Theorem op1std 8045

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op1std	⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (1st ‘𝐶) = 𝐴)

Proof of Theorem op1std

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6916	. 2 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (1st ‘𝐶) = (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op1st 8043	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴
5	1, 4	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐶 = ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (1st ‘𝐶) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  1^st c1st 8033

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-1st 8035

This theorem is used by:  1st2val  8063  xp1st  8067  sbcopeq1a  8095  csbopeq1a  8096  eloprabi  8109  mpomptsx  8110  dmmpossx  8112  fmpox  8113  ovmptssOLD  8140  fmpoco  8142  df1st2  8146  fsplit  8165  frxp  8175  xporderlem  8176  fnwelem  8180  fimaproj  8189  xpord2lem  8196  naddcllem  8723  xpf1o  9196  mapunen  9203  xpwdomg  9616  hsmexlem2  10544  fsumcom2  15984  fprodcom2  16195  qredeu  16877  isfuncd  18090  cofucl  18113  funcres2b  18122  funcpropd  18127  xpcco1st  18408  xpccatid  18412  1stf1  18416  2ndf1  18419  1stfcl  18421  prf1  18424  prfcl  18427  prf1st  18428  prf2nd  18429  evlf1  18444  evlfcl  18446  curf1fval  18448  curf11  18450  curf1cl  18452  curfcl  18456  hof1fval  18477  txbas  23941  cnmpt1st  24042  txhmeo  24177  ptuncnv  24181  ptunhmeo  24182  xpstopnlem1  24183  xkohmeo  24189  prdstmdd  24498  ucnimalem  24653  fmucndlem  24664  fsum2cn  25247  ovoliunlem1  25878  lgsquadlem1  27764  lgsquadlem2  27765  2sqreuop  27846  2sqreuopnn  27847  2sqreuoplt  27848  2sqreuopltb  27849  2sqreuopnnlt  27850  2sqreuopnnltb  27851  clwlkclwwlkfolem  30655  wlkl0  31025  gsumhashmul  33727  gsumwrd2dccatlem  33737  gsumwrd2dccat  33738  conjga  33830  elrgspnlem2  33903  elrgspnsubrunlem2  33908  mplvrpmga  34288  eulerpartlemgs2  35123  hgt750lemb  35396  dfj2  36050  jf1o  36052  cvmliftlem15  36271  satfv1  36336  satfdmlem  36341  fmlasuc  36359  msubty  36500  msubco  36504  msubvrs  36533  nmulprop  37154  filnetlem4  37384  finixpnum  38796  poimirlem4  38810  poimirlem15  38821  poimirlem20  38826  poimirlem26  38832  poimirlem28  38834  heicant  38841  dicelvalN  42501  aks6d1c2p1  43434  aks6d1c3  43439  aks6d1c4  43440  aks6d1c6lem2  43487  aks6d1c6lem4  43489  aks6d1c7lem1  43496  fmpocos  43554  rmxypairf1o  44184  unxpwdom3  44363  fgraphxp  44467  elcnvlem  44862  dvnprodlem2  47230  etransclem46  47563  ovnsubaddlem1  47853  gpgvtxedg0  49434  gpgvtxedg1  49435  gpgcubic  49450  gpg5nbgr3star  49452  pgnbgreunbgrlem3  49489  pgnbgreunbgrlem6  49495  dmmpossx2  49780  2arymaptf  50095  rrx2plordisom  50167  eloprab1st2nd  50310  funcf2lem  50526  oppf1  50586  tposcurf1  50752  postcof1st  50829  reldmprcof1  50847  opf11  50869  setc1ocofval  50960  fuconuniqlem  51112  fuconuniqvalslem  51114