Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1var Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1var 20059
 Description: Polynomial evaluation maps the variable to the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1var.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1var.v 𝑋 = (var1𝑅)
evl1var.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1var (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evl1var
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 18911 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 evl1var.v . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
3 eqid 2824 . . . . 5 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
4 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
52, 3, 4vr1cl 19946 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
61, 5syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
7 evl1var.q . . . 4 𝑂 = (eval1𝑅)
8 eqid 2824 . . . 4 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
9 evl1var.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 eqid 2824 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11 eqid 2824 . . . . 5 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
123, 11, 4ply1bas 19924 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
137, 8, 9, 10, 12evl1val 20052 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (𝑂𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
146, 13mpdan 680 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
15 df1o2 7838 . . . . 5 1o = {∅}
169fvexi 6446 . . . . 5 𝐵 ∈ V
17 0ex 5013 . . . . 5 ∅ ∈ V
18 eqid 2824 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))
1915, 16, 17, 18mapsncnv 8170 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
2019coeq2i 5514 . . 3 (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
219ressid 16297 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
2221oveq2d 6920 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (1o mVar (𝑅s 𝐵)) = (1o mVar 𝑅))
2322fveq1d 6434 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅s 𝐵))‘∅) = ((1o mVar 𝑅)‘∅))
242vr1val 19921 . . . . . . 7 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
2523, 24syl6eqr 2878 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅s 𝐵))‘∅) = 𝑋)
2625fveq2d 6436 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅s 𝐵))‘∅)) = ((1o eval 𝑅)‘𝑋))
278, 9evlval 19883 . . . . . 6 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
28 eqid 2824 . . . . . 6 (1o mVar (𝑅s 𝐵)) = (1o mVar (𝑅s 𝐵))
29 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
30 1on 7832 . . . . . . 7 1o ∈ On
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 1o ∈ On)
32 id 22 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
339subrgid 19137 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
341, 33syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35 0lt1o 7850 . . . . . . 7 ∅ ∈ 1o
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → ∅ ∈ 1o)
3727, 28, 29, 9, 31, 32, 34, 36evlsvar 19882 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅s 𝐵))‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
3826, 37eqtr3d 2862 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘𝑋) = (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
3938coeq1d 5515 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ((𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
4020, 39syl5eqr 2874 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
4115, 16, 17, 18mapsnf1o2 8171 . . 3 (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵𝑚 1o)–1-1-onto𝐵
42 f1ococnv2 6403 . . 3 ((𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵𝑚 1o)–1-1-onto𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
4341, 42mp1i 13 . 2 (𝑅 ∈ CRing → ((𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
4414, 40, 433eqtrd 2864 1 (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∅c0 4143  {csn 4396   ↦ cmpt 4951   I cid 5248   × cxp 5339  ◡ccnv 5340   ↾ cres 5343   ∘ ccom 5345  Oncon0 5962  –1-1-onto→wf1o 6121  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  1oc1o 7818   ↑𝑚 cmap 8121  Basecbs 16221   ↾s cress 16222  Ringcrg 18900  CRingccrg 18901  SubRingcsubrg 19131   mVar cmvr 19712   mPoly cmpl 19713   eval cevl 19864  PwSer1cps1 19904  var1cv1 19905  Poly1cpl1 19906  eval1ce1 20038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-ofr 7157  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-sup 8616  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-hash 13410  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-hom 16328  df-cco 16329  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-prds 16460  df-pws 16462  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mulg 17894  df-subg 17941  df-ghm 18008  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-srg 18859  df-ring 18902  df-cring 18903  df-rnghom 19070  df-subrg 19133  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-lsp 19330  df-assa 19672  df-asp 19673  df-ascl 19674  df-psr 19716  df-mvr 19717  df-mpl 19718  df-opsr 19720  df-evls 19865  df-evl 19866  df-psr1 19909  df-vr1 19910  df-ply1 19911  df-evl1 20040 This theorem is referenced by:  evl1vard  20060  evls1var  20061  pf1id  20070  fta1blem  24326
 Copyright terms: Public domain W3C validator