Theorem 0spth 29368

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0spth	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0spth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pth.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0trl 29364	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
3	2	anbi1d 630	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun ◡𝑃)))
4		isspth 28970	. 2 ⊢ (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
5		fz0sn 13597	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
6	5	feq2i 6706	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ 𝑃:{0}⟶𝑉)
7		c0ex 11204	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fsn2 7130	. . . . 5 ⊢ (𝑃:{0}⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
9		funcnvsn 6595	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩}
10		cnveq 5871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → ◡𝑃 = ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩})
11	10	funeqd 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
12	9, 11	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → Fun ◡𝑃)
13	8, 12	simplbiim 505	. . . 4 ⊢ (𝑃:{0}⟶𝑉 → Fun ◡𝑃)
14	6, 13	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → Fun ◡𝑃)
15	14	pm4.71i 560	. 2 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun ◡𝑃))
16	3, 4, 15	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4321  {csn 4627  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5674  Fun wfun 6534  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  ...cfz 13480  Vtxcvtx 28245  Trailsctrls 28936  SPathscspths 28959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-wlks 28845  df-trls 28938  df-spths 28963

This theorem is referenced by: (None)