Theorem 0spth 30158

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pth.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0spth	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0spth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pth.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0trl 30154	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
3	2	anbi1d 630	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun ◡𝑃)))
4		isspth 29760	. 2 ⊢ (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
5		fz0sn 13684	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
6	5	feq2i 6739	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ 𝑃:{0}⟶𝑉)
7		c0ex 11284	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fsn2 7170	. . . . 5 ⊢ (𝑃:{0}⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
9		funcnvsn 6628	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩}
10		cnveq 5898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → ◡𝑃 = ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩})
11	10	funeqd 6600	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun ◡{⟨0, (𝑃‘0)⟩}))
12	9, 11	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩} → Fun ◡𝑃)
13	8, 12	simplbiim 504	. . . 4 ⊢ (𝑃:{0}⟶𝑉 → Fun ◡𝑃)
14	6, 13	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → Fun ◡𝑃)
15	14	pm4.71i 559	. 2 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun ◡𝑃))
16	3, 4, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  {csn 4648  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  ...cfz 13567  Vtxcvtx 29031  Trailsctrls 29726  SPathscspths 29749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-wlks 29635  df-trls 29728  df-spths 29753

This theorem is referenced by: (None)