MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvprif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvprif 17606
Description: The value of the pair function at an element of 2o. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fvprif ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem fvprif
StepHypRef Expression
1 fvpr0o 17604 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
213ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
32adantr 480 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
4 simpr 484 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
54fveq2d 6910 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅))
64iftrued 4533 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
73, 5, 63eqtr4d 2787 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
8 fvpr1o 17605 . . . . 5 (𝐵𝑊 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
983ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
109adantr 480 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
11 simpr 484 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → 𝐶 = 1o)
1211fveq2d 6910 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
13 1n0 8526 . . . . . 6 1o ≠ ∅
1413neii 2942 . . . . 5 ¬ 1o = ∅
1511eqeq1d 2739 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → (𝐶 = ∅ ↔ 1o = ∅))
1614, 15mtbiri 327 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ¬ 𝐶 = ∅)
1716iffalsed 4536 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1810, 12, 173eqtr4d 2787 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
19 elpri 4649 . . . 4 (𝐶 ∈ {∅, 1o} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
20 df2o3 8514 . . . 4 2o = {∅, 1o}
2119, 20eleq2s 2859 . . 3 (𝐶 ∈ 2o → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
22213ad2ant3 1136 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
237, 18, 22mpjaodan 961 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333  ifcif 4525  {cpr 4628  cop 4632  cfv 6561  1oc1o 8499  2oc2o 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-res 5697  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507
This theorem is referenced by:  xpsrnbas  17616  xpsaddlem  17618  xpsvsca  17622
  Copyright terms: Public domain W3C validator