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Theorem erdszelem8 34484
Description: Lemma for erdsze 34488. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
erdszelem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
erdszelem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (1...𝑁))
erdszelem.l (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
Assertion
Ref Expression
erdszelem8 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) = (πΎβ€˜π΅) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem8
Dummy variables 𝑀 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf 14303 . . . . 5 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
2 ffun 6721 . . . . 5 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ Fun β™―)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 Fun β™―
4 erdszelem.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
5 erdsze.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6 erdsze.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
7 erdszelem.k . . . . . 6 𝐾 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
8 erdszelem.o . . . . . 6 𝑂 Or ℝ
95, 6, 7, 8erdszelem5 34481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}))
104, 9mpdan 684 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}))
11 fvelima 6958 . . . 4 ((Fun β™― ∧ (πΎβ€˜π΄) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘“) = (πΎβ€˜π΄))
123, 10, 11sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘“) = (πΎβ€˜π΄))
13 eqid 2731 . . . . . 6 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
1413erdszelem1 34477 . . . . 5 (𝑓 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓))
15 fzfid 13943 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (1...𝐴) ∈ Fin)
16 simplr1 1214 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ 𝑓 βŠ† (1...𝐴))
17 ssfi 9176 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑓 βŠ† (1...𝐴)) β†’ 𝑓 ∈ Fin)
1815, 16, 17syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ 𝑓 ∈ Fin)
19 hashcl 14321 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ β„•0)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ β„•0)
2120nn0red 12538 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜π‘“) ∈ ℝ)
22 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}
2322erdszelem2 34478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) ∈ Fin ∧ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) βŠ† β„•)
2423simpri 485 . . . . . . . . . . . . 13 (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) βŠ† β„•
25 nnssre 12221 . . . . . . . . . . . . 13 β„• βŠ† ℝ
2624, 25sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) βŠ† ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) βŠ† ℝ)
284elfzelzd 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
29 erdszelem.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (1...𝑁))
3029elfzelzd 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
31 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
324, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
3332nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
34 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐡 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
3529, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
3635nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
37 erdszelem.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
3833, 36, 37ltled 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
39 eluz2 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) ↔ (𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ≀ 𝐡))
4028, 30, 38, 39syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
41 fzss2 13546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝐡))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝐡))
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝐡))
4416, 43sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ 𝑓 βŠ† (1...𝐡))
45 elfz1end 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐡 ∈ β„• ↔ 𝐡 ∈ (1...𝐡))
4635, 45sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (1...𝐡))
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ (1...𝐡))
4847snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ {𝐡} βŠ† (1...𝐡))
4944, 48unssd 4187 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (𝑓 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (1...𝐡))
50 simplr2 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)))
51 f1f 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
526, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
5352ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
54 elfzuz3 13503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄))
55 fzss2 13546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΄) β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
564, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
5756ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (1...𝐴) βŠ† (1...𝑁))
5816, 57sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ 𝑓 βŠ† (1...𝑁))
59 fzssuz 13547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1...𝑁) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
60 uzssz 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„€
61 zssre 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 β„€ βŠ† ℝ
6260, 61sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† ℝ
6359, 62sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1...𝑁) βŠ† ℝ
64 ltso 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 < Or ℝ
65 soss 5609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1...𝑁) βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or (1...𝑁)))
6663, 64, 65mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 < Or (1...𝑁)
67 soisores 7327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„ ∧ 𝑓 βŠ† (1...𝑁))) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑓 βˆ€π‘€ ∈ 𝑓 (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
6866, 8, 67mpanl12 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„ ∧ 𝑓 βŠ† (1...𝑁)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑓 βˆ€π‘€ ∈ 𝑓 (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
6953, 58, 68syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑓 βˆ€π‘€ ∈ 𝑓 (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
7050, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑓 βˆ€π‘€ ∈ 𝑓 (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)))
7170r19.21bi 3247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑓 (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)))
7216sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝑧 ∈ (1...𝐴))
73 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ (1...𝐴) β†’ 𝑧 ≀ 𝐴)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝑧 ≀ 𝐴)
7558sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝑧 ∈ (1...𝑁))
7663, 75sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
774ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
7877, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
7978nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8076, 79lenltd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (𝑧 ≀ 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 < 𝑧))
