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Theorem psrass1lemOLD 21861
Description: Obsolete version of psrass1lem 21864 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
gsumbagdiagOLD.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
gsumbagdiagOLD.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
gsumbagdiagOLD.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumbagdiagOLD.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
gsumbagdiagOLD.x ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
psrass1lemOLD.y (π‘˜ = (𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
psrass1lemOLD (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺   𝑓,𝑋,𝑦   𝐷,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐹,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐼,π‘₯   𝑛,𝑉,π‘₯   𝑓,𝑗,π‘˜,𝑦,𝑛,π‘₯,𝐹   𝑗,𝐺,π‘˜,𝑛,𝑦   𝑦,𝑉   𝑦,𝐼   πœ‘,𝑗,π‘˜   𝑆,𝑗,π‘˜   𝐡,𝑗,π‘˜   𝐷,𝑗,π‘˜   𝑛,𝑋,π‘₯   𝑓,π‘Œ,π‘˜,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑛)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑗,π‘˜)   𝑉(𝑓,𝑗,π‘˜)   𝑋(𝑗,π‘˜)   π‘Œ(𝑗,𝑛)

Proof of Theorem psrass1lemOLD
Dummy variables 𝑧 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
2 psrbagconf1o.s . . . 4 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
3 gsumbagdiagOLD.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4 gsumbagdiagOLD.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
5 gsumbagdiagOLD.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
6 gsumbagdiagOLD.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
71, 2, 3, 4gsumbagdiaglemOLD 21859 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}))
8 gsumbagdiagOLD.x . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
98anassrs 467 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
109fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡)
113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
122ssrab3 4076 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 βŠ† 𝐷
134adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝑗 ∈ 𝑆)
151, 2psrbagconclOLD 21855 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝑆)
1611, 13, 14, 15syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝑆)
1712, 16sselid 3976 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
18 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}
191, 18psrbagconf1oOLD 21858 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷) β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}–1-1-ontoβ†’{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
2011, 17, 19syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}–1-1-ontoβ†’{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
21 f1of 6833 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}–1-1-ontoβ†’{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
23 fco 6741 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡 ∧ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š))):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡)
2410, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š))):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡)
2511adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2613adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
271psrbagfOLD 21839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2825, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2928ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
3014adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑗 ∈ 𝑆)
3112, 30sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
321psrbagfOLD 21839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0)
3325, 31, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0)
3433ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0)
35 ssrab2 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} βŠ† 𝐷
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
3735, 36sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘š ∈ 𝐷)
381psrbagfOLD 21839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ 𝐷) β†’ π‘š:πΌβŸΆβ„•0)
3925, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘š:πΌβŸΆβ„•0)
4039ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘šβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
41 nn0cn 12504 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
42 nn0cn 12504 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„‚)
43 nn0cn 12504 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘šβ€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘šβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
44 sub32 11516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘šβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)))
4541, 42, 43, 44syl3an 1158 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘šβ€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)))
4629, 34, 40, 45syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)))
4746mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))))
48 ovexd 7449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) ∈ V)
4928feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
5033feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘—β€˜π‘§)))
5125, 29, 34, 49, 50offval2 7699 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))))
5239feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘š = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘šβ€˜π‘§)))
5325, 48, 40, 51, 52offval2 7699 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§))))
54 ovexd 7449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) ∈ V)
5525, 29, 40, 49, 52offval2 7699 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§))))
5625, 54, 34, 55, 50offval2 7699 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (π‘šβ€˜π‘§)) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))))
5747, 53, 563eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗))
5817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
591, 18psrbagconclOLD 21855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
6025, 58, 36, 59syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
6157, 60eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
6257mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)) = (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗)))
63 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛𝑋
64 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β¦‹π‘› / π‘˜β¦Œπ‘‹
65 csbeq1a 3903 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ 𝑋 = ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘‹)
6663, 64, 65cbvmpt 5253 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑛 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘‹)
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) = (𝑛 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘‹))
68 csbeq1 3892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘‹ = ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
6961, 62, 67, 68fmptco 7132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š))) = (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))
7069feq1d 6701 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š))):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡 ↔ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡))
7124, 70mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}⟢𝐡)
7271fvmptelcdm 7117 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ ∈ 𝐡)
7372anasss 466 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ ∈ 𝐡)
747, 73syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ ∈ 𝐡)
751, 2, 3, 4, 5, 6, 74gsumbagdiagOLD 21860 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆, π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))
76 eqid 2727 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
771psrbaglefiOLD 21853 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
783, 4, 77syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
792, 78eqeltrid 2832 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Fin)
803adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
814adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
82 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ π‘š ∈ 𝑆)
831, 2psrbagconclOLD 21855 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∈ 𝑆)
8480, 81, 82, 83syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∈ 𝑆)
8512, 84sselid 3976 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∈ 𝐷)
861psrbaglefiOLD 21853 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∈ 𝐷) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ∈ Fin)
8780, 85, 86syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ∈ Fin)
88 xpfi 9333 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ Fin)
8979, 79, 88syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ Fin)
90 simprl 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ π‘š ∈ 𝑆)
917simpld 494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ 𝑗 ∈ 𝑆)
92 brxp 5721 . . . . . . 7 (π‘š(𝑆 Γ— 𝑆)𝑗 ↔ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆))
9390, 91, 92sylanbrc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ π‘š(𝑆 Γ— 𝑆)𝑗)
9493pm2.24d 151 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ (Β¬ π‘š(𝑆 Γ— 𝑆)𝑗 β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = (0gβ€˜πΊ)))
9594impr 454 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}) ∧ Β¬ π‘š(𝑆 Γ— 𝑆)𝑗)) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = (0gβ€˜πΊ))
965, 76, 6, 79, 87, 74, 89, 95gsum2d2 19920 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆, 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)) = (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
971psrbaglefiOLD 21853 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin)
9811, 17, 97syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin)
99 simprl 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ 𝑗 ∈ 𝑆)
1001, 2, 3, 4gsumbagdiaglemOLD 21859 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ (π‘š ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}))
101100simpld 494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ π‘š ∈ 𝑆)
102 brxp 5721 . . . . . . 7 (𝑗(𝑆 Γ— 𝑆)π‘š ↔ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ 𝑆))
10399, 101, 102sylanbrc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ 𝑗(𝑆 Γ— 𝑆)π‘š)
104103pm2.24d 151 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ (Β¬ 𝑗(𝑆 Γ— 𝑆)π‘š β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = (0gβ€˜πΊ)))
105104impr 454 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑗 ∈ 𝑆 ∧ π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}) ∧ Β¬ 𝑗(𝑆 Γ— 𝑆)π‘š)) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = (0gβ€˜πΊ))
1065, 76, 6, 79, 98, 73, 89, 105gsum2d2 19920 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆, π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
10775, 96, 1063eqtr3d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
1086adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
10974anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}) β†’ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ ∈ 𝐡)
110109fmpttd 7119 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}⟢𝐡)
111 ovex 7447 . . . . . . . . . . . 12 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1121, 111rabex2 5330 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ V
113112a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
114 rabexg 5327 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ∈ V)
115 mptexg 7227 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ∈ V β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) ∈ V)
116113, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) ∈ V)
117 funmpt 6585 . . . . . . . . . 10 Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
118117a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))
119 fvexd 6906 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
120 suppssdm 8175 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† dom (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
121 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) = (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
122121dmmptss 6239 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}
123120, 122sstri 3987 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)}
124123a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})
125 suppssfifsupp 9395 . . . . . . . . 9 ((((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ V) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) finSupp (0gβ€˜πΊ))
126116, 118, 119, 87, 124, 125syl32anc 1376 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1275, 76, 108, 87, 110, 126gsumcl 19861 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡)
128127fmpttd 7119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))):π‘†βŸΆπ΅)
1291, 2psrbagconf1oOLD 21858 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
1303, 4, 129syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
131 f1ocnv 6845 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆 β†’ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
132 f1of 6833 . . . . . . 7 (β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆 β†’ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):π‘†βŸΆπ‘†)
133130, 131, 1323syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):π‘†βŸΆπ‘†)
134 fco 6741 . . . . . 6 (((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))):π‘†βŸΆπ΅ ∧ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):π‘†βŸΆπ‘†) β†’ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))):π‘†βŸΆπ΅)
135128, 133, 134syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))):π‘†βŸΆπ΅)
136 coass 6263 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))))
137 f1ococnv2 6860 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)):𝑆–1-1-onto→𝑆 β†’ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = ( I β†Ύ 𝑆))
138130, 137syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = ( I β†Ύ 𝑆))
139138coeq2d 5859 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ( I β†Ύ 𝑆)))
