MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symginv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symginv 19192
Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symggrp.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symginv.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symginv.3 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
symginv (𝐹𝐵 → (𝑁𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem symginv
StepHypRef Expression
1 symggrp.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symginv.2 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2elsymgbas2 19162 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴))
43ibi 267 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
5 f1ocnv 6800 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
7 cnvexg 7865 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹 ∈ V)
81, 2elsymgbas2 19162 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴))
106, 9mpbird 257 . . . 4 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
11 eqid 2733 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
121, 2, 11symgov 19173 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐹𝐵) → (𝐹(+g𝐺)𝐹) = (𝐹𝐹))
1310, 12mpdan 686 . . 3 (𝐹𝐵 → (𝐹(+g𝐺)𝐹) = (𝐹𝐹))
14 f1ococnv2 6815 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
154, 14syl 17 . . 3 (𝐹𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
161, 2elbasfv 17097 . . . 4 (𝐹𝐵𝐴 ∈ V)
171symgid 19191 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝐺))
1816, 17syl 17 . . 3 (𝐹𝐵 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝐺))
1913, 15, 183eqtrd 2777 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹(+g𝐺)𝐹) = (0g𝐺))
201symggrp 19190 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
2116, 20syl 17 . . 3 (𝐹𝐵𝐺 ∈ Grp)
22 id 22 . . 3 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
23 eqid 2733 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
24 symginv.3 . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
252, 11, 23, 24grpinvid1 18810 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐹𝐵) → ((𝑁𝐹) = 𝐹 ↔ (𝐹(+g𝐺)𝐹) = (0g𝐺)))
2621, 22, 10, 25syl3anc 1372 . 2 (𝐹𝐵 → ((𝑁𝐹) = 𝐹 ↔ (𝐹(+g𝐺)𝐹) = (0g𝐺)))
2719, 26mpbird 257 1 (𝐹𝐵 → (𝑁𝐹) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447   I cid 5534  ccnv 5636  cres 5639  ccom 5641  1-1-ontowf1o 6499  cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  SymGrpcsymg 19156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-symg 19157
This theorem is referenced by:  symgsssg  19257  symgfisg  19258  symgtrinv  19262  psgninv  21009  zrhpsgninv  21012  evpmodpmf1o  21023  mdetleib2  21960  symgtgp  23480  symgfcoeu  31989  symgsubg  31994  cycpmconjv  32047  madjusmdetlem3  32474  madjusmdetlem4  32475
  Copyright terms: Public domain W3C validator