Theorem symginv 19503

Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symginv.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symginv.3	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symginv	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝐹) = ◡𝐹)

Proof of Theorem symginv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symggrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symginv.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	elsymgbas2 19474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
4	3	ibi 270	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
5		f1ocnv 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
7		cnvexg 7930	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹 ∈ V)
8	1, 2	elsymgbas2 19474	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (◡𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
10	6, 9	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐹 ∈ 𝐵)
11		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12	1, 2, 11	symgov 19485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
13	10, 12	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (𝐹 ∘ ◡𝐹))
14		f1ococnv2 6855	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
15	4, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
16	1, 2	elbasfv 17300	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
17	1	symgid 19502	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝐺))
19	13, 15, 18	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺))
20	1	symggrp 19501	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
21	16, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ Grp)
22		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
23		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24		symginv.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
25	2, 11, 23, 24	grpinvid1 19089	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝐹) = ◡𝐹 ↔ (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺)))
26	21, 22, 10, 25	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑁‘𝐹) = ◡𝐹 ↔ (𝐹(+g‘𝐺)◡𝐹) = (0g‘𝐺)))
27	19, 26	mpbird 260	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝐹) = ◡𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   I cid 5560  ^◡ccnv 5665   ↾ cres 5668   ∘ ccom 5670  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  0_gc0g 17517  Grpcgrp 19031  inv_gcminusg 19032  SymGrpcsymg 19470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-tset 17354  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-efmnd 18959  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-symg 19471

This theorem is used by:  symgsssg  19568  symgfisg  19569  symgtrinv  19573  psgninv  21769  zrhpsgninv  21772  evpmodpmf1o  21783  mdetleib2  22782  symgtgp  24300  symgfcoeu  33433  symgsubg  33438  cycpmconjv  33493  madjusmdetlem3  34250  madjusmdetlem4  34251