MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvprif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvprif 17444
Description: The value of the pair function at an element of 2o. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fvprif ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem fvprif
StepHypRef Expression
1 fvpr0o 17442 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
213ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
32adantr 482 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
4 simpr 486 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
54fveq2d 6847 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅))
64iftrued 4495 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
73, 5, 63eqtr4d 2787 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
8 fvpr1o 17443 . . . . 5 (𝐵𝑊 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
983ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
109adantr 482 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
11 simpr 486 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → 𝐶 = 1o)
1211fveq2d 6847 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
13 1n0 8435 . . . . . 6 1o ≠ ∅
1413neii 2946 . . . . 5 ¬ 1o = ∅
1511eqeq1d 2739 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → (𝐶 = ∅ ↔ 1o = ∅))
1614, 15mtbiri 327 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ¬ 𝐶 = ∅)
1716iffalsed 4498 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1810, 12, 173eqtr4d 2787 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
19 elpri 4609 . . . 4 (𝐶 ∈ {∅, 1o} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
20 df2o3 8421 . . . 4 2o = {∅, 1o}
2119, 20eleq2s 2856 . . 3 (𝐶 ∈ 2o → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
22213ad2ant3 1136 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
237, 18, 22mpjaodan 958 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4283  ifcif 4487  {cpr 4589  cop 4593  cfv 6497  1oc1o 8406  2oc2o 8407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-res 5646  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-2o 8414
This theorem is referenced by:  xpsrnbas  17454  xpsaddlem  17456  xpsvsca  17460
  Copyright terms: Public domain W3C validator