Theorem symginv 19299

Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symginv.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symginv.3	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symginv	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝐹) = ◡𝐹)

Proof of Theorem symginv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symggrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symginv.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	elsymgbas2 19270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
4	3	ibi 267	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
5		f1ocnv 6780	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
7		cnvexg 7864	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹 ∈ V)
8	1, 2	elsymgbas2 19270	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (◡𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
10	6, 9	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹 ∈ 𝐵)
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12	1, 2, 11	symgov 19281	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
13	10, 12	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
14		f1ococnv2 6795	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
15	4, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
16	1, 2	elbasfv 17144	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
17	1	symgid 19298	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))
19	13, 15, 18	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺))
20	1	symggrp 19297	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ Grp)
22		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
23		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24		symginv.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
25	2, 11, 23, 24	grpinvid1 18888	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝐹) = ◡𝐹 ↔ (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺)))
26	21, 22, 10, 25	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑁‘𝐹) = ◡𝐹 ↔ (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺)))
27	19, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝐹) = ◡𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   I cid 5517  ^◡ccnv 5622   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18830  inv_gcminusg 18831  SymGrpcsymg 19266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-tset 17198  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-efmnd 18761  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-symg 19267

This theorem is referenced by:  symgsssg  19364  symgfisg  19365  symgtrinv  19369  psgninv  21507  zrhpsgninv  21510  evpmodpmf1o  21521  mdetleib2  22491  symgtgp  24009  symgfcoeu  33037  symgsubg  33042  cycpmconjv  33097  madjusmdetlem3  33798  madjusmdetlem4  33799