Theorem ldepsnlinclem2 48982

Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 48984. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinclem2	⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ldepsnlinclem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8796	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → 𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring))
2		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		prex 5380	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2832	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5	4	fsn2 7089	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
6		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
8		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
9	8	zlmodzxzlmod 48830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12		3z 12560	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		6nn 12270	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnzi 12551	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℤ
15	8	zlmodzxzel 48831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
16	12, 14, 15	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
17	2, 16	eqeltri 2832	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
19		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring))
20		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21	9	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
23		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
24	20, 21, 22, 23	lincvalsng 48892	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
25	11, 18, 19, 24	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
26	7, 25	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
27		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
29		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
30	8, 27, 23, 28, 2, 29	zlmodzxznm 48973	. . . . 5 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
31		r19.26 3097	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
32		oveq1 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐴) → (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
33	32	neeq1d 2991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐴) → ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
34	33	rspcv 3560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
35		zringbas 21433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36	35	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
37	36	eleq2i 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
38	37	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
40	34, 39	syl11 33	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
41	40	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
42	31, 41	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
43	30, 42	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵)
44	26, 43	eqnetrd 2999	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
45	5, 44	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
46	1, 45	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3429  {csn 4567  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  6c6 12240  ℤcz 12524  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  -_gcsg 18911  LModclmod 20855  ℤ_ringczring 21426   freeLMod cfrlm 21726   linC clinc 48880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-linc 48882

This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  48984