Theorem funssfv 6937

Description: The value of a member of the domain of a subclass of a function. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssfv	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))

Proof of Theorem funssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 6935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐺 → ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
2	1	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐺 → (𝐹‘𝐴) = ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘𝐴))
3		funssres 6612	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)
4	3	fveq1d 6918	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))
5	2, 4	sylan9eqr 2820	. 2 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))
6	5	3impa 1127	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  dom cdm 5658   ↾ cres 5660  Fun wfun 6560  ‘cfv 6566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-res 5670  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574

This theorem is used by:  fviunfun  7991  funelss  8093  funsssuppss  8245  frrlem10  8351  tfrlem9  8431  tfrlem11  8434  ac6sfi  9313  axdc3lem2  10568  axdc3lem4  10570  imasvscaval  17760  pserdv  26813  subgruhgredgd  29922  subumgredg2  29923  subupgr  29925  sspn  31395  bnj945  35515  bnj1502  35589  bnj545  35636  bnj548  35638  subfacp1lem2a  36153  subfacp1lem2b  36154  subfacp1lem5  36157  cvmliftlem10  36267  cvmliftlem13  36269