MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvprif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvprif 17607
Description: The value of the pair function at an element of 2o. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fvprif ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem fvprif
StepHypRef Expression
1 fvpr0o 17605 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
213ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
32adantr 480 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
4 simpr 484 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
54fveq2d 6910 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅))
64iftrued 4538 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
73, 5, 63eqtr4d 2784 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
8 fvpr1o 17606 . . . . 5 (𝐵𝑊 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
983ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
109adantr 480 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
11 simpr 484 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → 𝐶 = 1o)
1211fveq2d 6910 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
13 1n0 8524 . . . . . 6 1o ≠ ∅
1413neii 2939 . . . . 5 ¬ 1o = ∅
1511eqeq1d 2736 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → (𝐶 = ∅ ↔ 1o = ∅))
1614, 15mtbiri 327 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ¬ 𝐶 = ∅)
1716iffalsed 4541 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1810, 12, 173eqtr4d 2784 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
19 elpri 4653 . . . 4 (𝐶 ∈ {∅, 1o} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
20 df2o3 8512 . . . 4 2o = {∅, 1o}
2119, 20eleq2s 2856 . . 3 (𝐶 ∈ 2o → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
22213ad2ant3 1134 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
237, 18, 22mpjaodan 960 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  c0 4338  ifcif 4530  {cpr 4632  cop 4636  cfv 6562  1oc1o 8497  2oc2o 8498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-res 5700  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-2o 8505
This theorem is referenced by:  xpsrnbas  17617  xpsaddlem  17619  xpsvsca  17623
  Copyright terms: Public domain W3C validator