MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funfvima 7249
Description: A function's value in a preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
funfvima ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvima
StepHypRef Expression
1 dmres 6031 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
21elin2 4212 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹))
3 funres 6609 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
4 fvelrn 7095 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
53, 4sylan 580 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
6 df-ima 5701 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
76eleq2i 2830 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
8 fvres 6925 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝐵) = (𝐹𝐵))
98eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → (((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴)))
107, 9bitr4id 290 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴) ↔ ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴)))
115, 10syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
1211ex 412 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
132, 12biimtrrid 243 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
1413expd 415 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))))
1514com12 32 . . 3 (𝐵𝐴 → (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))))
1615impd 410 . 2 (𝐵𝐴 → ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
1716pm2.43b 55 1 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2105  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  Fun wfun 6556  cfv 6562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-fv 6570
This theorem is referenced by:  funfvima2  7250  elovimad  7480  tz7.48-2  8480  tz9.12lem3  9826  djuun  9963  swrdwrdsymb  14696  lindff1  21857  txcnp  23643  c1liplem1  26049  pthdivtx  29761  htthlem  30945  tpr2rico  33872  brsiga  34163  erdszelem8  35182  relowlpssretop  37346  limsuppnfdlem  45656  limsupresxr  45721  liminfresxr  45722  liminfvalxr  45738
  Copyright terms: Public domain W3C validator