Theorem fvprif 17525

Description: The value of the pair function at an element of 2_o. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fvprif	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem fvprif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvpr0o 17523	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
5	4	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅))
6	4	iftrued 4474	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
7	3, 5, 6	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
8		fvpr1o 17524	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
9	8	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → 𝐶 = 1o)
12	11	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
13		1n0 8423	. . . . . 6 ⊢ 1o ≠ ∅
14	13	neii 2934	. . . . 5 ⊢ ¬ 1o = ∅
15	11	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → (𝐶 = ∅ ↔ 1o = ∅))
16	14, 15	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ¬ 𝐶 = ∅)
17	16	iffalsed 4477	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
18	10, 12, 17	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
19		elpri 4591	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {∅, 1o} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
20		df2o3 8413	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
21	19, 20	eleq2s 2854	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 2o → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
22	21	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
23	7, 18, 22	mpjaodan 961	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  ifcif 4466  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ‘cfv 6498  1_oc1o 8398  2_oc2o 8399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-res 5643  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-2o 8406

This theorem is referenced by:  xpsrnbas  17535  xpsaddlem  17537  xpsvsca  17541