MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsaddlem 17456
Description: Lemma for xpsadd 17457 and xpsmul 17458. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
xpsval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
xpsval.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
xpsval.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsval.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
xpsadd.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
xpsadd.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
xpsadd.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
xpsadd.7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
xpsadd.8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐷) ∈ π‘Œ)
xpsaddlem.m Β· = (πΈβ€˜π‘…)
xpsaddlem.n Γ— = (πΈβ€˜π‘†)
xpsaddlem.p βˆ™ = (πΈβ€˜π‘‡)
xpsaddlem.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
xpsaddlem.u π‘ˆ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
xpsaddlem.1 ((πœ‘ ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ ran 𝐹 ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran 𝐹) β†’ ((β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) βˆ™ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})) = (β—‘πΉβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (πΈβ€˜π‘ˆ){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})))
xpsaddlem.2 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (πΈβ€˜π‘ˆ){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(πΈβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))))
Assertion
Ref Expression
xpsaddlem (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ βˆ™ ⟨𝐢, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝐴   𝐡,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐢,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐷,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘₯,π‘Š   πœ‘,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   Γ— ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘˜,π‘₯   π‘˜,π‘Œ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   βˆ™ (π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑇(π‘₯,𝑦,π‘˜)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑦,π‘˜)   π‘Š(𝑦,π‘˜)

Proof of Theorem xpsaddlem
StepHypRef Expression
1 df-ov 7361 . . . . 5 (𝐴𝐹𝐡) = (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
2 xpsadd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 xpsadd.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
4 xpsaddlem.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
54xpsfval 17449 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐹𝐡) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})
62, 3, 5syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐹𝐡) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})
71, 6eqtr3id 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})
82, 3opelxpd 5672 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
94xpsff1o2 17452 . . . . . . 7 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹
10 f1of 6785 . . . . . . 7 (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢ran 𝐹)
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢ran 𝐹
1211ffvelcdmi 7035 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ran 𝐹)
138, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ran 𝐹)
147, 13eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ ran 𝐹)
15 df-ov 7361 . . . . 5 (𝐢𝐹𝐷) = (πΉβ€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩)
16 xpsadd.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
17 xpsadd.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
184xpsfval 17449 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐢𝐹𝐷) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐹𝐷) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
2015, 19eqtr3id 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
2116, 17opelxpd 5672 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
2211ffvelcdmi 7035 . . . . 5 (⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) ∈ ran 𝐹)
2321, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) ∈ ran 𝐹)
2420, 23eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran 𝐹)
25 xpsaddlem.1 . . 3 ((πœ‘ ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ ran 𝐹 ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran 𝐹) β†’ ((β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) βˆ™ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})) = (β—‘πΉβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (πΈβ€˜π‘ˆ){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})))
2614, 24, 25mpd3an23 1464 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) βˆ™ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})) = (β—‘πΉβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (πΈβ€˜π‘ˆ){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})))
27 f1ocnvfv 7225 . . . . 5 ((𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} β†’ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) = ⟨𝐴, 𝐡⟩))
289, 8, 27sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} β†’ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) = ⟨𝐴, 𝐡⟩))
297, 28mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
30 f1ocnvfv 7225 . . . . 5 ((𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 ∧ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} β†’ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐢, 𝐷⟩))
319, 21, 30sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} β†’ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐢, 𝐷⟩))
3220, 31mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐢, 𝐷⟩)
3329, 32oveq12d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) βˆ™ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})) = (⟨𝐴, 𝐡⟩ βˆ™ ⟨𝐢, 𝐷⟩))
34 iftrue 4493 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = βˆ… β†’ if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆) = 𝑅)
3534fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = βˆ… β†’ (πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆)) = (πΈβ€˜π‘…))
36 xpsaddlem.m . . . . . . . . . . 11 Β· = (πΈβ€˜π‘…)
3735, 36eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = βˆ… β†’ (πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆)) = Β· )
38 iftrue 4493 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = βˆ… β†’ if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡) = 𝐴)
39 iftrue 4493 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = βˆ… β†’ if(π‘˜ = βˆ…, 𝐢, 𝐷) = 𝐢)
4037, 38, 39oveq123d 7379 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = βˆ… β†’ (if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡)(πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆))if(π‘˜ = βˆ…, 𝐢, 𝐷)) = (𝐴 Β· 𝐢))
41 iftrue 4493 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = βˆ… β†’ if(π‘˜ = βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)) = (𝐴 Β· 𝐢))
4240, 41eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (π‘˜ = βˆ… β†’ (if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡)(πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆))if(π‘˜ = βˆ…, 𝐢, 𝐷)) = if(π‘˜ = βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)))
43 iffalse 4496 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘˜ = βˆ… β†’ if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆) = 𝑆)
4443fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘˜ = βˆ… β†’ (πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆)) = (πΈβ€˜π‘†))
45 xpsaddlem.n . . . . . . . . . . 11 Γ— = (πΈβ€˜π‘†)
4644, 45eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ = βˆ… β†’ (πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆)) = Γ— )
