MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnoe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnoe 8460
Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnoe โ†‘o Fn (On ร— On)

Proof of Theorem fnoe
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oexp 8422 . 2 โ†‘o = (๐‘ฅ โˆˆ On, ๐‘ฆ โˆˆ On โ†ฆ if(๐‘ฅ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ฆ), (rec((๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)), 1o)โ€˜๐‘ฆ)))
2 1on 8428 . . . 4 1o โˆˆ On
3 difexg 5288 . . . 4 (1o โˆˆ On โ†’ (1o โˆ– ๐‘ฆ) โˆˆ V)
42, 3ax-mp 5 . . 3 (1o โˆ– ๐‘ฆ) โˆˆ V
5 fvex 6859 . . 3 (rec((๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)), 1o)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
64, 5ifex 4540 . 2 if(๐‘ฅ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ฆ), (rec((๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)), 1o)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ V
71, 6fnmpoi 8006 1 โ†‘o Fn (On ร— On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911  โˆ…c0 4286  ifcif 4490   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  Oncon0 6321   Fn wfn 6495  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  reccrdg 8359  1oc1o 8409   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-oexp 8422
This theorem is referenced by:  oaabs2  8599  omabs  8601
  Copyright terms: Public domain W3C validator