Theorem lindff1 22000

Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindff1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindff1.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindff1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵)

Proof of Theorem lindff1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹 LIndF 𝑊)
2		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3		lindff1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4	3	lindff 21995	. . 3 ⊢ ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
6		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
7		imassrn 6075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ran 𝐹
8	5	frnd 6718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	sstrid 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
11		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12	3, 11	lspssid 21136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
13	6, 10, 12	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
14	5	ffund 6714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → Fun 𝐹)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → Fun 𝐹)
16		simprll 791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
17	15, 16	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
18		eldifsn 4755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
19	18	biimpri 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
20	19	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
21	20	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))
22		funfvima 7232	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
23	17, 21, 22	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))
24	13, 23	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
25		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐿 ∈ NzRing)
26		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐹 LIndF 𝑊)
27		simprlr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
28		lindff1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
29	11, 28	lindfind2 21998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
30	6, 25, 26, 27, 29	syl211anc 1403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))))
31		nelne2 3058	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦}))) ∧ ¬ (𝐹‘𝑦) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑦})))) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
32	24, 30, 31	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦))
33	32	expr 462	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≠ (𝐹‘𝑦)))
34	33	necon4d 2984	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
35	34	ralrimivva 3210	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
36		dff13 7254	. 2 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑦 ∈ dom 𝐹((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
37	5, 35, 36	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666  Fun wfun 6534  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  Basecbs 17287  Scalarcsca 17331  NzRingcnzr 20639  LModclmod 21011  LSpanclspn 21122   LIndF clindf 21984

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-plusg 17341  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-mgp 20241  df-ur 20288  df-ring 20341  df-nzr 20640  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-lindf 21986

This theorem is used by:  islindf3  22006  matunitlindflem2  38301