Theorem symginv 19339

Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symginv.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symginv.3	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symginv	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝐹) = ◡𝐹)

Proof of Theorem symginv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symggrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symginv.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	elsymgbas2 19310	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
4	3	ibi 267	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
5		f1ocnv 6815	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
7		cnvexg 7903	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹 ∈ V)
8	1, 2	elsymgbas2 19310	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (◡𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
10	6, 9	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹 ∈ 𝐵)
11		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12	1, 2, 11	symgov 19321	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
13	10, 12	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
14		f1ococnv2 6830	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
15	4, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
16	1, 2	elbasfv 17192	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
17	1	symgid 19338	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))
19	13, 15, 18	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺))
20	1	symggrp 19337	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ Grp)
22		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
23		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24		symginv.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
25	2, 11, 23, 24	grpinvid1 18930	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝐹) = ◡𝐹 ↔ (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺)))
26	21, 22, 10, 25	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑁‘𝐹) = ◡𝐹 ↔ (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺)))
27	19, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝐹) = ◡𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   I cid 5535  ^◡ccnv 5640   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  SymGrpcsymg 19306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-efmnd 18803  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-symg 19307

This theorem is referenced by:  symgsssg  19404  symgfisg  19405  symgtrinv  19409  psgninv  21498  zrhpsgninv  21501  evpmodpmf1o  21512  mdetleib2  22482  symgtgp  24000  symgfcoeu  33046  symgsubg  33051  cycpmconjv  33106  madjusmdetlem3  33826  madjusmdetlem4  33827