Theorem ldepsnlinclem2 49286

Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 49288. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinclem2	⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ldepsnlinclem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8842	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → 𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring))
2		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		prex 5409	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2859	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5	4	fsn2 7132	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
6		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
7	6	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
8		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
9	8	zlmodzxzlmod 49134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	simpli 488	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12		3z 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		6nn 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnzi 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℤ
15	8	zlmodzxzel 49135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
16	12, 14, 15	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
17	2, 16	eqeltri 2859	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
19		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring))
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21	9	simpri 490	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
24	20, 21, 22, 23	lincvalsng 49196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
25	11, 18, 19, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
26	7, 25	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
27		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
29		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
30	8, 27, 23, 28, 2, 29	zlmodzxznm 49277	. . . . 5 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
31		r19.26 3125	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
32		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐴) → (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
33	32	neeq1d 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐴) → ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
34	33	rspcv 3577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
35		zringbas 21603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36	35	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
37	36	eleq2i 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
38	37	birani 508	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
39	34, 38	syl11 34	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
40	39	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
41	31, 40	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
42	30, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵)
43	26, 42	eqnetrd 3025	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
44	5, 43	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
45	1, 44	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3455  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  0cc0 11095  1c1 11096  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  6c6 12294  ℤcz 12586  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  -_gcsg 18997  LModclmod 20981  ℤ_ringczring 21596   freeLMod cfrlm 21896   linC clinc 49184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-prm 16725  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-cnfld 21523  df-zring 21597  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-linc 49186

This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  49288