Theorem evl1var 22311

Description: Polynomial evaluation maps the variable to the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1var.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1var.v	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1var.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1var	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evl1var

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20217	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		evl1var.v	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
5	2, 3, 4	vr1cl 22191	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
7		evl1var.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
9		evl1var.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
11	3, 4	ply1bas 22168	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
12	7, 8, 9, 10, 11	evl1val 22304	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (𝑂‘𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
13	6, 12	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
14		df1o2 8405	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
15	9	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		0ex 5242	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))
18	14, 15, 16, 17	mapsncnv 8834	. . . 4 ⊢ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
19	18	coeq2i 5809	. . 3 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
20	9	ressid 17205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
21	20	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mVar 𝑅))
22	21	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅) = ((1o mVar 𝑅)‘∅))
23	2	vr1val 22165	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
24	22, 23	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅) = 𝑋)
25	24	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅)) = ((1o eval 𝑅)‘𝑋))
26	8, 9	evlval 22088	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))
28		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
29		1on 8410	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1o ∈ On)
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
32	9	subrgid 20541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
33	1, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34		0lt1o 8432	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∅ ∈ 1o)
36	26, 27, 28, 9, 30, 31, 33, 35	evlsvar 22083	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘((1o mVar (𝑅 ↾s 𝐵))‘∅)) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
37	25, 36	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((1o eval 𝑅)‘𝑋) = (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)))
38	37	coeq1d 5810	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
39	19, 38	eqtr3id 2786	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((1o eval 𝑅)‘𝑋) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))))
40	14, 15, 16, 17	mapsnf1o2 8835	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐵
41		f1ococnv2 6801	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)):(𝐵 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
42	40, 41	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅)) ∘ ◡(𝑧 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑧‘∅))) = ( I ↾ 𝐵))
43	13, 39, 42	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   I cid 5518   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  Oncon0 6317  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1_oc1o 8391   ↑_m cmap 8766  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  SubRingcsubrg 20537   mVar cmvr 21895   mPoly cmpl 21896   eval cevl 22061  var₁cv1 22149  Poly₁cpl1 22150  eval₁ce1 22289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-assa 21843  df-asp 21844  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-evls 22062  df-evl 22063  df-psr1 22153  df-vr1 22154  df-ply1 22155  df-evl1 22291

This theorem is referenced by:  evl1vard  22312  evls1var  22313  pf1id  22322  fta1blem  26146