Theorem ldepsnlinclem1 49533

Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 49536. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
ldepsnlinclem1	⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ldepsnlinclem1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8848	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → 𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring))
2		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
3		prex 5396	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	fsn2 7126	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}))
6		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
8		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
9	8	zlmodzxzlmod 49382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	simpli 489	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12		2z 12683	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		4z 12685	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
14	8	zlmodzxzel 49383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
15	12, 13, 14	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
16	2, 15	eqeltri 2856	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
18		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring))
19		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
20	9	simpri 491	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
21		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
23	19, 20, 21, 22	lincvalsng 49444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
24	11, 17, 18, 23	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ({⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
25	7, 24	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
26		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
27		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑍) = (-g‘𝑍)
28		zlmodzxzldep.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
29	8, 26, 22, 27, 28, 2	zlmodzxznm 49525	. . . . 5 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
30		r19.26 3122	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
31		oveq1 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐵) → (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
32	31	neeq1d 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘𝐵) → ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
33	32	rspcv 3572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
34		zringbas 21706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
35	34	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
36	35	eleq2i 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
37	36	birani 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
38	33, 37	syl11 34	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
39	38	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
40	30, 39	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
41	29, 40	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
42	25, 41	eqnetrd 3022	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹‘𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
43	5, 42	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
44	1, 43	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8826  0cc0 11157  1c1 11158  2c2 12352  3c3 12353  4c4 12354  6c6 12356  ℤcz 12648  Basecbs 17334  Scalarcsca 17378   ·_𝑠 cvsca 17379  -_gcsg 19093  LModclmod 21082  ℤ_ringczring 21699   freeLMod cfrlm 21999   linC clinc 49432

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236  ax-mulf 11237

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-dvds 16376  df-prm 16795  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-sra 21395  df-rgmod 21396  df-cnfld 21626  df-zring 21700  df-dsmm 21985  df-frlm 22000  df-linc 49434

This theorem is used by:  ldepsnlinc  49536