MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funssfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funssfv 6825
Description: The value of a member of the domain of a subclass of a function. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funssfv ((Fun 𝐹𝐺𝐹𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝐴))

Proof of Theorem funssfv
StepHypRef Expression
1 fvres 6823 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝐺 → ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘𝐴) = (𝐹𝐴))
21eqcomd 2742 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝐺 → (𝐹𝐴) = ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘𝐴))
3 funssres 6507 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐺𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)
43fveq1d 6806 . . 3 ((Fun 𝐹𝐺𝐹) → ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘𝐴) = (𝐺𝐴))
52, 4sylan9eqr 2798 . 2 (((Fun 𝐹𝐺𝐹) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝐴))
653impa 1110 1 ((Fun 𝐹𝐺𝐹𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐹𝐴) = (𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1539  wcel 2104  wss 3892  dom cdm 5600  cres 5602  Fun wfun 6452  cfv 6458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-res 5612  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466
This theorem is referenced by:  fviunfun  7819  funelss  7920  funsssuppss  8037  frrlem10  8142  wfrlem12OLD  8182  wfrlem14OLD  8184  tfrlem9  8247  tfrlem11  8250  ac6sfi  9102  axdc3lem2  10253  axdc3lem4  10255  imasvscaval  17294  pserdv  25633  subgruhgredgd  27696  subumgredg2  27697  subupgr  27699  sspn  29143  bnj945  32798  bnj1502  32873  bnj545  32920  bnj548  32922  subfacp1lem2a  33187  subfacp1lem2b  33188  subfacp1lem5  33191  cvmliftlem10  33301  cvmliftlem13  33303
  Copyright terms: Public domain W3C validator