Theorem evl1var 20059

Description: Polynomial evaluation maps the variable to the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1var.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1var.v	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1var.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1var	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evl1var

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18911	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		evl1var.v	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
3		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
5	2, 3, 4	vr1cl 19946	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
7		evl1var.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
8		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
9		evl1var.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
12	3, 11, 4	ply1bas 19924	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
13	7, 8, 9, 10, 12	evl1val 20052	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (𝑂‘𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
14	6, 13	mpdan 680	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
15		df1o2 7838	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
16	9	fvexi 6446	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
17		0ex 5013	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
18		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))
19	15, 16, 17, 18	mapsncnv 8170	. . . 4 ⊢ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
20	19	coeq2i 5514	. . 3 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
21	9	ressid 16297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
22	21	oveq2d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mVar 𝑅))
23	22	fveq1d 6434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅) = ((1o mVar 𝑅)‘∅))
24	2	vr1val 19921	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
25	23, 24	syl6eqr 2878	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅) = 𝑋)
26	25	fveq2d 6436	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅)) = ((1o eval 𝑅)‘𝑋))
27	8, 9	evlval 19883	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
28		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))
29		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
30		1on 7832	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1o ∈ On)
32		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
33	9	subrgid 19137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34	1, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		0lt1o 7850	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∅ ∈ 1o)
37	27, 28, 29, 9, 31, 32, 34, 36	evlsvar 19882	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
38	26, 37	eqtr3d 2862	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘𝑋) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
39	38	coeq1d 5515	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
40	20, 39	syl5eqr 2874	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
41	15, 16, 17, 18	mapsnf1o2 8171	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵 ↑𝑚 1o)–1-1-onto→𝐵
42		f1ococnv2 6403	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵 ↑𝑚 1o)–1-1-onto→𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
43	41, 42	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
44	14, 40, 43	3eqtrd 2864	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∅c0 4143  {csn 4396   ↦ cmpt 4951   I cid 5248   × cxp 5339  ^◡ccnv 5340   ↾ cres 5343   ∘ ccom 5345  Oncon0 5962  –1-1-onto→wf1o 6121  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  1_oc1o 7818   ↑_𝑚 cmap 8121  Basecbs 16221   ↾_s cress 16222  Ringcrg 18900  CRingccrg 18901  SubRingcsubrg 19131   mVar cmvr 19712   mPoly cmpl 19713   eval cevl 19864  PwSer₁cps1 19904  var₁cv1 19905  Poly₁cpl1 19906  eval₁ce1 20038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-ofr 7157  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-sup 8616  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-hash 13410  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-hom 16328  df-cco 16329  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-prds 16460  df-pws 16462  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mulg 17894  df-subg 17941  df-ghm 18008  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-srg 18859  df-ring 18902  df-cring 18903  df-rnghom 19070  df-subrg 19133  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-lsp 19330  df-assa 19672  df-asp 19673  df-ascl 19674  df-psr 19716  df-mvr 19717  df-mpl 19718  df-opsr 19720  df-evls 19865  df-evl 19866  df-psr1 19909  df-vr1 19910  df-ply1 19911  df-evl1 20040

This theorem is referenced by:  evl1vard  20060  evls1var  20061  pf1id  20070  fta1blem  24326