Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem2 47760
Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 47762. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ldepsnlinclem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8868 . 2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → 𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring))
2 zlmodzxzldep.a . . . . 5 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3 prex 5434 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2821 . . . 4 𝐴 ∈ V
54fsn2 7145 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
6 oveq1 7426 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
76adantl 480 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 47604 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
109simpli 482 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12 3z 12628 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
13 6nn 12334 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℕ
1413nnzi 12619 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℤ
158zlmodzxzel 47605 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
1612, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
172, 16eqeltri 2821 . . . . . . 7 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
1817a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
19 simpl 481 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring))
20 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
219simpri 484 . . . . . . 7 ring = (Scalar‘𝑍)
22 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
23 eqid 2725 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
2420, 21, 22, 23lincvalsng 47670 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
2511, 18, 19, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
267, 25eqtrd 2765 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
27 eqid 2725 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28 eqid 2725 . . . . . 6 (-g𝑍) = (-g𝑍)
29 zlmodzxzldep.b . . . . . 6 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
308, 27, 23, 28, 2, 29zlmodzxznm 47751 . . . . 5 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
31 r19.26 3100 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
32 oveq1 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐹𝐴) → (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
3332neeq1d 2989 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐹𝐴) → ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
3433rspcv 3602 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
35 zringbas 21396 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
3635eqcomi 2734 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ℤring) = ℤ
3736eleq2i 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
3837biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
3938adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
4034, 39syl11 33 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4140adantr 479 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4231, 41sylbi 216 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4330, 42ax-mp 5 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵)
4426, 43eqnetrd 2997 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
455, 44sylbi 216 . 2 (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
461, 45syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  Vcvv 3461  {csn 4630  {cpr 4632  cop 4636  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  0cc0 11140  1c1 11141  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  6c6 12304  cz 12591  Basecbs 17183  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  -gcsg 18900  LModclmod 20755  ringczring 21389   freeLMod cfrlm 21697   linC clinc 47658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-prm 16646  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-linc 47660
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  47762
  Copyright terms: Public domain W3C validator