MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdwrdsymb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdwrdsymb 14665
Description: A subword is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrdwrdsymb (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem swrdwrdsymb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval2 14649 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))
213expb 1117 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))
3 wrdf 14522 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
43ffund 6731 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → Fun 𝑆)
54adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → Fun 𝑆)
65adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → Fun 𝑆)
7 wrddm 14524 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
8 elfzodifsumelfzo 13747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
98imp 405 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
109adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
1211adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
1310, 12mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)
1413exp32 419 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)))
157, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)))
1615imp31 416 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)
17 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
18 elfzelz 13550 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1918adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑁 ∈ ℤ)
2019adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
2120adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
22 elfzelz 13550 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2322ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
2423adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
25 fzoaddel2 13737 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
2617, 21, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
27 funfvima 7246 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
2827imp 405 . . . . . . . 8 (((Fun 𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
296, 16, 26, 28syl21anc 836 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
3029fmpttd 7128 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
31 fvex 6913 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ V
32 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))
3331, 32fnmpti 6703 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) Fn (0..^(𝑁𝑀))
34 hashfn 14387 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) Fn (0..^(𝑁𝑀)) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (♯‘(0..^(𝑁𝑀))))
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (♯‘(0..^(𝑁𝑀))))
36 fznn0sub 13582 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
37 hashfzo0 14442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑁𝑀))) = (𝑁𝑀))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(0..^(𝑁𝑀))) = (𝑁𝑀))
3935, 38eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (𝑁𝑀))
4039oveq2d 7439 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))) = (0..^(𝑁𝑀)))
4140feq2d 6713 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
4241ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
4330, 42mpbird 256 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
44 iswrdb 14523 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
4543, 44sylibr 233 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
462, 45eqeltrd 2825 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
4746expcom 412 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
48 swrdnd0 14660 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (¬ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅))
49 wrd0 14542 . . . 4 ∅ ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))
50 eleq1 2813 . . . 4 ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅ → ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
5149, 50mpbiri 257 . . 3 ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅ → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
5248, 51syl6com 37 . 2 (¬ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
5347, 52pm2.61i 182 1 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4324  cop 4638  cmpt 5235  dom cdm 5681  cima 5684  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7423  0cc0 11154   + caddc 11157  cmin 11490  0cn0 12519  cz 12605  ...cfz 13533  ..^cfzo 13676  chash 14342  Word cword 14517   substr csubstr 14643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-hash 14343  df-word 14518  df-substr 14644
This theorem is referenced by:  pfxwrdsymb  14692
  Copyright terms: Public domain W3C validator