MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindff1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindff1 21858
Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindff1.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindff1.l 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lindff1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐵)

Proof of Theorem lindff1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹 LIndF 𝑊)
2 simp1 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3 lindff1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
43lindff 21853 . . 3 ((𝐹 LIndF 𝑊𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹𝐵)
51, 2, 4syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹𝐵)
6 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
7 imassrn 6091 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ran 𝐹
85frnd 6745 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹𝐵)
97, 8sstrid 4007 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
109adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
11 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
123, 11lspssid 21001 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
136, 10, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
145ffund 6741 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → Fun 𝐹)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → Fun 𝐹)
16 simprll 779 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1715, 16jca 511 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹))
18 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑦))
1918biimpri 228 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
2019adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
2120adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
22 funfvima 7250 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
2317, 21, 22sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))
2413, 23sseldd 3996 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
25 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐿 ∈ NzRing)
26 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹 LIndF 𝑊)
27 simprlr 780 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
28 lindff1.l . . . . . . . 8 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
2911, 28lindfind2 21856 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝑦 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
306, 25, 26, 27, 29syl211anc 1375 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → ¬ (𝐹𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
31 nelne2 3038 . . . . . 6 (((𝐹𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))) ∧ ¬ (𝐹𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
3224, 30, 31syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
3332expr 456 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹)) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
3433necon4d 2962 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
3534ralrimivva 3200 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
36 dff13 7275 . 2 (𝐹:dom 𝐹1-1𝐵 ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
375, 35, 36sylanbrc 583 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  Fun wfun 6557  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  NzRingcnzr 20529  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987   LIndF clindf 21842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lindf 21844
This theorem is referenced by:  islindf3  21864  matunitlindflem2  37604
  Copyright terms: Public domain W3C validator