47 iffalse 4496 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ = βˆ… β†’ if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡) = 𝐡)
48 iffalse 4496 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ = βˆ… β†’ if(π‘˜ = βˆ…, 𝐢, 𝐷) = 𝐷)
4946, 47, 48oveq123d 7379 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ = βˆ… β†’ (if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡)(πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆))if(π‘˜ = βˆ…, 𝐢, 𝐷)) = (𝐡 Γ— 𝐷))
50 iffalse 4496 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ = βˆ… β†’ if(π‘˜ = βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)) = (𝐡 Γ— 𝐷))
5149, 50eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘˜ = βˆ… β†’ (if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡)(πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆))if(π‘˜ = βˆ…, 𝐢, 𝐷)) = if(π‘˜ = βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)))
5242, 51pm2.61i 182 . . . . . . 7 (if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡)(πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆))if(π‘˜ = βˆ…, 𝐢, 𝐷)) = if(π‘˜ = βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷))
53 xpsval.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
5453adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
55 xpsval.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
5655adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
57 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ π‘˜ ∈ 2o)
58 fvprif 17444 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆))
6059fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ (πΈβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆)))
612adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
623adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
63 fvprif 17444 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡))
6461, 62, 57, 63syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡))
6516adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
6617adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
67 fvprif 17444 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = βˆ…, 𝐢, 𝐷))
6865, 66, 57, 67syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = βˆ…, 𝐢, 𝐷))
6960, 64, 68oveq123d 7379 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(πΈβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)) = (if(π‘˜ = βˆ…, 𝐴, 𝐡)(πΈβ€˜if(π‘˜ = βˆ…, 𝑅, 𝑆))if(π‘˜ = βˆ…, 𝐢, 𝐷)))
70 xpsadd.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
7170adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
72 xpsadd.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐷) ∈ π‘Œ)
7372adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ (𝐡 Γ— 𝐷) ∈ π‘Œ)
74 fvprif 17444 . . . . . . . 8 (((𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (𝐡 Γ— 𝐷) ∈ π‘Œ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩}β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)))
7571, 73, 57, 74syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩}β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)))
7652, 69, 753eqtr4a 2803 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(πΈβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)) = ({βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩}β€˜π‘˜))
7776mpteq2dva 5206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(πΈβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩}β€˜π‘˜)))
78 fnpr2o 17440 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
7953, 55, 78syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
80 xpsval.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
81 xpsval.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
82 xpsval.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
83 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
84 xpsaddlem.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
8580, 81, 82, 53, 55, 4, 83, 84xpsrnbas 17454 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
8614, 85eleqtrd 2840 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
8724, 85eleqtrd 2840 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
88 xpsaddlem.2 . . . . . 6 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (πΈβ€˜π‘ˆ){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(πΈβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))))
8979, 86, 87, 88syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (πΈβ€˜π‘ˆ){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(πΈβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))))
90 fnpr2o 17440 . . . . . . 7 (((𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (𝐡 Γ— 𝐷) ∈ π‘Œ) β†’ {βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩} Fn 2o)
9170, 72, 90syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩} Fn 2o)
92 dffn5 6902 . . . . . 6 ({βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩} Fn 2o ↔ {βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩} = (π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩}β€˜π‘˜)))
9391, 92sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩} = (π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩}β€˜π‘˜)))
9477, 89, 933eqtr4d 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (πΈβ€˜π‘ˆ){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = {βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩})
9594fveq2d 6847 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΉβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (πΈβ€˜π‘ˆ){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})) = (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩}))
96 df-ov 7361 . . . . 5 ((𝐴 Β· 𝐢)𝐹(𝐡 Γ— 𝐷)) = (πΉβ€˜βŸ¨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩)
974xpsfval 17449 . . . . . 6 (((𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (𝐡 Γ— 𝐷) ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢)𝐹(𝐡 Γ— 𝐷)) = {βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩})
9870, 72, 97syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝐢)𝐹(𝐡 Γ— 𝐷)) = {βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩})
9996, 98eqtr3id 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜βŸ¨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩) = {βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩})
10070, 72opelxpd 5672 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
101 f1ocnvfv 7225 . . . . 5 ((𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 ∧ ⟨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩) = {βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩} β†’ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩}) = ⟨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩))
1029, 100, 101sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩) = {βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩} β†’ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩}) = ⟨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩))
10399, 102mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΉβ€˜{βŸ¨βˆ…, (𝐴 Β· 𝐢)⟩, ⟨1o, (𝐡 Γ— 𝐷)⟩}) = ⟨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩)
10495, 103eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘πΉβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (πΈβ€˜π‘ˆ){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})) = ⟨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩)
10526, 33, 1043eqtr3d 2785 1 (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ βˆ™ ⟨𝐢, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1oc1o 8406  2oc2o 8407  Basecbs 17084  Scalarcsca 17137  Xscprds 17328   Γ—s cxps 17389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-hom 17158  df-cco 17159  df-prds 17330
This theorem is referenced by:  xpsadd  17457  xpsmul  17458
  Copyright terms: Public domain W3C validator