Theorem symginv 19010

Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symginv.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symginv.3	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symginv	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝐹) = ◡𝐹)

Proof of Theorem symginv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symggrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symginv.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	elsymgbas2 18980	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
4	3	ibi 266	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
5		f1ocnv 6728	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
7		cnvexg 7771	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹 ∈ V)
8	1, 2	elsymgbas2 18980	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (◡𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
10	6, 9	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹 ∈ 𝐵)
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12	1, 2, 11	symgov 18991	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
13	10, 12	mpdan 684	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
14		f1ococnv2 6743	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
15	4, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
16	1, 2	elbasfv 16918	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
17	1	symgid 19009	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))
19	13, 15, 18	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺))
20	1	symggrp 19008	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ Grp)
22		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24		symginv.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
25	2, 11, 23, 24	grpinvid1 18630	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝐹) = ◡𝐹 ↔ (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺)))
26	21, 22, 10, 25	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑁‘𝐹) = ◡𝐹 ↔ (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺)))
27	19, 26	mpbird 256	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝐹) = ◡𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   I cid 5488  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  SymGrpcsymg 18974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-efmnd 18508  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-symg 18975

This theorem is referenced by:  symgsssg  19075  symgfisg  19076  symgtrinv  19080  psgninv  20787  zrhpsgninv  20790  evpmodpmf1o  20801  mdetleib2  21737  symgtgp  23257  symgfcoeu  31351  symgsubg  31356  cycpmconjv  31409  madjusmdetlem3  31779  madjusmdetlem4  31780