Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem2 44841
 Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 44843. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ldepsnlinclem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8424 . 2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → 𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring))
2 zlmodzxzldep.a . . . . 5 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3 prex 5320 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2912 . . . 4 𝐴 ∈ V
54fsn2 6889 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
6 oveq1 7156 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
76adantl 485 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 44682 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
109simpli 487 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12 3z 12012 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
13 6nn 11723 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℕ
1413nnzi 12003 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℤ
158zlmodzxzel 44683 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
1612, 14, 15mp2an 691 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
172, 16eqeltri 2912 . . . . . . 7 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
1817a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
19 simpl 486 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring))
20 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
219simpri 489 . . . . . . 7 ring = (Scalar‘𝑍)
22 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
23 eqid 2824 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
2420, 21, 22, 23lincvalsng 44751 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
2511, 18, 19, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
267, 25eqtrd 2859 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
27 eqid 2824 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28 eqid 2824 . . . . . 6 (-g𝑍) = (-g𝑍)
29 zlmodzxzldep.b . . . . . 6 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
308, 27, 23, 28, 2, 29zlmodzxznm 44832 . . . . 5 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
31 r19.26 3165 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
32 oveq1 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐹𝐴) → (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
3332neeq1d 3073 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐹𝐴) → ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
3433rspcv 3604 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
35 zringbas 20623 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
3635eqcomi 2833 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ℤring) = ℤ
3736eleq2i 2907 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
3837biimpi 219 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
3938adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
4034, 39syl11 33 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4140adantr 484 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4231, 41sylbi 220 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4330, 42ax-mp 5 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵)
4426, 43eqnetrd 3081 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
455, 44sylbi 220 . 2 (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
461, 45syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  Vcvv 3480  {csn 4550  {cpr 4552  ⟨cop 4556  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ↑m cmap 8402  0cc0 10535  1c1 10536  2c2 11689  3c3 11690  4c4 11691  6c6 11693  ℤcz 11978  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  -gcsg 18105  LModclmod 19634  ℤringzring 20617   freeLMod cfrlm 20890   linC clinc 44739 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-prm 16014  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-linc 44741 This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  44843
 Copyright terms: Public domain W3C validator