Theorem ldepsnlinclem2 49436

Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 49438. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinclem2	⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ldepsnlinclem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8848	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → 𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring))
2		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		prex 5403	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5	4	fsn2 7130	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
6		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
8		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
9	8	zlmodzxzlmod 49284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	simpli 489	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12		3z 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		6nn 12354	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnzi 12642	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℤ
15	8	zlmodzxzel 49285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
16	12, 14, 15	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
17	2, 16	eqeltri 2856	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
19		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring))
20		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21	9	simpri 491	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
23		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
24	20, 21, 22, 23	lincvalsng 49346	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
25	11, 18, 19, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
26	7, 25	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
27		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
29		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
30	8, 27, 23, 28, 2, 29	zlmodzxznm 49427	. . . . 5 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
31		r19.26 3122	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
32		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐴) → (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
33	32	neeq1d 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐴) → ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
34	33	rspcv 3572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
35		zringbas 21666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36	35	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
37	36	eleq2i 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
38	37	birani 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
39	34, 38	syl11 34	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
40	39	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
41	31, 40	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
42	30, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵)
43	26, 42	eqnetrd 3022	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
44	5, 43	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
45	1, 44	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  0cc0 11124  1c1 11125  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  ℤcz 12615  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  -_gcsg 19059  LModclmod 21044  ℤ_ringczring 21659   freeLMod cfrlm 21959   linC clinc 49334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-prm 16762  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-cnfld 21586  df-zring 21660  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-linc 49336

This theorem is used by:  ldepsnlinc  49438