Theorem ldepsnlinclem1 49317

Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 49320. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinclem1	⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ldepsnlinclem1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8848	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → 𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring))
2		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
3		prex 5412	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2862	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	fsn2 7136	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}))
6		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
8		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
9	8	zlmodzxzlmod 49166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	simpli 489	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12		2z 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		4z 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
14	8	zlmodzxzel 49167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
15	12, 13, 14	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
16	2, 15	eqeltri 2862	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
18		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring))
19		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
20	9	simpri 491	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
21		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
23	19, 20, 21, 22	lincvalsng 49228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
24	11, 17, 18, 23	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
25	7, 24	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
26		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
27		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
28		zlmodzxzldep.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
29	8, 26, 22, 27, 28, 2	zlmodzxznm 49309	. . . . 5 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
30		r19.26 3128	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
31		oveq1 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐵) → (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
32	31	neeq1d 3020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐵) → ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
33	32	rspcv 3580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
34		zringbas 21618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
35	34	eqcomi 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
36	35	eleq2i 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
37	36	birani 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
38	33, 37	syl11 34	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
39	38	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
40	30, 39	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
41	29, 40	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
42	25, 41	eqnetrd 3028	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
43	5, 42	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
44	1, 43	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  Vcvv 3458  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  0cc0 11110  1c1 11111  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  6c6 12309  ℤcz 12601  Basecbs 17279  Scalarcsca 17323   ·_𝑠 cvsca 17324  -_gcsg 19012  LModclmod 20996  ℤ_ringczring 21611   freeLMod cfrlm 21911   linC clinc 49216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-rp 13027  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14378  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-dvds 16321  df-prm 16740  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-starv 17335  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-ip 17338  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-unif 17343  df-hom 17344  df-cco 17345  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-prds 17510  df-pws 17512  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-sbg 19015  df-mulg 19144  df-subg 19199  df-cntz 19397  df-cmn 19862  df-abl 19863  df-mgp 20227  df-rng 20241  df-ur 20274  df-ring 20327  df-cring 20328  df-subrng 20660  df-subrg 20684  df-lmod 20998  df-lss 21068  df-sra 21309  df-rgmod 21310  df-cnfld 21538  df-zring 21612  df-dsmm 21897  df-frlm 21912  df-linc 49218

This theorem is used by:  ldepsnlinc  49320