MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funfvima 7232
Description: A function's value in a preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
funfvima ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvima
StepHypRef Expression
1 dmres 6004 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
21elin2 4198 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹))
3 funres 6591 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
4 fvelrn 7079 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
53, 4sylan 581 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
6 df-ima 5690 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
76eleq2i 2826 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
8 fvres 6911 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝐵) = (𝐹𝐵))
98eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → (((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴)))
107, 9bitr4id 290 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴) ↔ ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴)))
115, 10syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
1211ex 414 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
132, 12biimtrrid 242 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
1413expd 417 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))))
1514com12 32 . . 3 (𝐵𝐴 → (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))))
1615impd 412 . 2 (𝐵𝐴 → ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
1716pm2.43b 55 1 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  dom cdm 5677  ran crn 5678  cres 5679  cima 5680  Fun wfun 6538  cfv 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-fv 6552
This theorem is referenced by:  funfvima2  7233  elovimad  7457  tz7.48-2  8442  tz9.12lem3  9784  djuun  9921  swrdwrdsymb  14612  lindff1  21375  txcnp  23124  c1liplem1  25513  pthdivtx  28986  htthlem  30170  tpr2rico  32892  brsiga  33181  erdszelem8  34189  relowlpssretop  36245  limsuppnfdlem  44417  limsupresxr  44482  liminfresxr  44483  liminfvalxr  44499
  Copyright terms: Public domain W3C validator