Theorem op1std 7698

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op1std	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (1st ‘𝐶) = 𝐴)

Proof of Theorem op1std

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6669	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (1st ‘𝐶) = (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op1st 7696	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴
5	1, 4	syl6eq 2872	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (1st ‘𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  ⟨cop 4572  ‘cfv 6354  1^st c1st 7686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fv 6362  df-1st 7688

This theorem is referenced by:  1st2val  7716  xp1st  7720  sbcopeq1a  7747  csbopeq1a  7748  eloprabi  7760  mpomptsx  7761  dmmpossx  7763  fmpox  7764  ovmptss  7787  fmpoco  7789  df1st2  7792  fsplit  7811  fsplitOLD  7812  frxp  7819  xporderlem  7820  fnwelem  7824  fimaproj  7828  xpf1o  8678  mapunen  8685  xpwdomg  9048  hsmexlem2  9848  fsumcom2  15128  fprodcom2  15337  qredeu  16001  isfuncd  17134  cofucl  17157  funcres2b  17166  funcpropd  17169  xpcco1st  17433  xpccatid  17437  1stf1  17441  2ndf1  17444  1stfcl  17446  prf1  17449  prfcl  17452  prf1st  17453  prf2nd  17454  evlf1  17469  evlfcl  17471  curf1fval  17473  curf11  17475  curf1cl  17477  curfcl  17481  hof1fval  17502  txbas  22174  cnmpt1st  22275  txhmeo  22410  ptuncnv  22414  ptunhmeo  22415  xpstopnlem1  22416  xkohmeo  22422  prdstmdd  22731  ucnimalem  22888  fmucndlem  22899  fsum2cn  23478  ovoliunlem1  24102  lgsquadlem1  25955  lgsquadlem2  25956  2sqreuop  26037  2sqreuopnn  26038  2sqreuoplt  26039  2sqreuopltb  26040  2sqreuopnnlt  26041  2sqreuopnnltb  26042  clwlkclwwlkfolem  27784  wlkl0  28145  eulerpartlemgs2  31638  hgt750lemb  31927  cvmliftlem15  32545  satfv1  32610  satfdmlem  32615  fmlasuc  32633  msubty  32774  msubco  32778  msubvrs  32807  filnetlem4  33729  finixpnum  34876  poimirlem4  34895  poimirlem15  34906  poimirlem20  34911  poimirlem26  34917  poimirlem28  34919  heicant  34926  dicelvalN  38313  rmxypairf1o  39506  unxpwdom3  39693  fgraphxp  39809  elcnvlem  39959  dvnprodlem2  42230  etransclem46  42564  ovnsubaddlem1  42851  dmmpossx2  44384  rrx2plordisom  44709