Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunp1 39990
Description: The addition of the next set to a union indexed by a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iunp1.1 𝑘𝐵
iunp1.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iunp1.3 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iunp1 (𝜑 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = ( 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunp1
StepHypRef Expression
1 iunp1.2 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 fzsuc 12642 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
43iuneq1d 4735 . 2 (𝜑 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = 𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})𝐴)
5 iunxun 4796 . . 3 𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})𝐴 = ( 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}𝐴)
65a1i 11 . 2 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})𝐴 = ( 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}𝐴))
7 iunp1.1 . . . . 5 𝑘𝐵
8 ovex 6910 . . . . 5 (𝑁 + 1) ∈ V
9 iunp1.3 . . . . 5 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
107, 8, 9iunxsnf 39988 . . . 4 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}𝐴 = 𝐵
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}𝐴 = 𝐵)
1211uneq2d 3965 . 2 (𝜑 → ( 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}𝐴) = ( 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴𝐵))
134, 6, 123eqtrd 2837 1 (𝜑 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = ( 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  wnfc 2928  cun 3767  {csn 4368   ciun 4710  cfv 6101  (class class class)co 6878  1c1 10225   + caddc 10227  cuz 11930  ...cfz 12580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581
This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  41477  caratheodorylem1  41482
  Copyright terms: Public domain W3C validator