3 simp13l 1289 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
4 simp31 1210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑇)
5 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
75, 6ltrnco 39228 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
81, 3, 4, 7syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
9 simp33 1212 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
108, 9jca 513 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
11 simp2 1138 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)))
12 simp32 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
13 cdlemk5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 cdlemk5.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 cdlemk5.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
16 cdlemk5.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
17 cdlemk5.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
18 cdlemk5.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 cdlemk5.z . . . 4 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
20 cdlemk5.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
21 cdlemk5.x . . . 4 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
2213, 14, 15, 16, 17, 5, 6, 18, 19, 20, 21cdlemk11t 39455 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐼 ∘ β—‘(𝐺 ∘ 𝐼)))))
231, 2, 10, 11, 4, 12, 22syl312anc 1392 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐼 ∘ β—‘(𝐺 ∘ 𝐼)))))
24 cnvco 5842 . . . . . . . 8 β—‘(𝐺 ∘ 𝐼) = (◑𝐼 ∘ ◑𝐺)
2524coeq2i 5817 . . . . . . 7 (𝐼 ∘ β—‘(𝐺 ∘ 𝐼)) = (𝐼 ∘ (◑𝐼 ∘ ◑𝐺))
26 coass 6218 . . . . . . 7 ((𝐼 ∘ ◑𝐼) ∘ ◑𝐺) = (𝐼 ∘ (◑𝐼 ∘ ◑𝐺))
2725, 26eqtr4i 2764 . . . . . 6 (𝐼 ∘ β—‘(𝐺 ∘ 𝐼)) = ((𝐼 ∘ ◑𝐼) ∘ ◑𝐺)
2813, 5, 6ltrn1o 38633 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ 𝐼:𝐡–1-1-onto→𝐡)
291, 4, 28syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐼:𝐡–1-1-onto→𝐡)
30 f1ococnv2 6812 . . . . . . . . 9 (𝐼:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (𝐼 ∘ ◑𝐼) = ( I β†Ύ 𝐡))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐼 ∘ ◑𝐼) = ( I β†Ύ 𝐡))
3231coeq1d 5818 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((𝐼 ∘ ◑𝐼) ∘ ◑𝐺) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝐺))
3313, 5, 6ltrn1o 38633 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
341, 3, 33syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
35 f1ocnv 6797 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ◑𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
36 f1of 6785 . . . . . . . 8 (◑𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ◑𝐺:𝐡⟢𝐡)
37 fcoi2 6718 . . . . . . . 8 (◑𝐺:𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝐺) = ◑𝐺)
3834, 35, 36, 374syl 19 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ◑𝐺) = ◑𝐺)
3932, 38eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((𝐼 ∘ ◑𝐼) ∘ ◑𝐺) = ◑𝐺)
4027, 39eqtrid 2785 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐼 ∘ β—‘(𝐺 ∘ 𝐼)) = ◑𝐺)
4140fveq2d 6847 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(𝐼 ∘ β—‘(𝐺 ∘ 𝐼))) = (π‘…β€˜β—‘πΊ))
425, 6, 18trlcnv 38674 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΊ) = (π‘…β€˜πΊ))
431, 3, 42syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΊ) = (π‘…β€˜πΊ))
4441, 43eqtrd 2773 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(𝐼 ∘ β—‘(𝐺 ∘ 𝐼))) = (π‘…β€˜πΊ))
4544oveq2d 7374 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐼 ∘ β—‘(𝐺 ∘ 𝐼)))) = ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
4623, 45breqtrd 5132 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  β¦‹csb 3856   class class class wbr 5106   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493  LTrncltrn 38610  trLctrl 38667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8770  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668
This theorem is referenced by:  cdlemk46  39457  cdlemk47  39458
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