Theorem fiunicl 45254

Description: If a set is closed under the union of two sets, then it is closed under finite union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiunicl.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝐴)
fiunicl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fiunicl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fiunicl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem fiunicl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 5012	. 2 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧
2		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
4		fiunicl.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝐴)
5		fiunicl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fiunicl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
7	2, 3, 4, 5, 6	fiiuncl 45252	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐴)
8	1, 7	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∪ cun 3897  ∅c0 4283  ∪ cuni 4861  ∪ ciun 4944  Fincfn 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7807  df-en 8882  df-fin 8885

This theorem is referenced by: (None)