MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funfvima 7250
Description: A function's value in a preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
funfvima ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvima
StepHypRef Expression
1 dmres 6030 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
21elin2 4203 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹))
3 funres 6608 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
4 fvelrn 7096 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
53, 4sylan 580 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
6 df-ima 5698 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
76eleq2i 2833 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
8 fvres 6925 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝐵) = (𝐹𝐵))
98eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → (((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴)))
107, 9bitr4id 290 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴) ↔ ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴)))
115, 10syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
1211ex 412 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
132, 12biimtrrid 243 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
1413expd 415 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))))
1514com12 32 . . 3 (𝐵𝐴 → (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))))
1615impd 410 . 2 (𝐵𝐴 → ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
1716pm2.43b 55 1 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  Fun wfun 6555  cfv 6561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-fv 6569
This theorem is referenced by:  funfvima2  7251  elovimad  7481  tz7.48-2  8482  tz9.12lem3  9829  djuun  9966  swrdwrdsymb  14700  lindff1  21840  txcnp  23628  c1liplem1  26035  pthdivtx  29747  htthlem  30936  tpr2rico  33911  brsiga  34184  erdszelem8  35203  relowlpssretop  37365  limsuppnfdlem  45716  limsupresxr  45781  liminfresxr  45782  liminfvalxr  45798
  Copyright terms: Public domain W3C validator