Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindff1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindff1 20590
 Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindff1.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindff1.l 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lindff1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐵)

Proof of Theorem lindff1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹 LIndF 𝑊)
2 simp1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3 lindff1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
43lindff 20585 . . 3 ((𝐹 LIndF 𝑊𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹𝐵)
51, 2, 4syl2anc 587 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹𝐵)
6 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
7 imassrn 5916 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ran 𝐹
85frnd 6509 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹𝐵)
97, 8sstrid 3905 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
109adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
11 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
123, 11lspssid 19830 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
136, 10, 12syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
145ffund 6506 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → Fun 𝐹)
1514adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → Fun 𝐹)
16 simprll 778 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1715, 16jca 515 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹))
18 eldifsn 4680 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑦))
1918biimpri 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
2019adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
2120adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
22 funfvima 6989 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
2317, 21, 22sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))
2413, 23sseldd 3895 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
25 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐿 ∈ NzRing)
26 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹 LIndF 𝑊)
27 simprlr 779 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
28 lindff1.l . . . . . . . 8 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
2911, 28lindfind2 20588 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝑦 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
306, 25, 26, 27, 29syl211anc 1373 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → ¬ (𝐹𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
31 nelne2 3048 . . . . . 6 (((𝐹𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))) ∧ ¬ (𝐹𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
3224, 30, 31syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
3332expr 460 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹)) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
3433necon4d 2975 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
3534ralrimivva 3120 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
36 dff13 7010 . 2 (𝐹:dom 𝐹1-1𝐵 ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
375, 35, 36sylanbrc 586 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  {csn 4525   class class class wbr 5035  dom cdm 5527  ran crn 5528   “ cima 5530  Fun wfun 6333  ⟶wf 6335  –1-1→wf1 6336  ‘cfv 6339  Basecbs 16546  Scalarcsca 16631  LModclmod 19707  LSpanclspn 19816  NzRingcnzr 20103   LIndF clindf 20574 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-plusg 16641  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-nzr 20104  df-lindf 20576 This theorem is referenced by:  islindf3  20596  matunitlindflem2  35360
 Copyright terms: Public domain W3C validator