Theorem op1std 7827

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op1std	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (1st ‘𝐶) = 𝐴)

Proof of Theorem op1std

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6768	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (1st ‘𝐶) = (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op1st 7825	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴
5	1, 4	eqtrdi 2795	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (1st ‘𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430  ⟨cop 4572  ‘cfv 6430  1^st c1st 7815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fv 6438  df-1st 7817

This theorem is referenced by:  1st2val  7845  xp1st  7849  sbcopeq1a  7876  csbopeq1a  7877  eloprabi  7889  mpomptsx  7890  dmmpossx  7892  fmpox  7893  ovmptss  7917  fmpoco  7919  df1st2  7922  fsplit  7941  fsplitOLD  7942  frxp  7951  xporderlem  7952  fnwelem  7956  fimaproj  7960  xpf1o  8891  mapunen  8898  xpwdomg  9305  hsmexlem2  10167  fsumcom2  15467  fprodcom2  15675  qredeu  16344  isfuncd  17561  cofucl  17584  funcres2b  17593  funcpropd  17597  xpcco1st  17882  xpccatid  17886  1stf1  17890  2ndf1  17893  1stfcl  17895  prf1  17898  prfcl  17901  prf1st  17902  prf2nd  17903  evlf1  17919  evlfcl  17921  curf1fval  17923  curf11  17925  curf1cl  17927  curfcl  17931  hof1fval  17952  txbas  22699  cnmpt1st  22800  txhmeo  22935  ptuncnv  22939  ptunhmeo  22940  xpstopnlem1  22941  xkohmeo  22947  prdstmdd  23256  ucnimalem  23413  fmucndlem  23424  fsum2cn  24015  ovoliunlem1  24647  lgsquadlem1  26509  lgsquadlem2  26510  2sqreuop  26591  2sqreuopnn  26592  2sqreuoplt  26593  2sqreuopltb  26594  2sqreuopnnlt  26595  2sqreuopnnltb  26596  clwlkclwwlkfolem  28350  wlkl0  28710  gsumhashmul  31295  eulerpartlemgs2  32326  hgt750lemb  32615  cvmliftlem15  33239  satfv1  33304  satfdmlem  33309  fmlasuc  33327  msubty  33468  msubco  33472  msubvrs  33501  ot21std  33659  ot22ndd  33660  xpord2lem  33768  naddcllem  33810  filnetlem4  34549  finixpnum  35741  poimirlem4  35760  poimirlem15  35771  poimirlem20  35776  poimirlem26  35782  poimirlem28  35784  heicant  35791  dicelvalN  39171  rmxypairf1o  40713  unxpwdom3  40900  fgraphxp  41016  elcnvlem  41162  dvnprodlem2  43442  etransclem46  43775  ovnsubaddlem1  44062  dmmpossx2  45624  2arymaptf  45950  rrx2plordisom  46021  funcf2lem  46251