Theorem ldepsnlinclem2 49726

Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 49728. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinclem2	⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ldepsnlinclem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8876	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → 𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring))
2		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		prex 5396	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5	4	fsn2 7142	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
6		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
8		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
9	8	zlmodzxzlmod 49574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	simpli 489	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12		3z 12736	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		6nn 12439	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnzi 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℤ
15	8	zlmodzxzel 49575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
16	12, 14, 15	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
17	2, 16	eqeltri 2856	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
19		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring))
20		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
21	9	simpri 491	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
23		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
24	20, 21, 22, 23	lincvalsng 49636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
25	11, 18, 19, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ({⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
26	7, 25	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
27		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
29		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
30	8, 27, 23, 28, 2, 29	zlmodzxznm 49717	. . . . 5 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
31		r19.26 3122	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
32		oveq1 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐴) → (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
33	32	neeq1d 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐴) → ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
34	33	rspcv 3572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
35		zringbas 21768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36	35	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
37	36	eleq2i 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
38	37	birani 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
39	34, 38	syl11 34	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
40	39	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
41	31, 40	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
42	30, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵)
43	26, 42	eqnetrd 3022	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
44	5, 43	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
45	1, 44	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4834  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8854  0cc0 11207  1c1 11208  2c2 12404  3c3 12405  4c4 12406  6c6 12408  ℤcz 12700  Basecbs 17396  Scalarcsca 17440   ·_𝑠 cvsca 17441  -_gcsg 19155  LModclmod 21144  ℤ_ringczring 21761   freeLMod cfrlm 22061   linC clinc 49624

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-dvds 16432  df-prm 16856  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-cnfld 21688  df-zring 21762  df-dsmm 22047  df-frlm 22062  df-linc 49626

This theorem is used by:  ldepsnlinc  49728