MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsfrnel 17436
Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 17444. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfrnel (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺

Proof of Theorem xpsfrnel
StepHypRef Expression
1 elixp2 8835 . 2 (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
2 3ancoma 1098 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
3 2onn 8584 . . . . . . . . . 10 2o ∈ ω
4 nnfi 9107 . . . . . . . . . 10 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2o ∈ Fin
6 fnfi 9121 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 2o ∧ 2o ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Fin)
75, 6mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ Fin)
87elexd 3463 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V)
98biantrurd 533 . . . . . 6 (𝐺 Fn 2o → (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
10 df2o3 8416 . . . . . . . 8 2o = {∅, 1o}
1110raleqi 3309 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
12 0ex 5262 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
13 1oex 8418 . . . . . . . 8 1o ∈ V
14 fveq2 6839 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → (𝐺𝑘) = (𝐺‘∅))
15 iftrue 4490 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
1614, 15eleq12d 2832 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
17 fveq2 6839 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1o → (𝐺𝑘) = (𝐺‘1o))
18 1n0 8430 . . . . . . . . . . 11 1o ≠ ∅
19 neeq1 3004 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1o → (𝑘 ≠ ∅ ↔ 1o ≠ ∅))
2018, 19mpbiri 257 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1o𝑘 ≠ ∅)
21 ifnefalse 4496 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1o → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2317, 22eleq12d 2832 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1o → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
2412, 13, 16, 23ralpr 4659 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ {∅, 1o} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
2511, 24bitri 274 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
269, 25bitr3di 285 . . . . 5 (𝐺 Fn 2o → ((𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
2726pm5.32i 575 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
28 3anass 1095 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
29 3anass 1095 . . . 4 ((𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵)))
3027, 28, 293bitr4i 302 . . 3 ((𝐺 Fn 2o𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
312, 30bitri 274 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
321, 31bitri 274 1 (𝐺X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2o ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1o) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3443  c0 4280  ifcif 4484  {cpr 4586   Fn wfn 6488  cfv 6493  ωcom 7798  1oc1o 8401  2oc2o 8402  Xcixp 8831  Fincfn 8879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7799  df-1o 8408  df-2o 8409  df-ixp 8832  df-en 8880  df-fin 8883
This theorem is referenced by:  xpsfrnel2  17438  xpsff1o  17441
  Copyright terms: Public domain W3C validator