MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1var Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1var 21107
Description: Polynomial evaluation maps the variable to the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1var.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1var.v 𝑋 = (var1𝑅)
evl1var.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1var (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evl1var
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 19429 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 evl1var.v . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
3 eqid 2738 . . . . 5 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
4 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
52, 3, 4vr1cl 20993 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
61, 5syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
7 evl1var.q . . . 4 𝑂 = (eval1𝑅)
8 eqid 2738 . . . 4 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
9 evl1var.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 eqid 2738 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11 eqid 2738 . . . . 5 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
123, 11, 4ply1bas 20971 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
137, 8, 9, 10, 12evl1val 21100 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (𝑂𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
146, 13mpdan 687 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
15 df1o2 8144 . . . . 5 1o = {∅}
169fvexi 6689 . . . . 5 𝐵 ∈ V
17 0ex 5176 . . . . 5 ∅ ∈ V
18 eqid 2738 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅))
1915, 16, 17, 18mapsncnv 8504 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
2019coeq2i 5704 . . 3 (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
219ressid 16663 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
2221oveq2d 7187 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (1o mVar (𝑅s 𝐵)) = (1o mVar 𝑅))
2322fveq1d 6677 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅s 𝐵))‘∅) = ((1o mVar 𝑅)‘∅))
242vr1val 20968 . . . . . . 7 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
2523, 24eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅s 𝐵))‘∅) = 𝑋)
2625fveq2d 6679 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅s 𝐵))‘∅)) = ((1o eval 𝑅)‘𝑋))
278, 9evlval 20910 . . . . . 6 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
28 eqid 2738 . . . . . 6 (1o mVar (𝑅s 𝐵)) = (1o mVar (𝑅s 𝐵))
29 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
30 1on 8139 . . . . . . 7 1o ∈ On
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 1o ∈ On)
32 id 22 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
339subrgid 19657 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
341, 33syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35 0lt1o 8161 . . . . . . 7 ∅ ∈ 1o
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → ∅ ∈ 1o)
3727, 28, 29, 9, 31, 32, 34, 36evlsvar 20905 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅s 𝐵))‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
3826, 37eqtr3d 2775 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘𝑋) = (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
3938coeq1d 5705 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ((𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
4020, 39eqtr3id 2787 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
4115, 16, 17, 18mapsnf1o2 8505 . . 3 (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵m 1o)–1-1-onto𝐵
42 f1ococnv2 6645 . . 3 ((𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵m 1o)–1-1-onto𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
4341, 42mp1i 13 . 2 (𝑅 ∈ CRing → ((𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
4414, 40, 433eqtrd 2777 1 (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  c0 4212  {csn 4517  cmpt 5111   I cid 5429   × cxp 5524  ccnv 5525  cres 5528  ccom 5530  Oncon0 6173  1-1-ontowf1o 6339  cfv 6340  (class class class)co 7171  1oc1o 8125  m cmap 8438  Basecbs 16587  s cress 16588  Ringcrg 19417  CRingccrg 19418  SubRingcsubrg 19651   mVar cmvr 20719   mPoly cmpl 20720   eval cevl 20886  PwSer1cps1 20951  var1cv1 20952  Poly1cpl1 20953  eval1ce1 21085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-ofr 7427  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-sup 8980  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-seq 13462  df-hash 13784  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-ip 16687  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-hom 16693  df-cco 16694  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-prds 16825  df-pws 16827  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-mhm 18073  df-submnd 18074  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-sbg 18225  df-mulg 18344  df-subg 18395  df-ghm 18475  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-abl 19028  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-srg 19376  df-ring 19419  df-cring 19420  df-rnghom 19590  df-subrg 19653  df-lmod 19756  df-lss 19824  df-lsp 19864  df-assa 20670  df-asp 20671  df-ascl 20672  df-psr 20723  df-mvr 20724  df-mpl 20725  df-opsr 20727  df-evls 20887  df-evl 20888  df-psr1 20956  df-vr1 20957  df-ply1 20958  df-evl1 21087
This theorem is referenced by:  evl1vard  21108  evls1var  21109  pf1id  21118  fta1blem  24921
  Copyright terms: Public domain W3C validator