Theorem swrdwrdsymb 14662

Description: A subword is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
swrdwrdsymb	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem swrdwrdsymb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval2 14646	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))
2	1	3expb 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))
3		wrdf 14517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
4	3	ffund 6681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → Fun 𝑆)
5	4	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → Fun 𝑆)
6	5	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → Fun 𝑆)
7		wrddm 14520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
8		elfzodifsumelfzo 13723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
9	8	imp 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
10	9	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11		eleq2 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
12	11	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
13	10, 12	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)
14	13	exp32 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)))
15	7, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)))
16	15	imp31 420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)
17		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
18		elfzelz 13515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	20	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		elfzelz 13515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	ad2antrl 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
24	23	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
25		fzoaddel2 13712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
26	17, 21, 24, 25	syl3anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
27		funfvima 7199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
28	27	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun 𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
29	6, 16, 26, 28	syl21anc 846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
30	29	fmpttd 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁 − 𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
31		fvex 6865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ V
32		eqid 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))
33	31, 32	fnmpti 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀))
34		hashfn 14374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 𝑀))))
35	33, 34	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 𝑀))))
36		fznn0sub 13547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
37		hashfzo0 14429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑁 − 𝑀))) = (𝑁 − 𝑀))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(0..^(𝑁 − 𝑀))) = (𝑁 − 𝑀))
39	35, 38	eqtrd 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (𝑁 − 𝑀))
40	39	oveq2d 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))) = (0..^(𝑁 − 𝑀)))
41	40	feq2d 6660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁 − 𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
42	41	ad2antrl 736	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁 − 𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
43	30, 42	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
44		iswrdb 14519	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
45	43, 44	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
46	2, 45	eqeltrd 2852	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
47	46	expcom 416	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
48		swrdnd0 14657	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (¬ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅))
49		wrd0 14538	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))
50		eleq1 2840	. . . 4 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅ → ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
51	49, 50	mpbiri 260	. . 3 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅ → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
52	48, 51	syl6com 37	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
53	47, 52	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∅c0 4276  ⟨cop 4578   ↦ cmpt 5171  dom cdm 5636   “ cima 5639  Fun wfun 6500   Fn wfn 6501  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  0cc0 11059   + caddc 11062   − cmin 11400  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554  ...cfz 13498  ..^cfzo 13645  ♯chash 14329  Word cword 14512   substr csubstr 14640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-hash 14330  df-word 14513  df-substr 14641

This theorem is referenced by:  pfxwrdsymb  14689