Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmconjs 32855
Description: All cycles of the same length are conjugate in the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmconjs.n 𝑁 = (β™―β€˜π·)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmconjs.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
cycpmconjs.a + = (+gβ€˜π‘†)
cycpmconjs.l βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
cycpmconjs.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (0...𝑁))
cycpmconjs.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
cycpmconjs.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐢)
cycpmconjs.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjs (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
Distinct variable groups:   + ,𝑝   βˆ’ ,𝑝   𝐡,𝑝   𝐷,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑇,𝑝   πœ‘,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑝)   𝑆(𝑝)
Proof of Theorem cycpmconjs
Dummy variables π‘ž 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmconjs.c . . 3 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
2 cycpmconjs.s . . 3 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
3 cycpmconjs.n . . 3 𝑁 = (β™―β€˜π·)
4 cycpmconjs.m . . 3 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
5 cycpmconjs.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
6 cycpmconjs.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘†)
7 cycpmconjs.l . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
8 cycpmconjs.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (0...𝑁))
9 cycpmconjs.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
10 cycpmconjs.q . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐢)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cycpmconjslem2 32854 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ž(π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))))
12 cycpmconjs.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐢)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12cycpmconjslem2 32854 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))))
1413ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))))
159ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
16 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷)
17 f1ocnv 6845 . . . . . . . . 9 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑𝑑:𝐷–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁))
1817ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ◑𝑑:𝐷–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁))
19 f1oco 6856 . . . . . . . 8 ((π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ◑𝑑:𝐷–1-1-ontoβ†’(0..^𝑁)) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷)
2016, 18, 19syl2anc 583 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷)
212, 5elsymgbas 19319 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Fin β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡 ↔ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷))
2221biimpar 477 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (π‘ž ∘ ◑𝑑):𝐷–1-1-onto→𝐷) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡)
2315, 20, 22syl2anc 583 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡)
24 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑))
2524oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ (𝑝 + 𝑇) = ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇))
2625, 24oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
2726eqeq2d 2738 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑝 = (π‘ž ∘ ◑𝑑)) β†’ (𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝) ↔ 𝑄 = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑))))
28 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))
29 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))
3028, 29eqtr4d 2770 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑))
3130coeq1d 5858 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž) = (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž))
3231coeq2d 5859 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž)))
33 coass 6263 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∘ (β—‘π‘ž ∘ 𝑄)) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)))
34 coass 6263 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) = (π‘ž ∘ (β—‘π‘ž ∘ 𝑄))
3534coeq1i 5856 . . . . . . . . 9 (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = ((π‘ž ∘ (β—‘π‘ž ∘ 𝑄)) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž))
36 coass 6263 . . . . . . . . . 10 (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž) = ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž))
3736coeq2i 5857 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)))
3833, 35, 373eqtr4ri 2766 . . . . . . . 8 (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž))
39 f1ococnv2 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž) = ( I β†Ύ 𝐷))
4016, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž) = ( I β†Ύ 𝐷))
4140coeq1d 5858 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) = (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄))
421, 2, 3, 4, 5cycpmgcl 32852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
439, 8, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
4443, 10sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
452, 5elsymgbas 19319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝑄 ∈ 𝐡 ↔ 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷))
4645biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
479, 44, 46syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷)
48 f1of 6833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄:𝐷–1-1-onto→𝐷 β†’ 𝑄:𝐷⟢𝐷)
49 fcoi2 6766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄:𝐷⟢𝐷 β†’ (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5047, 48, 493syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5150ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (( I β†Ύ 𝐷) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5241, 51eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) = 𝑄)
5352, 40coeq12d 5861 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)))
54 fcoi1 6765 . . . . . . . . . . 11 (𝑄:𝐷⟢𝐷 β†’ (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)) = 𝑄)
5547, 48, 543syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)) = 𝑄)
5655ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (𝑄 ∘ ( I β†Ύ 𝐷)) = 𝑄)
5753, 56eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ β—‘π‘ž) ∘ 𝑄) ∘ (π‘ž ∘ β—‘π‘ž)) = 𝑄)
5838, 57eqtrid 2779 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ (((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) ∘ β—‘π‘ž)) = 𝑄)
59 coass 6263 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∘ (◑𝑑 ∘ 𝑇)) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
60 coass 6263 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) = (π‘ž ∘ (◑𝑑 ∘ 𝑇))
6160coeq1i 5856 . . . . . . . . 9 (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = ((π‘ž ∘ (◑𝑑 ∘ 𝑇)) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
62 coass 6263 . . . . . . . . . 10 (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž) = ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
6362coeq2i 5857 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
6459, 61, 633eqtr4i 2765 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž))
6543, 12sseldd 3979 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
6665ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
672, 5, 6symgov 19329 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) = ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇))
6823, 66, 67syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) = ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇))
6968oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
702symggrp 19346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑆 ∈ Grp)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
7271ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
735, 6grpcl 18889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) ∈ 𝐡)
7472, 23, 66, 73syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) ∈ 𝐡)
7568, 74eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ ((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∈ 𝐡)
762, 5, 7symgsubg 32788 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (π‘ž ∘ ◑𝑑) ∈ 𝐡) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)))
7775, 23, 76syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)))
78 cnvco 5882 . . . . . . . . . . . 12 β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑) = (◑◑𝑑 ∘ β—‘π‘ž)
79 f1orel 6836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ Rel 𝑑)
80 dfrel2 6187 . . . . . . . . . . . . . 14 (Rel 𝑑 ↔ ◑◑𝑑 = 𝑑)
8179, 80sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑◑𝑑 = 𝑑)
8281coeq1d 5858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ (◑◑𝑑 ∘ β—‘π‘ž) = (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
8378, 82eqtrid 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑) = (𝑑 ∘ β—‘π‘ž))
8483coeq2d 5859 . . . . . . . . . 10 (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ β—‘(π‘ž ∘ ◑𝑑)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)))
8669, 77, 853eqtrrd 2772 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (((π‘ž ∘ ◑𝑑) ∘ 𝑇) ∘ (𝑑 ∘ β—‘π‘ž)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
8764, 86eqtr3id 2781 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ (π‘ž ∘ (((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) ∘ β—‘π‘ž)) = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
8832, 58, 873eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ 𝑄 = (((π‘ž ∘ ◑𝑑) + 𝑇) βˆ’ (π‘ž ∘ ◑𝑑)))
8923, 27, 88rspcedvd 3609 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ 𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9089anasss 466 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) ∧ (𝑑:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((◑𝑑 ∘ 𝑇) ∘ 𝑑) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9114, 90exlimddv 1931 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷) ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9291anasss 466 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ž:(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐷 ∧ ((β—‘π‘ž ∘ 𝑄) ∘ π‘ž) = ((( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1) βˆͺ ( I β†Ύ (𝑃..^𝑁))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
9311, 92exlimddv 1931 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑄 = ((𝑝 + 𝑇) βˆ’ 𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  {csn 4624   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676  Rel wrel 5677  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  0cc0 11130  1c1 11131  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313   cyclShift ccsh 14762  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  Grpcgrp 18881  -gcsg 18883  SymGrpcsymg 19312  toCycctocyc 32805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-csh 14763  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-tset 17243  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-efmnd 18812  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-symg 19313  df-tocyc 32806
This theorem is referenced by:  cyc3conja  32856
  Copyright terms: Public domain W3C validator