Theorem ldepsnlinclem1 49204

Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 49207. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinclem1	⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ldepsnlinclem1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8846	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → 𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring))
2		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
3		prex 5410	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2865	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	fsn2 7133	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}))
6		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
7	6	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
8		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
9	8	zlmodzxzlmod 49053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	simpli 488	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12		2z 12626	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		4z 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
14	8	zlmodzxzel 49054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
15	12, 13, 14	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
16	2, 15	eqeltri 2865	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
18		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring))
19		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
20	9	simpri 490	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
21		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
23	19, 20, 21, 22	lincvalsng 49115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
24	11, 17, 18, 23	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
25	7, 24	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
26		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
27		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
28		zlmodzxzldep.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
29	8, 26, 22, 27, 28, 2	zlmodzxznm 49196	. . . . 5 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
30		r19.26 3131	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
31		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐵) → (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
32	31	neeq1d 3023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐵) → ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
33	32	rspcv 3586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
34		zringbas 21572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
35	34	eqcomi 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
36	35	eleq2i 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
37	36	birani 508	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
38	33, 37	syl11 34	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
39	38	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
40	30, 39	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
41	29, 40	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
42	25, 41	eqnetrd 3031	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
43	5, 42	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
44	1, 43	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3463  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cop 4600  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8824  0cc0 11100  1c1 11101  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  6c6 12299  ℤcz 12591  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  -_gcsg 19002  LModclmod 20959  ℤ_ringczring 21565   freeLMod cfrlm 21865   linC clinc 49103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-prm 16730  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-dsmm 21851  df-frlm 21866  df-linc 49105

This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  49207