Theorem evl1var 22292

Description: Polynomial evaluation maps the variable to the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1var.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1var.v	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1var.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1var	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evl1var

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20192	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		evl1var.v	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
5	2, 3, 4	vr1cl 22170	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
7		evl1var.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
9		evl1var.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11	3, 4	ply1bas 22147	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12	7, 8, 9, 10, 11	evl1val 22285	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (𝑂‘𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
13	6, 12	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
14		df1o2 8414	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
15	9	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		0ex 5254	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))
18	14, 15, 16, 17	mapsncnv 8843	. . . 4 ⊢ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
19	18	coeq2i 5817	. . 3 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
20	9	ressid 17183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
21	20	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mVar 𝑅))
22	21	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅) = ((1o mVar 𝑅)‘∅))
23	2	vr1val 22144	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
24	22, 23	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅) = 𝑋)
25	24	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅)) = ((1o eval 𝑅)‘𝑋))
26	8, 9	evlval 22067	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))
28		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
29		1on 8419	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1o ∈ On)
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
32	9	subrgid 20518	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
33	1, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34		0lt1o 8441	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∅ ∈ 1o)
36	26, 27, 28, 9, 30, 31, 33, 35	evlsvar 22062	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
37	25, 36	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘𝑋) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
38	37	coeq1d 5818	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
39	19, 38	eqtr3id 2786	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
40	14, 15, 16, 17	mapsnf1o2 8844	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐵
41		f1ococnv2 6809	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
42	40, 41	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
43	13, 39, 42	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  {csn 4582   ↦ cmpt 5181   I cid 5526   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  Oncon0 6325  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1_oc1o 8400   ↑_m cmap 8775  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  SubRingcsubrg 20514   mVar cmvr 21873   mPoly cmpl 21874   eval cevl 22040  var₁cv1 22128  Poly₁cpl1 22129  eval₁ce1 22270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-assa 21820  df-asp 21821  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-evls 22041  df-evl 22042  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-evl1 22272

This theorem is referenced by:  evl1vard  22293  evls1var  22294  pf1id  22303  fta1blem  26144