Theorem swrdwrdsymb 14700

Description: A subword is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
swrdwrdsymb	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem swrdwrdsymb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval2 14684	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))
2	1	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))
3		wrdf 14557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
4	3	ffund 6740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → Fun 𝑆)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → Fun 𝑆)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → Fun 𝑆)
7		wrddm 14559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
8		elfzodifsumelfzo 13770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
9	8	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11		eleq2 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
13	10, 12	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)
14	13	exp32 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)))
15	7, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)))
16	15	imp31 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
18		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
25		fzoaddel2 13759	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
26	17, 21, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
27		funfvima 7250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
28	27	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun 𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
29	6, 16, 26, 28	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
30	29	fmpttd 7135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁 − 𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
31		fvex 6919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ V
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))
33	31, 32	fnmpti 6711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀))
34		hashfn 14414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 𝑀))))
35	33, 34	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 𝑀))))
36		fznn0sub 13596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
37		hashfzo0 14469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑁 − 𝑀))) = (𝑁 − 𝑀))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(0..^(𝑁 − 𝑀))) = (𝑁 − 𝑀))
39	35, 38	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (𝑁 − 𝑀))
40	39	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))) = (0..^(𝑁 − 𝑀)))
41	40	feq2d 6722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁 − 𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
42	41	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁 − 𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
43	30, 42	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
44		iswrdb 14558	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
45	43, 44	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
46	2, 45	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
47	46	expcom 413	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
48		swrdnd0 14695	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (¬ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅))
49		wrd0 14577	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))
50		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅ → ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
51	49, 50	mpbiri 258	. . 3 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅ → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
52	48, 51	syl6com 37	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
53	47, 52	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685   “ cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552   substr csubstr 14678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679

This theorem is referenced by:  pfxwrdsymb  14727