140136, 139eqtrid 2779 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ( I β†Ύ 𝑆)))
141 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)) = (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)))
142 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))))
143 breq2 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ (π‘₯ ∘r ≀ 𝑛 ↔ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)))
144143rabbidv 3435 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)})
145 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ V
146 psrass1lemOLD.y . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
147145, 146csbie 3925 . . . . . . . . . . . 12 ⦋(𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = π‘Œ
148 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ (𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗))
149148csbeq1d 3893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ ⦋(𝑛 ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹ = ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
150147, 149eqtr3id 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ π‘Œ = ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)
151144, 150mpteq12dv 5233 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ) = (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))
152151oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))
15384, 141, 142, 152fmptco 7132 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))))
154153coeq1d 5858 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))))
155 coires1 6262 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ( I β†Ύ 𝑆)) = ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) β†Ύ 𝑆)
156 ssid 4000 . . . . . . . . . 10 𝑆 βŠ† 𝑆
157 resmpt 6035 . . . . . . . . . 10 (𝑆 βŠ† 𝑆 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) β†Ύ 𝑆) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))))
158156, 157ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) β†Ύ 𝑆) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))
159155, 158eqtri 2755 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ( I β†Ύ 𝑆)) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))
160159a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ ( I β†Ύ 𝑆)) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))))
161140, 154, 1603eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))))
162161feq1d 6701 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))) ∘ β—‘(π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š))):π‘†βŸΆπ΅ ↔ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))):π‘†βŸΆπ΅))
163135, 162mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))):π‘†βŸΆπ΅)
164 rabexg 5327 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ V)
165112, 164mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ V)
1662, 165eqeltrid 2832 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
167166mptexd 7230 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∈ V)
168 funmpt 6585 . . . . . 6 Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))
169168a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))))
170 fvexd 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
171 suppssdm 8175 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† dom (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))
172 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) = (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))
173172dmmptss 6239 . . . . . . 7 dom (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) βŠ† 𝑆
174171, 173sstri 3987 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑆
175174a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑆)
176 suppssfifsupp 9395 . . . . 5 ((((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
177167, 169, 170, 79, 175, 176syl32anc 1376 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1785, 76, 6, 79, 163, 177, 130gsumf1o 19862 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))) = (𝐺 Ξ£g ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)))))
179153oveq2d 7430 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ))) ∘ (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
180178, 179eqtrd 2767 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘š)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
1816adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
182112a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ V)
183 rabexg 5327 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ V)
184 mptexg 7227 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V)
185182, 183, 1843syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V)
186 funmpt 6585 . . . . . . . 8 Fun (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)
187186a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ Fun (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋))
188 fvexd 6906 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
189 suppssdm 8175 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† dom (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)
190 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)
191190dmmptss 6239 . . . . . . . . 9 dom (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}
192189, 191sstri 3987 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)}
193192a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})
194 suppssfifsupp 9395 . . . . . . 7 ((((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ V) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) supp (0gβ€˜πΊ)) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) finSupp (0gβ€˜πΊ))
195185, 187, 188, 98, 193, 194syl32anc 1376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1965, 76, 181, 98, 10, 195, 20gsumf1o 19862 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)))))
19769oveq2d 7430 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋) ∘ (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ π‘š)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))
198196, 197eqtrd 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)) = (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))
199198mpteq2dva 5242 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋))) = (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹))))
200199oveq2d 7430 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘š ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ⦋((𝐹 ∘f βˆ’ π‘š) ∘f βˆ’ 𝑗) / π‘˜β¦Œπ‘‹)))))
201107, 180, 2003eqtr4d 2777 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ 𝑛} ↦ π‘Œ)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469  β¦‹csb 3889   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   I cid 5569   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   ∘f cof 7677   ∘r cofr 7678   supp csupp 8159   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9377  β„‚cc 11128   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  Basecbs 17171  0gc0g 17412   Ξ£g cgsu 17413  CMndccmn 19726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728
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