Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmconjs 32054
Description: All cycles of the same length are conjugate in the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmconjs.n 𝑁 = (β™―β€˜π·)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmconjs.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
cycpmconjs.a + = (+gβ€˜π‘†)
cycpmconjs.l βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
cycpmconjs.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (0...𝑁))
cycpmconjs.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
cycpmconjs.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐢)
cycpmconjs.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjs (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
Distinct variable groups:   + ,𝑝   βˆ’ ,𝑝   𝐡,𝑝   𝐷,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑇,𝑝   πœ‘,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem cycpmconjs
Dummy variables π‘ž 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmconjs.c . . 3 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
2 cycpmconjs.s . . 3 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
3 cycpmconjs.n . . 3 𝑁 = (β™―β€˜π·)
4 cycpmconjs.m . . 3 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
5 cycpmconjs.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
6 cycpmconjs.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘†)
7 cycpmconjs.l . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
8 cycpmconjs.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (0...𝑁))
9 cycpmconjs.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
10 cycpmconjs.q . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐢)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cycpmconjslem2 32053 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž(π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))))
12 cycpmconjs.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐢)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12cycpmconjslem2 32053 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))))
1413ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))))
159ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
16 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷)
17 f1ocnv 6797 . . . . . . . . 9 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑𝑑:𝐷–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁))
1817ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ◑𝑑:𝐷–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁))
19 f1oco 6808 . . . . . . . 8 ((π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ◑𝑑:𝐷–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁)) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷)
2016, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷)
212, 5elsymgbas 19160 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡 ↔ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷))
2221biimpar 479 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡)
2315, 20, 22syl2anc 585 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡)
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑))
2524oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ (𝑝 + 𝑇) = ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇))
2625, 24oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
2726eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ (𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝) ↔ 𝑄 = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑))))
28 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))
29 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))
3028, 29eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑))
3130coeq1d 5818 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž) = (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž))
3231coeq2d 5819 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž)))
33 coass 6218 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∘ (β—‘π‘ž ∘ 𝑄)) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)))
34 coass 6218 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) = (π‘ž ∘ (β—‘π‘ž ∘ 𝑄))
3534coeq1i 5816 . . . . . . . . 9 (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = ((π‘ž ∘ (β—‘π‘ž ∘ 𝑄)) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž))
36 coass 6218 . . . . . . . . . 10 (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž) = ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž))
3736coeq2i 5817 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)))
3833, 35, 373eqtr4ri 2772 . . . . . . . 8 (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž))
39 f1ococnv2 6812 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž) = ( I β†Ύ 𝐷))
4016, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž) = ( I β†Ύ 𝐷))
4140coeq1d 5818 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) = (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄))
421, 2, 3, 4, 5cycpmgcl 32051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
439, 8, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
4443, 10sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
452, 5elsymgbas 19160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝑄 ∈ 𝐡 ↔ 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷))
4645biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
479, 44, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
48 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷 β†’ 𝑄:𝐷⟢𝐷)
49 fcoi2 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄:𝐷⟢𝐷 β†’ (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5047, 48, 493syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5150ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5241, 51eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5352, 40coeq12d 5821 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)))
54 fcoi1 6717 . . . . . . . . . . 11 (𝑄:𝐷⟢𝐷 β†’ (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)) = 𝑄)
5547, 48, 543syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)) = 𝑄)
5655ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)) = 𝑄)
5753, 56eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = 𝑄)
5838, 57eqtrid 2785 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = 𝑄)
59 coass 6218 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∘ (◑𝑑 ∘ 𝑇)) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
60 coass 6218 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) = (π‘ž ∘ (◑𝑑 ∘ 𝑇))
6160coeq1i 5816 . . . . . . . . 9 (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = ((π‘ž ∘ (◑𝑑 ∘ 𝑇)) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
62 coass 6218 . . . . . . . . . 10 (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž) = ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
6362coeq2i 5817 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
6459, 61, 633eqtr4i 2771 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž))
6543, 12sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
6665ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
672, 5, 6symgov 19170 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) = ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇))
6823, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) = ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇))
6968oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
702symggrp 19187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑆 ∈ Grp)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
7271ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
735, 6grpcl 18761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) ∈ 𝐡)
7472, 23, 66, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) ∈ 𝐡)
7568, 74eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∈ 𝐡)
762, 5, 7symgsubg 31987 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)))
7775, 23, 76syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)))
78 cnvco 5842 . . . . . . . . . . . 12 β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑) = (◑◑𝑑 ∘ β—‘π‘ž)
79 f1orel 6788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ Rel 𝑑)
80 dfrel2 6142 . . . . . . . . . . . . . 14 (Rel 𝑑 ↔ ◑◑𝑑 = 𝑑)
8179, 80sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑◑𝑑 = 𝑑)
8281coeq1d 5818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ (◑◑𝑑 ∘ β—‘π‘ž) = (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
8378, 82eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑) = (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
8483coeq2d 5819 . . . . . . . . . 10 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
8669, 77, 853eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
8764, 86eqtr3id 2787 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
8832, 58, 873eqtr3d 2781 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝑄 = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
8923, 27, 88rspcedvd 3582 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9089anasss 468 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9114, 90exlimddv 1939 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9291anasss 468 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9311, 92exlimddv 1939 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  Rel wrel 5639  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  0cc0 11056  1c1 11057  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236   cyclShift ccsh 14682  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Grpcgrp 18753  -gcsg 18755  SymGrpcsymg 19153  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-efmnd 18684  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-symg 19154  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  cyc3conja  32055
  Copyright terms: Public domain W3C validator