Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem1 44928
 Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 44931. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ldepsnlinclem1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8413 . 2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → 𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring))
2 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
3 prex 5298 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2886 . . . 4 𝐵 ∈ V
54fsn2 6875 . . 3 (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}))
6 oveq1 7142 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
76adantl 485 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 44771 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
109simpli 487 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12 2z 12004 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
13 4z 12006 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
148zlmodzxzel 44772 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
1512, 13, 14mp2an 691 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
162, 15eqeltri 2886 . . . . . . 7 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
18 simpl 486 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring))
19 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
209simpri 489 . . . . . . 7 ring = (Scalar‘𝑍)
21 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22 eqid 2798 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
2319, 20, 21, 22lincvalsng 44839 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
2411, 17, 18, 23syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
257, 24eqtrd 2833 . . . 4 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
26 eqid 2798 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
27 eqid 2798 . . . . . 6 (-g𝑍) = (-g𝑍)
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
298, 26, 22, 27, 28, 2zlmodzxznm 44920 . . . . 5 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
30 r19.26 3137 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
31 oveq1 7142 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐹𝐵) → (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
3231neeq1d 3046 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐹𝐵) → ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 ↔ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
3332rspcv 3566 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
34 zringbas 20172 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
3534eqcomi 2807 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ℤring) = ℤ
3635eleq2i 2881 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3736biimpi 219 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3837adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3933, 38syl11 33 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4039adantl 485 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4130, 40sylbi 220 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4229, 41ax-mp 5 . . . 4 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
4325, 42eqnetrd 3054 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
445, 43sylbi 220 . 2 (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
451, 44syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8391  0cc0 10528  1c1 10529  2c2 11682  3c3 11683  4c4 11684  6c6 11686  ℤcz 11971  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562   ·𝑠 cvsca 16563  -gcsg 18099  LModclmod 19630  ℤringzring 20166   freeLMod cfrlm 20439   linC clinc 44827 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-addf 10607  ax-mulf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-sup 8892  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-prm 16008  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-cnfld 20095  df-zring 20167  df-dsmm 20425  df-frlm 20440  df-linc 44829 This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  44931
 Copyright terms: Public domain W3C validator