Theorem lindff1 21795

Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindff1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindff1.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindff1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵)

Proof of Theorem lindff1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹 LIndF 𝑊)
2		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3		lindff1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	lindff 21790	. . 3 ⊢ ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
5	1, 2, 4	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
6		simpl1 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
7		imassrn 6023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ran 𝐹
8	5	frnd 6663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	sstrid 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
11		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12	3, 11	lspssid 20975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
13	6, 10, 12	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
14	5	ffund 6659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → Fun 𝐹)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → Fun 𝐹)
16		simprll 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
17	15, 16	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
18		eldifsn 4719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
19	18	biimpri 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
20	19	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
21	20	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
22		funfvima 7174	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
23	17, 21, 22	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))
24	13, 23	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
25		simpl2 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐿 ∈ NzRing)
26		simpl3 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐹 LIndF 𝑊)
27		simprlr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
28		lindff1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
29	11, 28	lindfind2 21793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
30	6, 25, 26, 27, 29	syl211anc 1384	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
31		nelne2 3032	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
32	24, 30, 31	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
33	32	expr 457	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
34	33	necon4d 2958	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
35	34	ralrimivva 3182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
36		dff13 7198	. 2 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
37	5, 35, 36	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  ran crn 5619   “ cima 5621  Fun wfun 6479  ⟶wf 6481  –1-1→wf1 6482  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214  NzRingcnzr 20484  LModclmod 20850  LSpanclspn 20961   LIndF clindf 21779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-nzr 20485  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lindf 21781

This theorem is referenced by:  islindf3  21801  matunitlindflem2  37984