Theorem evl1var 22301

Description: Polynomial evaluation maps the variable to the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1var.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1var.v	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1var.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1var	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evl1var

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20226	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		evl1var.v	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
5	2, 3, 4	vr1cl 22181	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
7		evl1var.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
9		evl1var.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11	3, 4	ply1bas 22158	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12	7, 8, 9, 10, 11	evl1val 22294	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (𝑂‘𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
13	6, 12	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
14		df1o2 8412	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
15	9	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		0ex 5242	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))
18	14, 15, 16, 17	mapsncnv 8841	. . . 4 ⊢ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
19	18	coeq2i 5815	. . 3 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
20	9	ressid 17214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
21	20	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mVar 𝑅))
22	21	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅) = ((1o mVar 𝑅)‘∅))
23	2	vr1val 22155	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
24	22, 23	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅) = 𝑋)
25	24	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅)) = ((1o eval 𝑅)‘𝑋))
26	8, 9	evlval 22078	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
27		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))
28		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
29		1on 8417	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1o ∈ On)
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
32	9	subrgid 20550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
33	1, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34		0lt1o 8439	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∅ ∈ 1o)
36	26, 27, 28, 9, 30, 31, 33, 35	evlsvar 22073	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
37	25, 36	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘𝑋) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
38	37	coeq1d 5816	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
39	19, 38	eqtr3id 2785	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
40	14, 15, 16, 17	mapsnf1o2 8842	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐵
41		f1ococnv2 6807	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
42	40, 41	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
43	13, 39, 42	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   I cid 5525   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  Oncon0 6323  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1_oc1o 8398   ↑_m cmap 8773  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215  SubRingcsubrg 20546   mVar cmvr 21885   mPoly cmpl 21886   eval cevl 22051  var₁cv1 22139  Poly₁cpl1 22140  eval₁ce1 22279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-evls 22052  df-evl 22053  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-evl1 22281

This theorem is referenced by:  evl1vard  22302  evls1var  22303  pf1id  22312  fta1blem  26136