Theorem 0spth 29873

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0spth	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0spth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pth.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0trl 29869	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
3	2	anbi1d 629	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun ◡𝑃)))
4		isspth 29475	. 2 ⊢ (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
5		fz0sn 13602	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
6	5	feq2i 6700	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ 𝑃:{0}⟶𝑉)
7		c0ex 11207	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fsn2 7127	. . . . 5 ⊢ (𝑃:{0}⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
9		funcnvsn 6589	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩}
10		cnveq 5864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → ◡𝑃 = ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩})
11	10	funeqd 6561	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
12	9, 11	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → Fun ◡𝑃)
13	8, 12	simplbiim 504	. . . 4 ⊢ (𝑃:{0}⟶𝑉 → Fun ◡𝑃)
14	6, 13	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → Fun ◡𝑃)
15	14	pm4.71i 559	. 2 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun ◡𝑃))
16	3, 4, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4315  {csn 4621  ⟨cop 4627   class class class wbr 5139  ^◡ccnv 5666  Fun wfun 6528  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  ...cfz 13485  Vtxcvtx 28749  Trailsctrls 29441  SPathscspths 29464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-wlks 29350  df-trls 29443  df-spths 29468

This theorem is referenced by: (None)