Theorem lindff1 21780

Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindff1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindff1.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindff1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵)

Proof of Theorem lindff1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹 LIndF 𝑊)
2		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3		lindff1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	lindff 21775	. . 3 ⊢ ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
6		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
7		imassrn 6058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ran 𝐹
8	5	frnd 6714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	sstrid 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
11		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12	3, 11	lspssid 20942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
13	6, 10, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
14	5	ffund 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → Fun 𝐹)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → Fun 𝐹)
16		simprll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
17	15, 16	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
18		eldifsn 4762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
19	18	biimpri 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
20	19	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
22		funfvima 7222	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
23	17, 21, 22	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))
24	13, 23	sseldd 3959	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
25		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐿 ∈ NzRing)
26		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐹 LIndF 𝑊)
27		simprlr 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
28		lindff1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
29	11, 28	lindfind2 21778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
30	6, 25, 26, 27, 29	syl211anc 1378	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
31		nelne2 3030	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
32	24, 30, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
33	32	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
34	33	necon4d 2956	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
35	34	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
36		dff13 7247	. 2 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
37	5, 35, 36	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  {csn 4601   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ran crn 5655   “ cima 5657  Fun wfun 6525  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  Scalarcsca 17274  NzRingcnzr 20472  LModclmod 20817  LSpanclspn 20928   LIndF clindf 21764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-nzr 20473  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lindf 21766

This theorem is referenced by:  islindf3  21786  matunitlindflem2  37641