Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsfrnel 16813
 Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 16821. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfrnel (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺

Proof of Theorem xpsfrnel
StepHypRef Expression
1 elixp2 8440 . 2 (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
2 3ancoma 1095 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
3 2onn 8241 . . . . . . . . . 10 2o ∈ ω
4 nnfi 8688 . . . . . . . . . 10 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2o ∈ Fin
6 fnfi 8772 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 2o ∧ 2o ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Fin)
75, 6mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ Fin)
87elexd 3491 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V)
98biantrurd 536 . . . . . 6 (𝐺 Fn 2o → (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
10 df2o3 8092 . . . . . . . 8 2o = {∅, 1o}
1110raleqi 3394 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
12 0ex 5184 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
13 1oex 8085 . . . . . . . 8 1o ∈ V
14 fveq2 6643 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → (𝐺𝑘) = (𝐺‘∅))
15 iftrue 4446 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
1614, 15eleq12d 2906 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
17 fveq2 6643 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1o → (𝐺𝑘) = (𝐺‘1o))
18 1n0 8094 . . . . . . . . . . 11 1o ≠ ∅
19 neeq1 3069 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1o → (𝑘 ≠ ∅ ↔ 1o ≠ ∅))
2018, 19mpbiri 261 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1o𝑘 ≠ ∅)
21 ifnefalse 4452 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1o → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2317, 22eleq12d 2906 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1o → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
2412, 13, 16, 23ralpr 4609 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
2511, 24bitri 278 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
269, 25bitr3di 289 . . . . 5 (𝐺 Fn 2o → ((𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
2726pm5.32i 578 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
28 3anass 1092 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
29 3anass 1092 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
3027, 28, 293bitr4i 306 . . 3 ((𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
312, 30bitri 278 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
321, 31bitri 278 1 (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∀wral 3126  Vcvv 3471  ∅c0 4266  ifcif 4440  {cpr 4542   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  ωcom 7555  1oc1o 8070  2oc2o 8071  Xcixp 8436  Fincfn 8484 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488 This theorem is referenced by:  xpsfrnel2  16815  xpsff1o  16818
 Copyright terms: Public domain W3C validator