MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0spth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0spth 29346
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0pth.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0spth (𝐺𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0spth
StepHypRef Expression
1 0pth.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
210trl 29342 . . 3 (𝐺𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
32anbi1d 631 . 2 (𝐺𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun 𝑃)))
4 isspth 28948 . 2 (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
5 fz0sn 13588 . . . . 5 (0...0) = {0}
65feq2i 6699 . . . 4 (𝑃:(0...0)⟶𝑉𝑃:{0}⟶𝑉)
7 c0ex 11195 . . . . . 6 0 ∈ V
87fsn2 7121 . . . . 5 (𝑃:{0}⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
9 funcnvsn 6590 . . . . . 6 Fun {⟨0, (𝑃‘0)⟩}
10 cnveq 5868 . . . . . . 7 (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩})
1110funeqd 6562 . . . . . 6 (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → (Fun 𝑃 ↔ Fun {⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
129, 11mpbiri 258 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → Fun 𝑃)
138, 12simplbiim 506 . . . 4 (𝑃:{0}⟶𝑉 → Fun 𝑃)
146, 13sylbi 216 . . 3 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → Fun 𝑃)
1514pm4.71i 561 . 2 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun 𝑃))
163, 4, 153bitr4g 314 1 (𝐺𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4320  {csn 4624  cop 4630   class class class wbr 5144  ccnv 5671  Fun wfun 6529  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  0cc0 11097  ...cfz 13471  Vtxcvtx 28223  Trailsctrls 28914  SPathscspths 28937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-hash 14278  df-word 14452  df-wlks 28823  df-trls 28916  df-spths 28941
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator