MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindff1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindff1 21595
Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindff1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
lindff1.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lindff1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐡)
Proof of Theorem lindff1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
2 simp1 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lindff1.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
43lindff 21590 . . 3 ((𝐹 LIndF π‘Š ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢𝐡)
51, 2, 4syl2anc 583 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢𝐡)
6 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 imassrn 6070 . . . . . . . . . 10 (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦})) βŠ† ran 𝐹
85frnd 6725 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
97, 8sstrid 3993 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦})) βŠ† 𝐡)
109adantr 480 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦})) βŠ† 𝐡)
11 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
123, 11lspssid 20741 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦})) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦})) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}))))
136, 10, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦})) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}))))
145ffund 6721 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ Fun 𝐹)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ Fun 𝐹)
16 simprll 776 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
1715, 16jca 511 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (Fun 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹))
18 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}) ↔ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ π‘₯ β‰  𝑦))
1918biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}))
2019adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}))
2120adantl 481 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}))
22 funfvima 7234 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}))))
2317, 21, 22sylc 65 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦})))
2413, 23sseldd 3983 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}))))
25 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝐿 ∈ NzRing)
26 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
27 simprlr 777 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐹)
28 lindff1.l . . . . . . . 8 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2911, 28lindfind2 21593 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF π‘Š ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}))))
306, 25, 26, 27, 29syl211anc 1375 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}))))
31 nelne2 3039 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦}))) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {𝑦})))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  (πΉβ€˜π‘¦))
3224, 30, 31syl2anc 583 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  (πΉβ€˜π‘¦))
3332expr 456 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  (πΉβ€˜π‘¦)))
3433necon4d 2963 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
3534ralrimivva 3199 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
36 dff13 7257 . 2 (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐡 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
375, 35, 36sylanbrc 582 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  NzRingcnzr 20404  LModclmod 20615  LSpanclspn 20727   LIndF clindf 21579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-nzr 20405  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lindf 21581
This theorem is referenced by:  islindf3  21601  matunitlindflem2  36789
  Copyright terms: Public domain W3C validator