Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem2 46577
Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 46579. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ldepsnlinclem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8787 . 2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → 𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring))
2 zlmodzxzldep.a . . . . 5 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3 prex 5389 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2834 . . . 4 𝐴 ∈ V
54fsn2 7082 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
6 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
76adantl 482 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 46420 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
109simpli 484 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12 3z 12536 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
13 6nn 12242 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℕ
1413nnzi 12527 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℤ
158zlmodzxzel 46421 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
1612, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
172, 16eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
1817a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
19 simpl 483 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring))
20 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
219simpri 486 . . . . . . 7 ring = (Scalar‘𝑍)
22 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
23 eqid 2736 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
2420, 21, 22, 23lincvalsng 46487 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
2511, 18, 19, 24syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
267, 25eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
27 eqid 2736 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28 eqid 2736 . . . . . 6 (-g𝑍) = (-g𝑍)
29 zlmodzxzldep.b . . . . . 6 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
308, 27, 23, 28, 2, 29zlmodzxznm 46568 . . . . 5 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
31 r19.26 3114 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
32 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐹𝐴) → (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
3332neeq1d 3003 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐹𝐴) → ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
3433rspcv 3577 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
35 zringbas 20875 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
3635eqcomi 2745 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ℤring) = ℤ
3736eleq2i 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
3837biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
4034, 39syl11 33 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4140adantr 481 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4231, 41sylbi 216 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4330, 42ax-mp 5 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵)
4426, 43eqnetrd 3011 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
455, 44sylbi 216 . 2 (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
461, 45syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  {csn 4586  {cpr 4588  cop 4592  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  0cc0 11051  1c1 11052  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  6c6 12212  cz 12499  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  -gcsg 18750  LModclmod 20322  ringczring 20869   freeLMod cfrlm 21152   linC clinc 46475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-prm 16548  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-linc 46477
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  46579
  Copyright terms: Public domain W3C validator