MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsaddlem 16621
Description: Lemma for xpsadd 16622 and xpsmul 16623. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsval.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsval.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsval.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsval.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsadd.3 (𝜑𝐴𝑋)
xpsadd.4 (𝜑𝐵𝑌)
xpsadd.5 (𝜑𝐶𝑋)
xpsadd.6 (𝜑𝐷𝑌)
xpsadd.7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
xpsadd.8 (𝜑 → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
xpsaddlem.m · = (𝐸𝑅)
xpsaddlem.n × = (𝐸𝑆)
xpsaddlem.p = (𝐸𝑇)
xpsaddlem.f 𝐹 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
xpsaddlem.u 𝑈 = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
xpsaddlem.1 ((𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran 𝐹({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran 𝐹) → ((𝐹({𝐴} +𝑐 {𝐵})) (𝐹({𝐶} +𝑐 {𝐷}))) = (𝐹‘(({𝐴} +𝑐 {𝐵})(𝐸𝑈)({𝐶} +𝑐 {𝐷}))))
xpsaddlem.2 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘𝑈) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘𝑈)) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(𝐸𝑈)({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(𝐸‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))))
Assertion
Ref Expression
xpsaddlem (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥,𝑦   𝐶,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘   𝑈,𝑘   𝑥,𝑊   𝜑,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   × ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑅,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦,𝑘)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem xpsaddlem
StepHypRef Expression
1 df-ov 6925 . . . . 5 (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 xpsadd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
3 xpsadd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑌)
4 xpsaddlem.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
54xpsfval 16613 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → (𝐴𝐹𝐵) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
62, 3, 5syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
71, 6syl5eqr 2827 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
82, 3opelxpd 5393 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
94xpsff1o2 16617 . . . . . . 7 𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹
10 f1of 6391 . . . . . . 7 (𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ran 𝐹)
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ran 𝐹
1211ffvelrni 6622 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran 𝐹)
138, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran 𝐹)
147, 13eqeltrrd 2859 . . 3 (𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran 𝐹)
15 df-ov 6925 . . . . 5 (𝐶𝐹𝐷) = (𝐹‘⟨𝐶, 𝐷⟩)
16 xpsadd.5 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
17 xpsadd.6 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑌)
184xpsfval 16613 . . . . . 6 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (𝐶𝐹𝐷) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
1916, 17, 18syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐹𝐷) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
2015, 19syl5eqr 2827 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
2116, 17opelxpd 5393 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
2211ffvelrni 6622 . . . . 5 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → (𝐹‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran 𝐹)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran 𝐹)
2420, 23eqeltrrd 2859 . . 3 (𝜑({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran 𝐹)
25 xpsaddlem.1 . . 3 ((𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran 𝐹({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran 𝐹) → ((𝐹({𝐴} +𝑐 {𝐵})) (𝐹({𝐶} +𝑐 {𝐷}))) = (𝐹‘(({𝐴} +𝑐 {𝐵})(𝐸𝑈)({𝐶} +𝑐 {𝐷}))))
2614, 24, 25mpd3an23 1536 . 2 (𝜑 → ((𝐹({𝐴} +𝑐 {𝐵})) (𝐹({𝐶} +𝑐 {𝐷}))) = (𝐹‘(({𝐴} +𝑐 {𝐵})(𝐸𝑈)({𝐶} +𝑐 {𝐷}))))
27 f1ocnvfv 6806 . . . . 5 ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → (𝐹({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
289, 8, 27sylancr 581 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → (𝐹({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
297, 28mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝐹({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
30 f1ocnvfv 6806 . . . . 5 ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹 ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → ((𝐹‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → (𝐹({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
319, 21, 30sylancr 581 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → (𝐹({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
3220, 31mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝐹({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3329, 32oveq12d 6940 . 2 (𝜑 → ((𝐹({𝐴} +𝑐 {𝐵})) (𝐹({𝐶} +𝑐 {𝐷}))) = (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩))
34 iftrue 4312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆) = 𝑅)
3534fveq2d 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ∅ → (𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)) = (𝐸𝑅))
36 xpsaddlem.m . . . . . . . . . . 11 · = (𝐸𝑅)
3735, 36syl6eqr 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ∅ → (𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)) = · )
38 iftrue 4312 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
39 iftrue 4312 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐶, 𝐷) = 𝐶)
4037, 38, 39oveq123d 6943 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → (if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)(𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))if(𝑘 = ∅, 𝐶, 𝐷)) = (𝐴 · 𝐶))
41 iftrue 4312 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, (𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)) = (𝐴 · 𝐶))
4240, 41eqtr4d 2816 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → (if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)(𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))if(𝑘 = ∅, 𝐶, 𝐷)) = if(𝑘 = ∅, (𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)))
43 iffalse 4315 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆) = 𝑆)
4443fveq2d 6450 . . . . . . . . . . 11 𝑘 = ∅ → (𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)) = (𝐸𝑆))
45 xpsaddlem.n . . . . . . . . . . 11 × = (𝐸𝑆)
4644, 45syl6eqr 2831 . . . . . . . . . 10 𝑘 = ∅ → (𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)) = × )
47 iffalse 4315 . . . . . . . . . 10 𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
48 iffalse 4315 . . . . . . . . . 10 𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐶, 𝐷) = 𝐷)
4946, 47, 48oveq123d 6943 . . . . . . . . 9 𝑘 = ∅ → (if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)(𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))if(𝑘 = ∅, 𝐶, 𝐷)) = (𝐵 × 𝐷))
50 iffalse 4315 . . . . . . . . 9 𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, (𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)) = (𝐵 × 𝐷))
5149, 50eqtr4d 2816 . . . . . . . 8 𝑘 = ∅ → (if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)(𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))if(𝑘 = ∅, 𝐶, 𝐷)) = if(𝑘 = ∅, (𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)))
