Theorem evl1var 22205

Description: Polynomial evaluation maps the variable to the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1var.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1var.v	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1var.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1var	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evl1var

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20147	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		evl1var.v	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
3		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
5	2, 3, 4	vr1cl 22086	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
7		evl1var.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
9		evl1var.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
12	3, 11, 4	ply1bas 22064	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
13	7, 8, 9, 10, 12	evl1val 22198	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (𝑂‘𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
14	6, 13	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
15		df1o2 8471	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
16	9	fvexi 6898	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
17		0ex 5300	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
18		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))
19	15, 16, 17, 18	mapsncnv 8886	. . . 4 ⊢ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
20	19	coeq2i 5853	. . 3 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
21	9	ressid 17195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
22	21	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mVar 𝑅))
23	22	fveq1d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅) = ((1o mVar 𝑅)‘∅))
24	2	vr1val 22061	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
25	23, 24	eqtr4di 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅) = 𝑋)
26	25	fveq2d 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅)) = ((1o eval 𝑅)‘𝑋))
27	8, 9	evlval 21995	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
28		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))
29		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
30		1on 8476	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1o ∈ On)
32		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
33	9	subrgid 20472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34	1, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		0lt1o 8502	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∅ ∈ 1o)
37	27, 28, 29, 9, 31, 32, 34, 36	evlsvar 21990	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
38	26, 37	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘𝑋) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
39	38	coeq1d 5854	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
40	20, 39	eqtr3id 2780	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
41	15, 16, 17, 18	mapsnf1o2 8887	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐵
42		f1ococnv2 6853	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
43	41, 42	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
44	14, 40, 43	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4317  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   × cxp 5667  ^◡ccnv 5668   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  Oncon0 6357  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  1_oc1o 8457   ↑_m cmap 8819  Basecbs 17150   ↾_s cress 17179  Ringcrg 20135  CRingccrg 20136  SubRingcsubrg 20466   mVar cmvr 21794   mPoly cmpl 21795   eval cevl 21971  PwSer₁cps1 22044  var₁cv1 22045  Poly₁cpl1 22046  eval₁ce1 22183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-cring 20138  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-assa 21743  df-asp 21744  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-evls 21972  df-evl 21973  df-psr1 22049  df-vr1 22050  df-ply1 22051  df-evl1 22185

This theorem is referenced by:  evl1vard  22206  evls1var  22207  pf1id  22216  fta1blem  26055