Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem2 47497
Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 47499. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem2 (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {𝐴}) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴}) β‰  𝐡)

Proof of Theorem ldepsnlinclem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8859 . 2 (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {𝐴}) β†’ 𝐹:{𝐴}⟢(Baseβ€˜β„€ring))
2 zlmodzxzldep.a . . . . 5 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3 prex 5428 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2824 . . . 4 𝐴 ∈ V
54fsn2 7139 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟢(Baseβ€˜β„€ring) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}))
6 oveq1 7421 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩} β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴}) = ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘){𝐴}))
76adantl 481 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴}) = ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘){𝐴}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 47341 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘))
109simpli 483 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ 𝑍 ∈ LMod)
12 3z 12617 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„€
13 6nn 12323 . . . . . . . . . 10 6 ∈ β„•
1413nnzi 12608 . . . . . . . . 9 6 ∈ β„€
158zlmodzxzel 47342 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ β„€ ∧ 6 ∈ β„€) β†’ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘))
1612, 14, 15mp2an 691 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘)
172, 16eqeltri 2824 . . . . . . 7 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘)
1817a1i 11 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘))
19 simpl 482 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring))
20 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
219simpri 485 . . . . . . 7 β„€ring = (Scalarβ€˜π‘)
22 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜β„€ring) = (Baseβ€˜β„€ring)
23 eqid 2727 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘) = ( ·𝑠 β€˜π‘)
2420, 21, 22, 23lincvalsng 47407 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring)) β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘){𝐴}) = ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴))
2511, 18, 19, 24syl3anc 1369 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ ({⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘){𝐴}) = ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴))
267, 25eqtrd 2767 . . . 4 (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴}) = ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴))
27 eqid 2727 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28 eqid 2727 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘) = (-gβ€˜π‘)
29 zlmodzxzldep.b . . . . . 6 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
308, 27, 23, 28, 2, 29zlmodzxznm 47488 . . . . 5 βˆ€π‘– ∈ β„€ ((𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ∧ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴)
31 r19.26 3106 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ β„€ ((𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ∧ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴) ↔ (βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴))
32 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (πΉβ€˜π΄) β†’ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) = ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴))
3332neeq1d 2995 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (πΉβ€˜π΄) β†’ ((𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ↔ ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡))
3433rspcv 3603 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π΄) ∈ β„€ β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡))
35 zringbas 21366 . . . . . . . . . . . 12 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
3635eqcomi 2736 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜β„€ring) = β„€
3736eleq2i 2820 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„€)
3837biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„€)
3938adantr 480 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„€)
4034, 39syl11 33 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 β†’ (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡))
4140adantr 480 . . . . . 6 ((βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡))
4231, 41sylbi 216 . . . . 5 (βˆ€π‘– ∈ β„€ ((𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ∧ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡))
4330, 42ax-mp 5 . . . 4 (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡)
4426, 43eqnetrd 3003 . . 3 (((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (πΉβ€˜π΄)⟩}) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴}) β‰  𝐡)
455, 44sylbi 216 . 2 (𝐹:{𝐴}⟢(Baseβ€˜β„€ring) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴}) β‰  𝐡)
461, 45syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {𝐴}) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴}) β‰  𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  0cc0 11130  1c1 11131  2c2 12289  3c3 12290  4c4 12291  6c6 12293  β„€cz 12580  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  -gcsg 18883  LModclmod 20732  β„€ringczring 21359   freeLMod cfrlm 21667   linC clinc 47395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-prm 16634  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-linc 47397
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  47499
  Copyright terms: Public domain W3C validator