Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdwrdsymb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdwrdsymb 14016
 Description: A subword is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrdwrdsymb (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem swrdwrdsymb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval2 14000 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))
213expb 1114 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))
3 wrdf 13858 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
43ffund 6511 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → Fun 𝑆)
54adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → Fun 𝑆)
65adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → Fun 𝑆)
7 wrddm 13860 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
8 elfzodifsumelfzo 13095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
98imp 409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
109adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11 eleq2 2899 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
1211adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
1310, 12mpbird 259 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)
1413exp32 423 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)))
157, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)))
1615imp31 420 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆)
17 simpr 487 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
18 elfzelz 12900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1918adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑁 ∈ ℤ)
2019adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
2120adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
22 elfzelz 12900 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2322ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
2423adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
25 fzoaddel2 13085 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
2617, 21, 24, 25syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
27 funfvima 6984 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
2827imp 409 . . . . . . . 8 (((Fun 𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑆) ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
296, 16, 26, 28syl21anc 835 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
3029fmpttd 6872 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
31 fvex 6676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ V
32 eqid 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))
3331, 32fnmpti 6484 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) Fn (0..^(𝑁𝑀))
34 hashfn 13728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) Fn (0..^(𝑁𝑀)) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (♯‘(0..^(𝑁𝑀))))
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (♯‘(0..^(𝑁𝑀))))
36 fznn0sub 12931 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
37 hashfzo0 13783 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑁𝑀))) = (𝑁𝑀))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(0..^(𝑁𝑀))) = (𝑁𝑀))
3935, 38eqtrd 2854 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))) = (𝑁𝑀))
4039oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))))) = (0..^(𝑁𝑀)))
4140feq2d 6493 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
4241ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(𝑁𝑀))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
4330, 42mpbird 259 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
44 iswrdb 13859 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀)))))⟶(𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
4543, 44sylibr 236 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑀))) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
462, 45eqeltrd 2911 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
4746expcom 416 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
48 swrdnd0 14011 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (¬ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅))
49 wrd0 13881 . . . 4 ∅ ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))
50 eleq1 2898 . . . 4 ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅ → ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)) ↔ ∅ ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
5149, 50mpbiri 260 . . 3 ((𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅ → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
5248, 51syl6com 37 . 2 (¬ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁))))
5347, 52pm2.61i 184 1 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word (𝑆 “ (𝑀..^𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∅c0 4289  ⟨cop 4565   ↦ cmpt 5137  dom cdm 5548   “ cima 5551  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529   + caddc 10532   − cmin 10862  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ...cfz 12884  ..^cfzo 13025  ♯chash 13682  Word cword 13853   substr csubstr 13994 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-substr 13995 This theorem is referenced by:  pfxwrdsymb  14043
 Copyright terms: Public domain W3C validator