Theorem 0spth 29935

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0spth	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0spth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pth.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0trl 29931	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
3	2	anbi1d 630	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun ◡𝑃)))
4		isspth 29537	. 2 ⊢ (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
5		fz0sn 13633	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
6	5	feq2i 6714	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ 𝑃:{0}⟶𝑉)
7		c0ex 11238	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fsn2 7145	. . . . 5 ⊢ (𝑃:{0}⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
9		funcnvsn 6603	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩}
10		cnveq 5876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → ◡𝑃 = ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩})
11	10	funeqd 6575	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
12	9, 11	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → Fun ◡𝑃)
13	8, 12	simplbiim 504	. . . 4 ⊢ (𝑃:{0}⟶𝑉 → Fun ◡𝑃)
14	6, 13	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → Fun ◡𝑃)
15	14	pm4.71i 559	. 2 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun ◡𝑃))
16	3, 4, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∅c0 4323  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5677  Fun wfun 6542  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11138  ...cfz 13516  Vtxcvtx 28808  Trailsctrls 29503  SPathscspths 29526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-wlks 29412  df-trls 29505  df-spths 29530

This theorem is referenced by: (None)