5242, 51pm2.61i 177 . . . . . . 7 (if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)(𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))if(𝑘 = ∅, 𝐶, 𝐷)) = if(𝑘 = ∅, (𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷))
53 xpsval.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅𝑉)
5453adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → 𝑅𝑉)
55 xpsval.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆𝑊)
5655adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → 𝑆𝑊)
57 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → 𝑘 ∈ 2o)
58 xpscfv 16608 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝑘 ∈ 2o) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
6059fveq2d 6450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → (𝐸‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
612adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → 𝐴𝑋)
623adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → 𝐵𝑌)
63 xpscfv 16608 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋𝐵𝑌𝑘 ∈ 2o) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
6461, 62, 57, 63syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
6516adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → 𝐶𝑋)
6617adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → 𝐷𝑌)
67 xpscfv 16608 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑋𝐷𝑌𝑘 ∈ 2o) → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝐶, 𝐷))
6865, 66, 57, 67syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝐶, 𝐷))
6960, 64, 68oveq123d 6943 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(𝐸‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)) = (if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)(𝐸‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))if(𝑘 = ∅, 𝐶, 𝐷)))
70 xpsadd.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
7170adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
72 xpsadd.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
7372adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
74 xpscfv 16608 . . . . . . . 8 (((𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌𝑘 ∈ 2o) → (({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, (𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)))
7571, 73, 57, 74syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → (({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, (𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)))
7652, 69, 753eqtr4a 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(𝐸‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)) = (({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)})‘𝑘))
7776mpteq2dva 4979 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(𝐸‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 2o ↦ (({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)})‘𝑘)))
78 xpscfn 16605 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o)
7953, 55, 78syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o)
80 xpsval.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
81 xpsval.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝑅)
82 xpsval.y . . . . . . . 8 𝑌 = (Base‘𝑆)
83 eqid 2777 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
84 xpsaddlem.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
8580, 81, 82, 53, 55, 4, 83, 84xpslem 16619 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))
8614, 85eleqtrd 2860 . . . . . 6 (𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘𝑈))
8724, 85eleqtrd 2860 . . . . . 6 (𝜑({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘𝑈))
88 xpsaddlem.2 . . . . . 6 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘𝑈) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘𝑈)) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(𝐸𝑈)({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(𝐸‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))))
8979, 86, 87, 88syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(𝐸𝑈)({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = (𝑘 ∈ 2o ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(𝐸‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))))
90 xpscfn 16605 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌) → ({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}) Fn 2o)
9170, 72, 90syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}) Fn 2o)
92 dffn5 6501 . . . . . 6 (({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}) Fn 2o({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}) = (𝑘 ∈ 2o ↦ (({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)})‘𝑘)))
9391, 92sylib 210 . . . . 5 (𝜑({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}) = (𝑘 ∈ 2o ↦ (({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)})‘𝑘)))
9477, 89, 933eqtr4d 2823 . . . 4 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(𝐸𝑈)({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}))
9594fveq2d 6450 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(({𝐴} +𝑐 {𝐵})(𝐸𝑈)({𝐶} +𝑐 {𝐷}))) = (𝐹({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)})))
96 df-ov 6925 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐶)𝐹(𝐵 × 𝐷)) = (𝐹‘⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)
974xpsfval 16613 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌) → ((𝐴 · 𝐶)𝐹(𝐵 × 𝐷)) = ({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}))
9870, 72, 97syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)𝐹(𝐵 × 𝐷)) = ({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}))
9996, 98syl5eqr 2827 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩) = ({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}))
10070, 72opelxpd 5393 . . . . 5 (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
101 f1ocnvfv 6806 . . . . 5 ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹 ∧ ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → ((𝐹‘⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩) = ({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}) → (𝐹({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)})) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩))
1029, 100, 101sylancr 581 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩) = ({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)}) → (𝐹({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)})) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩))
10399, 102mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝐹({(𝐴 · 𝐶)} +𝑐 {(𝐵 × 𝐷)})) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)
10495, 103eqtrd 2813 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(({𝐴} +𝑐 {𝐵})(𝐸𝑈)({𝐶} +𝑐 {𝐷}))) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)
10526, 33, 1043eqtr3d 2821 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  c0 4140  ifcif 4306  {csn 4397  cop 4403  cmpt 4965   × cxp 5353  ccnv 5354  ran crn 5356   Fn wfn 6130  wf 6131  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  2oc2o 7837   +𝑐 ccda 9324  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341  Xscprds 16492   ×s cxps 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-prds 16494
This theorem is referenced by:  xpsadd  16622  xpsmul  16623
  Copyright terms: Public domain W3C validator