Theorem fiunicl 46005

Description: If a set is closed under the union of two sets, then it is closed under finite union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiunicl.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝐴)
fiunicl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fiunicl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fiunicl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem fiunicl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 5016	. 2 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧
2		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
3		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
4		fiunicl.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝐴)
5		fiunicl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fiunicl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
7	2, 3, 4, 5, 6	fiiuncl 46003	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐴)
8	1, 7	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∪ cun 3896  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950  Fincfn 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-om 7861  df-en 8952  df-fin 8955

This theorem is used by: (None)