Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmconjs 32315
Description: All cycles of the same length are conjugate in the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmconjs.n 𝑁 = (β™―β€˜π·)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmconjs.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
cycpmconjs.a + = (+gβ€˜π‘†)
cycpmconjs.l βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
cycpmconjs.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (0...𝑁))
cycpmconjs.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
cycpmconjs.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐢)
cycpmconjs.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjs (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
Distinct variable groups:   + ,𝑝   βˆ’ ,𝑝   𝐡,𝑝   𝐷,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑇,𝑝   πœ‘,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑝)   𝑆(𝑝)
Proof of Theorem cycpmconjs
Dummy variables π‘ž 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmconjs.c . . 3 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
2 cycpmconjs.s . . 3 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
3 cycpmconjs.n . . 3 𝑁 = (β™―β€˜π·)
4 cycpmconjs.m . . 3 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
5 cycpmconjs.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
6 cycpmconjs.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘†)
7 cycpmconjs.l . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
8 cycpmconjs.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (0...𝑁))
9 cycpmconjs.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
10 cycpmconjs.q . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐢)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cycpmconjslem2 32314 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž(π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))))
12 cycpmconjs.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐢)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12cycpmconjslem2 32314 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))))
1413ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))))
159ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
16 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷)
17 f1ocnv 6846 . . . . . . . . 9 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑𝑑:𝐷–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁))
1817ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ◑𝑑:𝐷–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁))
19 f1oco 6857 . . . . . . . 8 ((π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ◑𝑑:𝐷–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁)) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷)
2016, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷)
212, 5elsymgbas 19241 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡 ↔ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷))
2221biimpar 479 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡)
2315, 20, 22syl2anc 585 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡)
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑))
2524oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ (𝑝 + 𝑇) = ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇))
2625, 24oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
2726eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ (𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝) ↔ 𝑄 = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑))))
28 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))
29 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))
3028, 29eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑))
3130coeq1d 5862 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž) = (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž))
3231coeq2d 5863 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž)))
33 coass 6265 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∘ (β—‘π‘ž ∘ 𝑄)) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)))
34 coass 6265 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) = (π‘ž ∘ (β—‘π‘ž ∘ 𝑄))
3534coeq1i 5860 . . . . . . . . 9 (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = ((π‘ž ∘ (β—‘π‘ž ∘ 𝑄)) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž))
36 coass 6265 . . . . . . . . . 10 (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž) = ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž))
3736coeq2i 5861 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)))
3833, 35, 373eqtr4ri 2772 . . . . . . . 8 (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž))
39 f1ococnv2 6861 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž) = ( I β†Ύ 𝐷))
4016, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž) = ( I β†Ύ 𝐷))
4140coeq1d 5862 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) = (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄))
421, 2, 3, 4, 5cycpmgcl 32312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
439, 8, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
4443, 10sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
452, 5elsymgbas 19241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝑄 ∈ 𝐡 ↔ 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷))
4645biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
479, 44, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
48 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷 β†’ 𝑄:𝐷⟢𝐷)
49 fcoi2 6767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄:𝐷⟢𝐷 β†’ (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5047, 48, 493syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5150ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5241, 51eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5352, 40coeq12d 5865 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)))
54 fcoi1 6766 . . . . . . . . . . 11 (𝑄:𝐷⟢𝐷 β†’ (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)) = 𝑄)
5547, 48, 543syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)) = 𝑄)
5655ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)) = 𝑄)
5753, 56eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = 𝑄)
5838, 57eqtrid 2785 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = 𝑄)
59 coass 6265 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∘ (◑𝑑 ∘ 𝑇)) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
60 coass 6265 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) = (π‘ž ∘ (◑𝑑 ∘ 𝑇))
6160coeq1i 5860 . . . . . . . . 9 (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = ((π‘ž ∘ (◑𝑑 ∘ 𝑇)) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
62 coass 6265 . . . . . . . . . 10 (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž) = ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
6362coeq2i 5861 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
6459, 61, 633eqtr4i 2771 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž))
6543, 12sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
6665ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
672, 5, 6symgov 19251 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) = ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇))
6823, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) = ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇))
6968oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
702symggrp 19268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑆 ∈ Grp)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
7271ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
735, 6grpcl 18827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) ∈ 𝐡)
7472, 23, 66, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) ∈ 𝐡)
7568, 74eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∈ 𝐡)
762, 5, 7symgsubg 32248 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)))
7775, 23, 76syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)))
78 cnvco 5886 . . . . . . . . . . . 12 β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑) = (◑◑𝑑 ∘ β—‘π‘ž)
79 f1orel 6837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ Rel 𝑑)
80 dfrel2 6189 . . . . . . . . . . . . . 14 (Rel 𝑑 ↔ ◑◑𝑑 = 𝑑)
8179, 80sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑◑𝑑 = 𝑑)
8281coeq1d 5862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ (◑◑𝑑 ∘ β—‘π‘ž) = (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
8378, 82eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑) = (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
8483coeq2d 5863 . . . . . . . . . 10 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
8669, 77, 853eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
8764, 86eqtr3id 2787 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
8832, 58, 873eqtr3d 2781 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝑄 = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
8923, 27, 88rspcedvd 3615 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9089anasss 468 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9114, 90exlimddv 1939 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9291anasss 468 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9311, 92exlimddv 1939 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   I cid 5574  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Rel wrel 5682  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290   cyclShift ccsh 14738  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  SymGrpcsymg 19234  toCycctocyc 32265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-csh 14739  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-efmnd 18750  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-symg 19235  df-tocyc 32266
This theorem is referenced by:  cyc3conja  32316
  Copyright terms: Public domain W3C validator