Theorem lindff1 21775

Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindff1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindff1.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindff1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵)

Proof of Theorem lindff1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹 LIndF 𝑊)
2		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3		lindff1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	lindff 21770	. . 3 ⊢ ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
6		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
7		imassrn 6030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ran 𝐹
8	5	frnd 6670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	sstrid 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
11		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12	3, 11	lspssid 20936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
13	6, 10, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
14	5	ffund 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → Fun 𝐹)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → Fun 𝐹)
16		simprll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
17	15, 16	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
18		eldifsn 4742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
19	18	biimpri 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
20	19	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
22		funfvima 7176	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
23	17, 21, 22	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))
24	13, 23	sseldd 3934	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
25		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐿 ∈ NzRing)
26		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐹 LIndF 𝑊)
27		simprlr 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
28		lindff1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
29	11, 28	lindfind2 21773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
30	6, 25, 26, 27, 29	syl211anc 1378	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
31		nelne2 3030	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
32	24, 30, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
33	32	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
34	33	necon4d 2956	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
35	34	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
36		dff13 7200	. 2 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
37	5, 35, 36	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180  NzRingcnzr 20445  LModclmod 20811  LSpanclspn 20922   LIndF clindf 21759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-nzr 20446  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lindf 21761

This theorem is referenced by:  islindf3  21781  matunitlindflem2  37818