Theorem fvprif 17575

Description: The value of the pair function at an element of 2_o. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fvprif	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem fvprif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvpr0o 17573	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
5	4	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅))
6	4	iftrued 4508	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
7	3, 5, 6	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = ∅) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
8		fvpr1o 17574	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → 𝐶 = 1o)
12	11	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
13		1n0 8500	. . . . . 6 ⊢ 1o ≠ ∅
14	13	neii 2934	. . . . 5 ⊢ ¬ 1o = ∅
15	11	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → (𝐶 = ∅ ↔ 1o = ∅))
16	14, 15	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ¬ 𝐶 = ∅)
17	16	iffalsed 4511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
18	10, 12, 17	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) ∧ 𝐶 = 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
19		elpri 4625	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {∅, 1o} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
20		df2o3 8488	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
21	19, 20	eleq2s 2852	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 2o → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
22	21	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1o))
23	7, 18, 22	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4308  ifcif 4500  {cpr 4603  ⟨cop 4607  ‘cfv 6531  1_oc1o 8473  2_oc2o 8474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-res 5666  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-om 7862  df-1o 8480  df-2o 8481

This theorem is referenced by:  xpsrnbas  17585  xpsaddlem  17587  xpsvsca  17591