Theorem lindff1 22119

Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindff1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindff1.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindff1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵)

Proof of Theorem lindff1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹 LIndF 𝑊)
2		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3		lindff1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	lindff 22114	. . 3 ⊢ ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
6		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
7		imassrn 6196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ran 𝐹
8	5	frnd 6716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	sstrid 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
11		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12	3, 11	lspssid 21253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
13	6, 10, 12	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
14	5	ffund 6712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → Fun 𝐹)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → Fun 𝐹)
16		simprll 791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
17	15, 16	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
18		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
19	18	biimpri 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
20	19	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
21	20	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
22		funfvima 7234	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
23	17, 21, 22	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))
24	13, 23	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
25		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐿 ∈ NzRing)
26		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐹 LIndF 𝑊)
27		simprlr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
28		lindff1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
29	11, 28	lindfind2 22117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
30	6, 25, 26, 27, 29	syl211anc 1403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
31		nelne2 3054	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
32	24, 30, 31	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
33	32	expr 462	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
34	33	necon4d 2980	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
35	34	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
36		dff13 7256	. 2 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
37	5, 35, 36	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424  NzRingcnzr 20755  LModclmod 21128  LSpanclspn 21239   LIndF clindf 22103

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-nzr 20756  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lindf 22105

This theorem is used by:  islindf3  22125  matunitlindflem2  22988