MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsfrnel 17608
Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 17616. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfrnel (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺

Proof of Theorem xpsfrnel
StepHypRef Expression
1 elixp2 8942 . 2 (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
2 3ancoma 1097 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
3 2onn 8681 . . . . . . . . . 10 2o ∈ ω
4 nnfi 9208 . . . . . . . . . 10 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2o ∈ Fin
6 fnfi 9219 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 2o ∧ 2o ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Fin)
75, 6mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ Fin)
87elexd 3503 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V)
98biantrurd 532 . . . . . 6 (𝐺 Fn 2o → (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
10 df2o3 8515 . . . . . . . 8 2o = {∅, 1o}
1110raleqi 3323 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
12 0ex 5306 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
13 1oex 8517 . . . . . . . 8 1o ∈ V
14 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → (𝐺𝑘) = (𝐺‘∅))
15 iftrue 4530 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
1614, 15eleq12d 2834 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
17 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1o → (𝐺𝑘) = (𝐺‘1o))
18 1n0 8527 . . . . . . . . . . 11 1o ≠ ∅
19 neeq1 3002 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1o → (𝑘 ≠ ∅ ↔ 1o ≠ ∅))
2018, 19mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1o𝑘 ≠ ∅)
21 ifnefalse 4536 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1o → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2317, 22eleq12d 2834 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1o → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
2412, 13, 16, 23ralpr 4699 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
2511, 24bitri 275 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
269, 25bitr3di 286 . . . . 5 (𝐺 Fn 2o → ((𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
2726pm5.32i 574 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
28 3anass 1094 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
29 3anass 1094 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
3027, 28, 293bitr4i 303 . . 3 ((𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
312, 30bitri 275 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
321, 31bitri 275 1 (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  Vcvv 3479  c0 4332  ifcif 4524  {cpr 4627   Fn wfn 6555  cfv 6560  ωcom 7888  1oc1o 8500  2oc2o 8501  Xcixp 8938  Fincfn 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-2o 8508  df-ixp 8939  df-en 8987  df-fin 8990
This theorem is referenced by:  xpsfrnel2  17610  xpsff1o  17613
  Copyright terms: Public domain W3C validator