MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnoe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnoe 8506
Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnoe โ†‘o Fn (On ร— On)

Proof of Theorem fnoe
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oexp 8468 . 2 โ†‘o = (๐‘ฅ โˆˆ On, ๐‘ฆ โˆˆ On โ†ฆ if(๐‘ฅ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ฆ), (rec((๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)), 1o)โ€˜๐‘ฆ)))
2 1on 8474 . . . 4 1o โˆˆ On
3 difexg 5318 . . . 4 (1o โˆˆ On โ†’ (1o โˆ– ๐‘ฆ) โˆˆ V)
42, 3ax-mp 5 . . 3 (1o โˆ– ๐‘ฆ) โˆˆ V
5 fvex 6895 . . 3 (rec((๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)), 1o)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
64, 5ifex 4571 . 2 if(๐‘ฅ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ฆ), (rec((๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)), 1o)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ V
71, 6fnmpoi 8050 1 โ†‘o Fn (On ร— On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466   โˆ– cdif 3938  โˆ…c0 4315  ifcif 4521   โ†ฆ cmpt 5222   ร— cxp 5665  Oncon0 6355   Fn wfn 6529  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  reccrdg 8405  1oc1o 8455   ยทo comu 8460   โ†‘o coe 8461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8462  df-oexp 8468
This theorem is referenced by:  oaabs2  8645  omabs  8647
  Copyright terms: Public domain W3C validator