8174, 80mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ Β¬ 𝐴 < 𝑧)
8250adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)))
83 simplr3 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑓)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝐴 ∈ 𝑓)
85 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝑧 ∈ 𝑓)
86 isorel 7326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑓 ∧ 𝑧 ∈ 𝑓)) β†’ (𝐴 < 𝑧 ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑓)β€˜π΄)𝑂((𝐹 β†Ύ 𝑓)β€˜π‘§)))
87 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 ∈ 𝑓 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑓)β€˜π΄) = (πΉβ€˜π΄))
88 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ 𝑓 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑓)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
8987, 88breqan12d 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ 𝑓 ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑓)β€˜π΄)𝑂((𝐹 β†Ύ 𝑓)β€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π‘§)))
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑓 ∧ 𝑧 ∈ 𝑓)) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑓)β€˜π΄)𝑂((𝐹 β†Ύ 𝑓)β€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π‘§)))
9186, 90bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑓 ∧ 𝑧 ∈ 𝑓)) β†’ (𝐴 < 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π‘§)))
9282, 84, 85, 91syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (𝐴 < 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π‘§)))
9381, 92mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π‘§))
94 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅))
9553adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
9695, 75ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
9795, 77ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
9829ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ (1...𝑁))
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ 𝐡 ∈ (1...𝑁))
10095, 99ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
101 sotr2 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑂 Or ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)) β†’ ((Β¬ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π΅)))
1028, 101mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ ((Β¬ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π΅)))
10396, 97, 100, 102syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ ((Β¬ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π΅)))
10493, 94, 103mp2and 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π΅))
105104a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π΅)))
106 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ {𝐡} β†’ 𝑀 = 𝐡)
107106fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ {𝐡} β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π΅))
108107breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ {𝐡} β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€) ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π΅)))
109108imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ {𝐡} β†’ ((𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)) ↔ (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π΅))))
110105, 109syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ (𝑀 ∈ {𝐡} β†’ (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
111110ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ βˆ€π‘€ ∈ {𝐡} (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)))
112 ralunb 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)) ↔ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑓 (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {𝐡} (𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
11371, 111, 112sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑓) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)))
114113ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑓 βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)))
11549sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝐡))
116 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ (1...𝐡) β†’ 𝑀 ≀ 𝐡)
117116adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝐡)) β†’ 𝑀 ≀ 𝐡)
118 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ (1...𝐡) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
119118zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ (1...𝐡) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
12136ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
122120, 121lenltd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝐡)) β†’ (𝑀 ≀ 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 < 𝑀))
123117, 122mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝐡)) β†’ Β¬ 𝐡 < 𝑀)
124115, 123syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})) β†’ Β¬ 𝐡 < 𝑀)
125124pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})) β†’ (𝐡 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)))
126125ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝐡 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)))
127 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ 𝑧 = 𝐡)
128127breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ 𝐡 < 𝑀))
129128imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ ((𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)) ↔ (𝐡 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
130129ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝐡 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
131126, 130syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
132131ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ {𝐡}βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)))
133 ralunb 4192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑓 βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ {𝐡}βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
134114, 132, 133sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€)))
13598snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ {𝐡} βŠ† (1...𝑁))
13658, 135unssd 4187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (𝑓 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (1...𝑁))
137 soisores 7327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑓 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (1...𝑁))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑓 βˆͺ {𝐡})) Isom < , 𝑂 ((𝑓 βˆͺ {𝐡}), (𝐹 β€œ (𝑓 βˆͺ {𝐡}))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
13866, 8, 137mpanl12 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑓 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (1...𝑁)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑓 βˆͺ {𝐡})) Isom < , 𝑂 ((𝑓 βˆͺ {𝐡}), (𝐹 β€œ (𝑓 βˆͺ {𝐡}))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
13953, 136, 138syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑓 βˆͺ {𝐡})) Isom < , 𝑂 ((𝑓 βˆͺ {𝐡}), (𝐹 β€œ (𝑓 βˆͺ {𝐡}))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})βˆ€π‘€ ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})(𝑧 < 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘§)𝑂(πΉβ€˜π‘€))))
140134, 139mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑓 βˆͺ {𝐡})) Isom < , 𝑂 ((𝑓 βˆͺ {𝐡}), (𝐹 β€œ (𝑓 βˆͺ {𝐡}))))
