MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindff1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindff1 20377
Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindff1.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindff1.l 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lindff1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐵)

Proof of Theorem lindff1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹 LIndF 𝑊)
2 simp1 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3 lindff1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
43lindff 20372 . . 3 ((𝐹 LIndF 𝑊𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹𝐵)
51, 2, 4syl2anc 567 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹𝐵)
6 simpl1 1227 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
7 imassrn 5619 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ran 𝐹
8 frn 6194 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:dom 𝐹𝐵 → ran 𝐹𝐵)
95, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹𝐵)
107, 9syl5ss 3764 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
1110adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
12 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
133, 12lspssid 19199 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
146, 11, 13syl2anc 567 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
15 ffun 6189 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:dom 𝐹𝐵 → Fun 𝐹)
165, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → Fun 𝐹)
1716adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → Fun 𝐹)
18 simprll 758 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1917, 18jca 497 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹))
20 eldifsn 4454 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑦))
2120biimpri 218 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
2221adantlr 688 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
2322adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
24 funfvima 6636 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
2519, 23, 24sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))
2614, 25sseldd 3754 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
27 simpl2 1229 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐿 ∈ NzRing)
28 simpl3 1231 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹 LIndF 𝑊)
29 simprlr 759 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
30 lindff1.l . . . . . . . 8 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
3112, 30lindfind2 20375 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊𝑦 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
326, 27, 28, 29, 31syl211anc 1482 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → ¬ (𝐹𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
33 nelne2 3040 . . . . . 6 (((𝐹𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))) ∧ ¬ (𝐹𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
3426, 32, 33syl2anc 567 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
3534expr 444 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹)) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
3635necon4d 2967 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
3736ralrimivva 3120 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
38 dff13 6656 . 2 (𝐹:dom 𝐹1-1𝐵 ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
395, 37, 38sylanbrc 566 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  cdif 3721  wss 3724  {csn 4317   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  ran crn 5251  cima 5253  Fun wfun 6026  wf 6028  1-1wf1 6029  cfv 6032  Basecbs 16065  Scalarcsca 16153  LModclmod 19074  LSpanclspn 19185  NzRingcnzr 19473   LIndF clindf 20361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-plusg 16163  df-0g 16311  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-grp 17634  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-lmod 19076  df-lss 19144  df-lsp 19186  df-nzr 19474  df-lindf 20363
This theorem is referenced by:  islindf3  20383  matunitlindflem2  33740
  Copyright terms: Public domain W3C validator