Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem1 46672
Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 46675. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem1 (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {𝐡}) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐡}) β‰  𝐴)

Proof of Theorem ldepsnlinclem1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8790 . 2 (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {𝐡}) β†’ 𝐹:{𝐡}⟢(Baseβ€˜β„€ring))
2 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
3 prex 5390 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2830 . . . 4 𝐡 ∈ V
54fsn2 7083 . . 3 (𝐹:{𝐡}⟢(Baseβ€˜β„€ring) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}))
6 oveq1 7365 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩} β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐡}) = ({⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩} ( linC β€˜π‘){𝐡}))
76adantl 483 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐡}) = ({⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩} ( linC β€˜π‘){𝐡}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 46516 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘))
109simpli 485 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ 𝑍 ∈ LMod)
12 2z 12540 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
13 4z 12542 . . . . . . . . 9 4 ∈ β„€
148zlmodzxzel 46517 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„€ ∧ 4 ∈ β„€) β†’ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘))
1512, 13, 14mp2an 691 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘)
162, 15eqeltri 2830 . . . . . . 7 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘)
1716a1i 11 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘))
18 simpl 484 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring))
19 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
209simpri 487 . . . . . . 7 β„€ring = (Scalarβ€˜π‘)
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜β„€ring) = (Baseβ€˜β„€ring)
22 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘) = ( ·𝑠 β€˜π‘)
2319, 20, 21, 22lincvalsng 46583 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring)) β†’ ({⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩} ( linC β€˜π‘){𝐡}) = ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡))
2411, 17, 18, 23syl3anc 1372 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ ({⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩} ( linC β€˜π‘){𝐡}) = ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡))
257, 24eqtrd 2773 . . . 4 (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐡}) = ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡))
26 eqid 2733 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
27 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘) = (-gβ€˜π‘)
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
298, 26, 22, 27, 28, 2zlmodzxznm 46664 . . . . 5 βˆ€π‘– ∈ β„€ ((𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ∧ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴)
30 r19.26 3111 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ β„€ ((𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ∧ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴) ↔ (βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴))
31 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (πΉβ€˜π΅) β†’ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) = ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡))
3231neeq1d 3000 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (πΉβ€˜π΅) β†’ ((𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴 ↔ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴))
3332rspcv 3576 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π΅) ∈ β„€ β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴))
34 zringbas 20891 . . . . . . . . . . . 12 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
3534eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜β„€ring) = β„€
3635eleq2i 2826 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„€)
3736biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„€)
3837adantr 482 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„€)
3933, 38syl11 33 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴))
4039adantl 483 . . . . . 6 ((βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘– ∈ β„€ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴))
4130, 40sylbi 216 . . . . 5 (βˆ€π‘– ∈ β„€ ((𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) β‰  𝐡 ∧ (𝑖( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴))
4229, 41ax-mp 5 . . . 4 (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) β‰  𝐴)
4325, 42eqnetrd 3008 . . 3 (((πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜β„€ring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐡, (πΉβ€˜π΅)⟩}) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐡}) β‰  𝐴)
445, 43sylbi 216 . 2 (𝐹:{𝐡}⟢(Baseβ€˜β„€ring) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐡}) β‰  𝐴)
451, 44syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {𝐡}) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐡}) β‰  𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  0cc0 11056  1c1 11057  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  6c6 12217  β„€cz 12504  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  -gcsg 18755  LModclmod 20336  β„€ringczring 20885   freeLMod cfrlm 21168   linC clinc 46571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-prm 16553  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-linc 46573
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  46675
  Copyright terms: Public domain W3C validator