MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsfrnel 17445
Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 17453. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfrnel (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺

Proof of Theorem xpsfrnel
StepHypRef Expression
1 elixp2 8840 . 2 (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
2 3ancoma 1099 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
3 2onn 8589 . . . . . . . . . 10 2o ∈ ω
4 nnfi 9112 . . . . . . . . . 10 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2o ∈ Fin
6 fnfi 9126 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 2o ∧ 2o ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Fin)
75, 6mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ Fin)
87elexd 3466 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V)
98biantrurd 534 . . . . . 6 (𝐺 Fn 2o → (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
10 df2o3 8421 . . . . . . . 8 2o = {∅, 1o}
1110raleqi 3312 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
12 0ex 5265 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
13 1oex 8423 . . . . . . . 8 1o ∈ V
14 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → (𝐺𝑘) = (𝐺‘∅))
15 iftrue 4493 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
1614, 15eleq12d 2832 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
17 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1o → (𝐺𝑘) = (𝐺‘1o))
18 1n0 8435 . . . . . . . . . . 11 1o ≠ ∅
19 neeq1 3007 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1o → (𝑘 ≠ ∅ ↔ 1o ≠ ∅))
2018, 19mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1o𝑘 ≠ ∅)
21 ifnefalse 4499 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1o → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2317, 22eleq12d 2832 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1o → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
2412, 13, 16, 23ralpr 4662 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
2511, 24bitri 275 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
269, 25bitr3di 286 . . . . 5 (𝐺 Fn 2o → ((𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
2726pm5.32i 576 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
28 3anass 1096 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
29 3anass 1096 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
3027, 28, 293bitr4i 303 . . 3 ((𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
312, 30bitri 275 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
321, 31bitri 275 1 (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  Vcvv 3446  c0 4283  ifcif 4487  {cpr 4589   Fn wfn 6492  cfv 6497  ωcom 7803  1oc1o 8406  2oc2o 8407  Xcixp 8836  Fincfn 8884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-2o 8414  df-ixp 8837  df-en 8885  df-fin 8888
This theorem is referenced by:  xpsfrnel2  17447  xpsff1o  17450
  Copyright terms: Public domain W3C validator