Theorem fvprif 17507

Description: The value of the pair function at an element of 2_o. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fvprif	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem fvprif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvpr0o 17505	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
3	2	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
4		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
5	4	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅))
6	4	iftrued 4537	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
7	3, 5, 6	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
8		fvpr1o 17506	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
9	8	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
10	9	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
11		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → 𝐶 = 1o)
12	11	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
13		1n0 8488	. . . . . 6 ⊢ 1o ≠ ∅
14	13	neii 2943	. . . . 5 ⊢ ¬ 1o = ∅
15	11	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → (𝐶 = ∅ ↔ 1o = ∅))
16	14, 15	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ¬ 𝐶 = ∅)
17	16	iffalsed 4540	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
18	10, 12, 17	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
19		elpri 4651	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {∅, 1o} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
20		df2o3 8474	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
21	19, 20	eleq2s 2852	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 2o → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
22	21	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
23	7, 18, 22	mpjaodan 958	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4323  ifcif 4529  {cpr 4631  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  1_oc1o 8459  2_oc2o 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-res 5689  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-2o 8467

This theorem is referenced by:  xpsrnbas  17517  xpsaddlem  17519  xpsvsca  17523