Theorem fiunicl 45456

Description: If a set is closed under the union of two sets, then it is closed under finite union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiunicl.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝐴)
fiunicl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fiunicl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fiunicl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem fiunicl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 5016	. 2 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧
2		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
4		fiunicl.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ 𝐴)
5		fiunicl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fiunicl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
7	2, 3, 4, 5, 6	fiiuncl 45454	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐴)
8	1, 7	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∪ cun 3901  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4948  Fincfn 8897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-om 7821  df-en 8898  df-fin 8901

This theorem is referenced by: (None)