141 ssun2 4174 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝐡} βŠ† (𝑓 βˆͺ {𝐡})
142 snssg 4788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ (1...𝐡) β†’ (𝐡 ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝑓 βˆͺ {𝐡})))
14347, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (𝐡 ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝑓 βˆͺ {𝐡})))
144141, 143mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡}))
14522erdszelem1 34477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 βˆͺ {𝐡}) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)} ↔ ((𝑓 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (1...𝐡) ∧ (𝐹 β†Ύ (𝑓 βˆͺ {𝐡})) Isom < , 𝑂 ((𝑓 βˆͺ {𝐡}), (𝐹 β€œ (𝑓 βˆͺ {𝐡}))) ∧ 𝐡 ∈ (𝑓 βˆͺ {𝐡})))
14649, 140, 144, 145syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (𝑓 βˆͺ {𝐡}) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)})
147 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
148 snex 5432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝐡} ∈ V
149147, 148unex 7736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 βˆͺ {𝐡}) ∈ V
1501fdmi 6730 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom β™― = V
151149, 150eleqtrri 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 βˆͺ {𝐡}) ∈ dom β™―
152 funfvima 7235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun β™― ∧ (𝑓 βˆͺ {𝐡}) ∈ dom β™―) β†’ ((𝑓 βˆͺ {𝐡}) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)} β†’ (β™―β€˜(𝑓 βˆͺ {𝐡})) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)})))
1533, 151, 152mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 βˆͺ {𝐡}) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)} β†’ (β™―β€˜(𝑓 βˆͺ {𝐡})) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}))
154146, 153syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜(𝑓 βˆͺ {𝐡})) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}))
155154ne0d 4336 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) β‰  βˆ…)
15623simpli 483 . . . . . . . . . . . 12 (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) ∈ Fin
157 fimaxre2 12164 . . . . . . . . . . . 12 (((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) βŠ† ℝ ∧ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)})𝑀 ≀ 𝑧)
15827, 156, 157sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)})𝑀 ≀ 𝑧)
15933, 36ltnled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 ≀ 𝐴))
16037, 159mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ≀ 𝐴)
161 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ (1...𝐴) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
162160, 161nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ (1...𝐴))
163162ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ (1...𝐴))
16416, 163ssneldd 3986 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ 𝑓)
165 hashunsng 14357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ (1...𝑁) β†’ ((𝑓 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝑓) β†’ (β™―β€˜(𝑓 βˆͺ {𝐡})) = ((β™―β€˜π‘“) + 1)))
16698, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ ((𝑓 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝑓) β†’ (β™―β€˜(𝑓 βˆͺ {𝐡})) = ((β™―β€˜π‘“) + 1)))
16718, 164, 166mp2and 696 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜(𝑓 βˆͺ {𝐡})) = ((β™―β€˜π‘“) + 1))
168167, 154eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ ((β™―β€˜π‘“) + 1) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}))
169 suprub 12180 . . . . . . . . . . 11 ((((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) βŠ† ℝ ∧ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)})𝑀 ≀ 𝑧) ∧ ((β™―β€˜π‘“) + 1) ∈ (β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)})) β†’ ((β™―β€˜π‘“) + 1) ≀ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
17027, 155, 158, 168, 169syl31anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ ((β™―β€˜π‘“) + 1) ≀ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
1715, 6, 7erdszelem3 34479 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (1...𝑁) β†’ (πΎβ€˜π΅) = sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
17229, 171syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΅) = sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
173172ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (πΎβ€˜π΅) = sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐡) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
174170, 173breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ ((β™―β€˜π‘“) + 1) ≀ (πΎβ€˜π΅))
1755, 6, 7, 8erdszelem6 34482 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾:(1...𝑁)βŸΆβ„•)
176175, 29ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π΅) ∈ β„•)
177176ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (πΎβ€˜π΅) ∈ β„•)
178177nnnn0d 12537 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (πΎβ€˜π΅) ∈ β„•0)
179 nn0ltp1le 12625 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘“) ∈ β„•0 ∧ (πΎβ€˜π΅) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘“) < (πΎβ€˜π΅) ↔ ((β™―β€˜π‘“) + 1) ≀ (πΎβ€˜π΅)))
18020, 178, 179syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ ((β™―β€˜π‘“) < (πΎβ€˜π΅) ↔ ((β™―β€˜π‘“) + 1) ≀ (πΎβ€˜π΅)))
181174, 180mpbird 256 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜π‘“) < (πΎβ€˜π΅))
18221, 181ltned 11355 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) ∧ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)) β†’ (β™―β€˜π‘“) β‰  (πΎβ€˜π΅))
183182ex 412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅) β†’ (β™―β€˜π‘“) β‰  (πΎβ€˜π΅)))
184 neeq1 3002 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘“) = (πΎβ€˜π΄) β†’ ((β™―β€˜π‘“) β‰  (πΎβ€˜π΅) ↔ (πΎβ€˜π΄) β‰  (πΎβ€˜π΅)))
185184imbi2d 339 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘“) = (πΎβ€˜π΄) β†’ (((πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅) β†’ (β™―β€˜π‘“) β‰  (πΎβ€˜π΅)) ↔ ((πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅) β†’ (πΎβ€˜π΄) β‰  (πΎβ€˜π΅))))
186183, 185syl5ibcom 244 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑓) Isom < , 𝑂 (𝑓, (𝐹 β€œ 𝑓)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑓)) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = (πΎβ€˜π΄) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅) β†’ (πΎβ€˜π΄) β‰  (πΎβ€˜π΅))))
18714, 186sylan2b 593 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = (πΎβ€˜π΄) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅) β†’ (πΎβ€˜π΄) β‰  (πΎβ€˜π΅))))
188187rexlimdva 3154 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} (β™―β€˜π‘“) = (πΎβ€˜π΄) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅) β†’ (πΎβ€˜π΄) β‰  (πΎβ€˜π΅))))
18912, 188mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅) β†’ (πΎβ€˜π΄) β‰  (πΎβ€˜π΅)))
190189necon2bd 2955 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜π΄) = (πΎβ€˜π΅) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π΄)𝑂(πΉβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  supcsup 9438  β„cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116  +∞cpnf 11250   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  β™―chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296
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