Theorem ldepsnlinclem1 49420

Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 49423. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinclem1	⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ldepsnlinclem1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8851	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → 𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring))
2		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
3		prex 5407	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2858	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	fsn2 7133	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}))
6		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
8		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
9	8	zlmodzxzlmod 49269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	simpli 489	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12		2z 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		4z 12653	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
14	8	zlmodzxzel 49270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
15	12, 13, 14	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
16	2, 15	eqeltri 2858	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
18		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring))
19		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
20	9	simpri 491	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
21		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
23	19, 20, 21, 22	lincvalsng 49331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
24	11, 17, 18, 23	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
25	7, 24	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
26		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
27		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
28		zlmodzxzldep.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
29	8, 26, 22, 27, 28, 2	zlmodzxznm 49412	. . . . 5 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
30		r19.26 3124	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
31		oveq1 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐵) → (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
32	31	neeq1d 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐵) → ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
33	32	rspcv 3575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
34		zringbas 21665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
35	34	eqcomi 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
36	35	eleq2i 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
37	36	birani 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
38	33, 37	syl11 34	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
39	38	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
40	30, 39	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
41	29, 40	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
42	25, 41	eqnetrd 3024	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
43	5, 42	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
44	1, 43	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  Vcvv 3453  {csn 4587  {cpr 4589  ⟨cop 4593  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  0cc0 11125  1c1 11126  2c2 12320  3c3 12321  4c4 12322  6c6 12324  ℤcz 12616  Basecbs 17303  Scalarcsca 17347   ·_𝑠 cvsca 17348  -_gcsg 19058  LModclmod 21043  ℤ_ringczring 21658   freeLMod cfrlm 21958   linC clinc 49319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16345  df-prm 16764  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-cnfld 21585  df-zring 21659  df-dsmm 21944  df-frlm 21959  df-linc 49321

This theorem is used by:  ldepsnlinc  49423