Theorem ldepsnlinclem2 48997

Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 48999. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinclem2	⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ldepsnlinclem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8786	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → 𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring))
2		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		prex 5367	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5	4	fsn2 7078	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
6		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
7	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
8		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
9	8	zlmodzxzlmod 48845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	simpli 484	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12		3z 12551	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		6nn 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnzi 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℤ
15	8	zlmodzxzel 48846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
16	12, 14, 15	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
17	2, 16	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
19		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring))
20		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21	9	simpri 486	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
22		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
23		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
24	20, 21, 22, 23	lincvalsng 48907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
25	11, 18, 19, 24	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
26	7, 25	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
27		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
29		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
30	8, 27, 23, 28, 2, 29	zlmodzxznm 48988	. . . . 5 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
31		r19.26 3099	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
32		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐴) → (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
33	32	neeq1d 2993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐴) → ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
34	33	rspcv 3556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
35		zringbas 21428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36	35	eqcomi 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
37	36	eleq2i 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
38	37	birani 504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
39	34, 38	syl11 33	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
40	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
41	31, 40	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
42	30, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵)
43	26, 42	eqnetrd 3001	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
44	5, 43	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
45	1, 44	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  Vcvv 3431  {csn 4555  {cpr 4557  ⟨cop 4561  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  0cc0 11029  1c1 11030  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  6c6 12231  ℤcz 12515  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  -_gcsg 18902  LModclmod 20850  ℤ_ringczring 21421   freeLMod cfrlm 21721   linC clinc 48895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-cnfld 21348  df-zring 21422  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-linc 48897

This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  48999